2019-2020年二年级数学 奥数讲座 一笔画问题.doc

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2019-2020年二年级数学 奥数讲座 一笔画问题 　　一天，小明做完作业正在休息，收音机中播放着轻松、悦耳的音乐。他拿了支笔，信手在纸上写了“中”、“日”、“田”几个字。突然，他脑子里闪出一个念头，这几个字都能一笔写出来吗？他试着写了写，“中”和“日”可以一笔写成（没有重复的笔划），但写到“田”字，试来试去也没有成功。下面是他写的字样。（见下图） 　　这可真有意思！由此他又联想到一些简单的图形，哪个能一笔画成，哪个不能一笔画成呢？下面是他试着画的图样。（见下图） 　 　　经过反复试画，小明得到了初步结论：图中的（1）、（3）、（5）能一笔画成；（2）、（4）、（6）不能一笔画成。真奇怪！小明发现，简单的笔画少的图不一定能一笔画得出来。而复杂的笔画多的图有时反倒能够一笔画出来，这其中隐藏着什么奥秘呢？小明进一步又提出了如下问题： 　　如果说一个图形是否能一笔画出不决定于图的复杂程度，那么这事又决定于什么呢？ 　　能不能找到一条判定法则，依据这条法则，对于一个图形，不论复杂与否，也不用试画，就能知道是不是能一笔画成？ 　　先从最简单的图形进行考察。一些平面图形是由点和线构成的。这里所说的“线”，可以是直线段，也可以是一段曲线。而且为了明显起见，图中所有线的端点或是几条线的交点都用较大的黑点“●”表示出来了。 　　首先不难发现，每个图中的每一个点都有线与它相连；有的点与一条线相连，有的点与两条线相连，有的点与3条线相连等等。 　　其次从前面的试画过程中已经发现，一个图能否一笔画成不在于图形是否复杂，也就是说不在于这个图包含多少个点和多少条线，而在于点和线的连接情况如何——一个点在图中究竟和几条线相连。看来，这是需要仔细考察的。第一组（见下图） 　　（1）两个点，一条线。 　　每个点都只与一条线相连。 　　（2）三个点。 　　两个端点都只与一条线相连，中间点与两条线连。 　　第一组的两个图都能一笔画出来。 　　（但注意第（2）个图必须从一个端点画起）第二组（见下图） 　　（1）五个点，五条线。 　　A点与一条线相连，B点与三条线相连，其他的点都各与两条线相连。 　　（2）六个点，七条线。（“日”字图） 　　A点与B点各与三条线相连，其他点都各与两条线相连。 　　第二组的两个图也都能一笔画出来，如箭头所示那样画。即起点必需是A点（或B点），而终点则定是B点（或A点）。 　　第三组（见下图） 　 　　（1）四个点，三条线。 　　三个端点各与一条线相连，中间点与三条线相连。 　　（2）四个点，六条线。 　　每个点都与三条线相连。 　　（3）五个点，八条线。 　　点O与四条线相连，其他四个顶点各与三条线相连。 　　第三组的三个图形都不能一笔画出来。 　　第四组（见下图） 　　（1）这个图通常叫五角星。 　　五个角的顶点各与两条线相连，其他各点都各与四条线相连。 　　（2）由一个圆及一个内接三角形构成。 　　三个交点，每个点都与四条线相连（这四条线是两条线段和两条弧线）。 　　（3）一个正方形和一个内切圆构成。 　　正方形的四个顶点各与两条线相连，四个交点各与四条线相连。 　　（四条线是两条线段和两条弧线）。 　　第四组的三个图虽然比较复杂，但每一个图都可以一笔画成，而且画的时候从任何一点开始画都可以。第五组（见下图） 　　（1）这是“品”字图形，它由三个正方形构成，它们之间没有线相连。 　　（2）这是古代的钱币图形，它是由一个圆形和中间的正方形方孔组成。圆和正方形之间没有线相连。 　　第五组的两个图形叫不连通图，显然不能一笔把这样的不连通图画出来。 　　进行总结、归纳，看能否找出可以一笔画成的图形的共同特点，为方便起见，把点分为两种，并分别定名： 　　把和一条、三条、五条等奇数条线相连的点叫做奇点；把和两条、四条、六条等偶数条线相连的点叫偶点，这样图中的要么是奇点，要么是偶点。 　　提出猜想：一个图能不能一笔画成可能与它包含的奇点个数有关，对此列表详查： 　　从此表来看，猜想是对的。下面试提出几点初步结论： 　　①不连通的图形必定不能一笔画；能够一笔画成的图形必定是连通图形。 　　②有0个奇点（即全部是偶点）的连通图能够一笔画成。（画时可以任一点为起点，最后又将回到该点）。 　　③只有两个奇点的连通图也能一笔画成（画时必须以一个奇点为起点，而另一个奇点为终点）； 　　④奇点个数超过两个的连通图形不能一笔画成。最后，综合成一条判定法则： 　　有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成，否则不能一笔画成。 　　能够一笔画成的图形，叫做“一笔画”。 　　用这条判定法则看一个图形是不是一笔画时，只要找出这个图形的奇点的个数来就能行了，根本不必用笔试着画来画去。 　　看看下面的图可能会加深你对这条法则的理解。 　　 　　从画图的过程来看：笔总是先从起点出发，然后进入下一个点，再出去，然后再进出另外一些点，一直到最后进入终点不再出来为止。由此可见： 　　①笔经过的中间各点是有进有出的，若经过一次，该点就与两条线相连，若经过两次则就与四条线相连等等，所以中间点必为偶点。 　　②再看起点和终点，可分为两种情况：如果笔无重复地画完整个图形时最后回到起点，终点和起点就重合了，那么这个重合点必成为偶点，这样一来整个图形的所有点必将都是偶点，或者说有0个奇点；如果笔画完整个图形时最后回不到起点，就是终点和起点不重合，那么起点和终点必定都是奇点，因而该图必有2个奇点，可见有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成。 附送： 2019-2020年二年级数学 奥数讲座 找规律（二） 　　例1 仔细观察下面的图形，找出变化规律，猜猜在第3组的右框空白格内填一个什么样的图？ 　　解：仔细观察图7—1，可知： 　　第1组左边是个大菱形，右边是个小菱形。 　　第2组左边是个大三角形，右边是个小三角形。 　　其规律是：每组中左右两边图形的形状相同，大小不同。都是左边的图形大，右边的图形小。 　　猜出答案：第3组中右边空白格内应填个小长方形。（如图7—3）。 　　仔细观察图7—2可知： 　　第1组左边是个圆，而且左半圆涂有阴影线。右边是左边的阴影半圆顺时针旋转后放置的。 　　第2组左边是个等腰三角形，而且左半部（直角三角形）涂有阴影线，右边是左边阴影直角三角形顺时针旋转后放置的。 　　其规律是：每组的右边格内的图形都是左边图形左边的一半，顺时针旋转放置后成为右边图形。 　　猜出答案：第3组中右框内应填个阴影小长方形。如图7—4示。 　　例2 按顺序仔细观察图7—5、7—6的形状，猜一猜第3组的“？”处应填什么图？ 　　解：图7—5的？处应填○▲。注意观察第1组和第2组，每组都是由三对小图形组成；而每对小图形都是由一个“空白”的和一个“黑色”的小图形组成；而且它俩的排列顺序都是“空白”的在左边，“黑色”的在右边。 　　再按着第1、第2、第3组的顺序观察下去，可发现每对小图形在各组中的位置的变化规律：它们都在向左移动，当一对小图形移动到最左边后，下一步它就回到了最右边。按这个移动规律，可知图7—5中第3组“？”处应填：○▲。 　　图7—6的？处应填□△0。仔细观察可发现第1组和第2组中间的部分都是由三个小图形构成的。构成的规律是：当你按照第1、第2、第3组的顺序观察时，6个小图形都在向左移动，而且移动的同时又在重新分组和组合，但排列顺序保持不变，当某一个小图形移动到了最左边时，下一步它就回到了最右边。按这个规律可知图7—6中第3组中间“？”处是：□△0。 　　例3 观察图7—7的变化，请先回答：在方框（4）中应画出怎样的图形？ 　　再答按（1）、（2）、（3）、……的顺序数下去，第（10）个方框中是怎样的图形？ 　　解：先按（1）、（2）、（3）、……的顺序仔细观察，可发现： 　　方框中的箭头是按逆时针方向旋转的；方框中的其他小图形，如△、□和○也都是按逆时针方向旋转的。 　　也就是说，方框连同内部的所有小图形作为一个整体在按逆时针方向旋转。 　　因此，方框（4）中的小图形应画成图7—8状。再按已找到的规律，进一步可发现图形的变化是有“周期性”的，也就是说，每过4个方框后，同样的图形又重新出现一次。如，你可看到第（1）和第（5）是完全一样的；因此，你可以想像得到，第（2）和第（6）及第（10）个图形应当是完全一样的。即第（10）个方框中的图形应是图7—9所示的样子。 　　例4 观察图7—10的变化，请先回答： 　　第（4）、（8）个图中，黑点在什么地方？ 　　第（10）、（18）个图中，黑点在什么地方？ 　　解：（1）按图7—10中（1）、（2）、（3）、……的顺序仔细观察，可发现黑点位置的变化规律： 　　在（1）中，黑点在最上面第一条横线上； 　　在（2）中，黑点下降了一格，在上面第二条横线上； 　　在（3）中，黑点又下降了一格，在中间一条线上了。 　　按黑点位置的这种变化可推测出： 　　在（4）中，黑点又下降一格，它的位置应如图7—11所示。 　　继续观察下去： 　　在（5）中，黑点下降到最下面的一条横线上； 　　在（6）中，黑点开始往上升一格； 　　在（7）中，黑点再上升一格，按着黑点位置的这种变化可推测出： 　　在（8）中，黑点又上升一格，它的位置应如图7—12所示。 　　（2）进一步仔细观察图7—10（1）～（9），可发现黑点位置变化的“周期性”规律：也就是说，每隔8个小图，黑点又回到原来的位置。 　　因为2+8=10，2+8+8=18。 　　所以第（10）、（18）个小图中，黑点的位置应与第（2）个小图相同，见图7—13所示。