2019高考数学大二轮复习第一部分思想方法研析指导思想方法训练2 分类讨论思想理.doc

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思想方法训练2　分类讨论思想一、能力突破训练 1.已知函数f(x)=-x2+ax,x≤1,2ax-5,x>1,若存在x1,x2∈R,且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞,2) B.(-∞,4) C.[2,4] D.(2,+∞) 2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b2+c2-a2=3bc,且b=3a,则下列关系一定不成立的是(　　) A.a=c B.b=c C.2a=c D.a2+b2=c2 3.若a>0,且a≠1,p=loga(a3+1),q=loga(a2+1),则p,q的大小关系是(　　) A.p=q B.pq D.当a>1时,p>q;当00,且x≠1,则函数y=lg x+logx10的值域为 (　　) A.R B.[2,+∞) C.(-∞,-2] D.(-∞,-2]∪[2,+∞) 7.设Sn是等比数列{an}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=2am,则m等于(　　) A.6 B.7 C.8 D.10 8.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,AB=BC=CA=3,SA=SB=SC,球心O到平面ABC的距离为1,则SA与平面ABC所成角的大小为(　　) A.30 B.60 C.30或60 D.45或60 9.已知函数y=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大,则a的值是　　　　　. 10.已知函数f(x)=|ln x|,g(x)=0,01,则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为　　　　　. 11.已知函数f(x)=2asin2x-23asin xcos x+a+b(a≠0)的定义域为0,π2,值域为[-5,1],求常数a,b的值. 12.设a>0,函数f(x)= x2-(a+1)x+a(1+ln x). (1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处与直线y=-x+1垂直的切线方程; (2)求函数f(x)的极值. 二、思维提升训练 13.若直线l过点P-3,-32且被圆x2+y2=25截得的弦长是8,则直线l的方程为(　　) A.3x+4y+15=0 B.x=-3或y=- C.x=-3 D.x=-3或3x+4y+15=0 14.已知函数f(x)=110x+1(x≤1),lnx-1(x>1),则方程f(x)=ax恰有两个不同实数根时,实数a的取值范围是(注:e为自然对数的底数)(　　) A.(-1,0] B.-1,110 C.(-1,0]∪110,1e2 D.-1,1e2 15.已知a为实数,函数f(x)=|x2-ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a).当a=　　　　　时,g(a)的值最小. 16.已知函数f(x)=aln x+x2(a为实数). (1)求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值及相应的x值; (2)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求实数a的取值范围. 17.设函数f(x)=αcos 2x+(α-1)(cos x+1),其中α>0,记|f(x)|的最大值为A. (1)求f(x); (2)求A; (3)证明|f(x)|≤2A. 思想方法训练2　分类讨论思想一、能力突破训练 1.B　解析当-a-2<1时,显然满足条件,即a<2;当a≥2时,-1+a>2a-5,即2≤a<4.综上知,a<4,故选B. 2.B　解析在△ABC中,由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32,则A=π6. 又b=3a,由正弦定理,得sin B=3sin A=32,则B=π3或B=2π3. 当B=π3时,△ABC为直角三角形,选项C,D成立; 当B=2π3时,△ABC为等腰三角形,选项A成立,故选B. 3.C　解析当0loga(a2+1),即p>q. 当a>1时,y=ax和y=logax在其定义域上均为增函数,∴a3+1>a2+1, ∴loga(a3+1)>loga(a2+1),即p>q. 综上可得p>q. 4.C　解析焦点在x轴上时,ba=34,此时离心率e=ca=54;焦点在y轴上时,ab=34,此时离心率e=ca=53,故选C. 5.C　解析不妨设|AB|=2,以AB中点O为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,则A(-1,0),B(1,0),设M(x,y),则N(x,0),MN=(0,-y),AN=(x+1,0),NB=(1-x,0),代入已知式子得λx2+y2=λ,当λ=1时,曲线为A;当λ=2时,曲线为B;当λ<0时,曲线为D,所以选C. 6.D　解析当x>1时,y=lg x+logx10=lg x+1lgx≥2lgx1lgx=2;当01时,y=ax在区间[1,2]上递增,故a2-a=,得a=;当01,g(x)=0,01, 所以方程|p(x)|=1有2个解,即方程|ln x+x2-6|=1有2个解. 综上可知,方程|f(x)+g(x)|=1共有4个实根. 11.解 f(x)=a(1-cos 2x)-3asin 2x+a+b =-2asin2x+π6+2a+b. ∵x∈0,π2,∴2x+π6∈π6,76π, ∴-12≤sin2x+π6≤1. 因此,由f(x)的值域为[-5,1], 可得a>0,-2a-12+2a+b=1,-2a1+2a+b=-5 或a<0,-2a1+2a+b=1,-2a-12+2a+b=-5, 解得a=2,b=-5或a=-2,b=1. 12.解 (1)由已知x>0,f(x)=x-(a+1)+ax. 因为曲线y=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为1, 所以f(2)=1,即2-(a+1)+a2=1,所以a=0, 此时f(2)=2-2=0, 故曲线f(x)在(2,f(2))处的切线方程为x-y-2=0. (2)f(x)=x-(a+1)+ax=x2-(a+1)x+ax=(x-1)(x-a)x. ①当00,函数f(x)单调递增; 若x∈(a,1),则f(x)<0,函数f(x)单调递减; 若x∈(1,+∞),则f(x)>0,函数f(x)单调递增. 此时x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点, 函数f(x)的极大值是f(a)=-12a2+aln a,极小值是f(1)=-12. ②当a=1时,若x∈(0,1),则f(x)>0,若x=1,则f(x)=0,若x∈(1,+∞),则f(x)>0,所以函数f(x)在定义域内单调递增,此时f(x)没有极值点,也无极值. ③当a>1时,若x∈(0,1),则f(x)>0,函数f(x)单调递增; 若x∈(1,a),则f(x)<0,函数f(x)单调递减; 若x∈(a,+∞),则f(x)>0,函数f(x)单调递增,此时x=1是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(1)=-12,极小值是f(a)=-12a2+aln a. 综上,当01时,f(x)的极大值是-12,极小值是-12a2+aln a. 二、思维提升训练 13.D　解析若直线l的斜率不存在,则该直线的方程为x=-3,代入圆的方程解得y=4,故直线l被圆截得的弦长为8,满足条件;若直线l的斜率存在,不妨设直线l的方程为y+=k(x+3),即kx-y+3k-=0,因为直线l被圆截得的弦长为8,故半弦长为4,又圆的半径为5,则圆心(0,0)到直线l的距离为52-42=3k-32k2+1,解得k=-,此时直线l的方程为3x+4y+15=0. 14.C　解析因为方程f(x)=ax恰有两个不同的实数根,所以y=f(x)与y=ax的图象有2个交点,a表示直线y=ax的斜率.当a>0,x>1时,y=1x.设切点为(x0,y0),k=1x0,所以切线方程为y-y0=1x0(x-x0),而切线过原点,所以y0=1,x0=e2,k=1e2,所以切线l1的斜率为1e2.设过原点与y=110x+1平行的直线为l2,则直线l2的斜率为110,所以当直线在l1和l2之间时,符合题意,此时实数a的取值范围是110,1e2.当a<0时,设过原点与点(1,-1)的直线为l3,其斜率为-1,则在l3的位置以O为中心逆时针旋转一直转到水平位置都符合题意,此时实数a的取值范围是(-1,0].综上所述,实数a的取值范围是(-1,0]∪110,1e2,故选C. 15.22-2　解析当a≤0时,在区间[0,1]上,f(x)=|x2-ax|=x2-ax,且在区间[0,1]上为增函数,当x=1时,f(x)取得的最大值为f(1)=1-a; 当00,解得-a20, 因而a≥x2-2xx-lnx,x∈[1,e],令g(x)=x2-2xx-lnx(x∈[1,e]), 则g(x)=(x-1)(x+2-2lnx)(x-lnx)2, 当x∈[1,e]时,x-1≥0,ln x≤1,x+2-2ln x>0, 从而g(x)≥0(仅当x=1时取等号), 所以g(x)在区间[1,e]上是增函数, 故g(x)min=g(1)=-1, 所以实数a的取值范围是[-1,+∞). 17.(1)解 f(x)=-2αsin 2x-(α-1)sin x. (2)解 (分类讨论)当α≥1时, |f(x)|=|αcos 2x+(α-1)(cos x+1)|≤α+2(α-1)=3α-2=f(0). 因此A=3α-2. 当0<α<1时,将f(x)变形为 f(x)=2αcos2x+(α-1)cos x-1. 令g(t)=2αt2+(α-1)t-1,则A是|g(t)|在[-1,1]上的最大值, g(-1)=α,g(1)=3α-2,且当t=1-α4α时,g(t)取得极小值,极小值为g1-α4α=-(α-1)28α-1=-α2+6α+18α. 令-1<1-α4α<1,解得α<-13(舍去),α>15. 当0<α≤15时,g(t)在区间(-1,1)内无极值点, |g(-1)|=α,|g(1)|=2-3α,|g(-1)|<|g(1)|, 所以A=2-3α. 当15<α<1时,由g(-1)-g(1)=2(1-α)>0, 知g(-1)>g(1)>g1-α4α. 又g1-α4α-|g(-1)|=(1-α)(1+7α)8α>0, 所以A=g1-α4α=α2+6α+18α. 综上,A=2-3α,0<α≤15,α2+6α+18α,15<α<1,3α-2,α≥1. (3)证明由(1)得|f(x)|=|-2αsin 2x-(α-1)sin x|≤2α+|α-1|. 当0<α≤15时,|f(x)|≤1+α≤2-4α<2(2-3α)=2A. 当15<α<1时,A=α8+18α+34≥1, 所以|f(x)|≤1+α<2A. 当α≥1时,|f(x)|≤3α-1≤6α-4=2A. 所以|f(x)|≤2A.

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