浙江省2019年中考数学复习 微专题六 以特殊四边形为背景的计算与证明训练.doc

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微专题六　以特殊四边形为背景的计算与证明 姓名：________　班级：________　用时：______分钟 1．如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD.O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD.求证： (1)∠BOD＝∠C； (2)四边形OBCD是菱形． 2．如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝CD，连结CF. (1)求证：△AEF≌△DEB； (2)若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论． 3．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E，F分别在AB，BC上(AE＜BE)，且∠EOF＝90，OE，DA的延长线交于点M，OF，AB的延长线交于点N，连结MN. (1)求证：OM＝ON； (2)若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长． 4．如图，点E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上一点，若AE＝DC＝2ED，且EF⊥EC. (1)求证：点F为AB的中点； (2)延长EF与CB的延长线相交于点H，连结AH，已知ED＝2，求AH的值． 5．问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD.并且量得AB＝2 cm，AC＝4 cm. 操作发现： (1)将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，过点C作AC′的平行线，与DC′的延长线交于点E，则四边形ACEC′的形状是________； (2)创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B，A，D三点在同一条直线上，得到如图3所示的△AC′D，连结CC′，取CC′的中点F，连结AF并延长至点G，使FG＝AF，连结CG，C′G，得到四边形ACGC′，发现它是正方形，请你证明这个结论； 实践探究： (3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A′点，A′C与BC′相交于点H，如图4所示，连结CC′，试求tan∠C′CH的值．  参考答案 1．证明：(1)如图，延长AO到E. ∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO. 又∠BOE＝∠ABO＋∠BAO， ∴∠BOE＝2∠BAO. 同理∠DOE＝2∠DAO， ∴∠BOE＋∠DOE＝2∠BAO＋2∠DAO＝2(∠BAO＋∠DAO)， 即∠BOD＝2∠BAD. 又∠C＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠C. (2)如图，连结OC. ∵OB＝OD，CB＝CD，OC＝OC， ∴△OBC≌△ODC， ∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO. ∵∠BOD＝∠BOC＋∠DOC， ∠BCD＝∠BCO＋∠DCO， ∴∠BOC＝∠BOD，∠BCO＝∠BCD. 又∠BOD＝∠BCD， ∴∠BOC＝∠BCO，∴BO＝BC. 又OB＝OD，BC＝CD， ∴OB＝BC＝CD＝DO， ∴四边形OBCD是菱形． 2．证明：(1)∵E是AD的中点，∴AE＝DE. ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE，∠EAF＝∠EDB， ∴△AEF≌△DEB(AAS)． (2)如图，连结DF. ∵AF∥CD，AF＝CD， ∴四边形ADCF是平行四边形． ∵△AEF≌△DEB，∴BE＝FE. ∵AE＝DE， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴DF＝AB. ∵AB＝AC，∴DF＝AC， ∴四边形ADCF是矩形． 3．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OB，∠DAO＝45，∠OBA＝45， ∴∠OAM＝∠OBN＝135. ∵∠EOF＝90，∠AOB＝90， ∴∠AOM＝∠BON， ∴△OAM≌△OBN(ASA)，∴OM＝ON. (2)解：如图，过点O作OH⊥AD于点H. ∵正方形的边长为4，∴OH＝HA＝2. ∵E为OM的中点，∴HM＝4， 则OM＝＝2， ∴MN＝OM＝2. 4．(1)证明：∵EF⊥EC， ∴∠CEF＝90，∴∠AEF＋∠DEC＝90. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠AEF＋∠AFE＝90， ∠DEC＋∠DCE＝90， ∴∠AEF＝∠DCE，∠AFE＝∠DEC. ∵AE＝DC，∴△AEF≌△DCE. ∴ED＝AF. ∵AE＝DC＝AB＝2DE， ∴AB＝2AF，∴F是AB的中点． (2)解：由(1)得AF＝FB，且AE∥BH， ∴∠FBH＝∠FAE＝90，∠AEF＝∠FHB， ∴△AEF≌△BHF，∴HB＝AE. ∵ED＝2，且AE＝2ED，∴AE＝4， ∴HB＝AB＝AE＝4， ∴AH2＝AB2＋BH2＝16＋16＝32， ∴AH＝4. 5．解：(1)菱形 (2)在图1中，∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠CAD＝∠ACB，∠B＝90， ∴∠BAC＋∠ACB＝90. 在图3中，由旋转知，∠DAC′＝∠DAC， ∴∠ACB＝∠DAC′， ∴∠BAC＋∠DAC′＝90. ∵点D，A，B在同一条直线上， ∴∠CAC′＝90. 由旋转知，AC＝AC′. ∵点F是CC′的中点，∴AG⊥CC′，CF＝C′F. ∵AF＝FG， ∴四边形ACGC′是平行四边形． ∵AG⊥CC′，∴四边形ACGC′是菱形． ∵∠CAC′＝90， ∴菱形ACGC′是正方形． (3)在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4， ∴BC′＝AC＝4，BD＝BC＝2， sin ∠ACB＝＝， ∴∠ACB＝30. 由(2)结合平移知，∠CHC′＝90. 在Rt△BCH中，∠ACB＝30， ∴BH＝BCsin 30＝， ∴C′H＝BC′－BH＝4－. 在Rt△ABH中，AH＝AB＝1， ∴CH＝AC－AH＝4－1＝3， 在Rt△CHC′中， tan ∠C′CH＝＝.