2019-2020年二年级数学 奥数讲座 认识简单数列.doc

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2019-2020年二年级数学 奥数讲座 认识简单数列 　　我们把按一定规律排列起来的一列数叫数列。 　　在这一讲里，我们要认识一些重要的简单数列，还要学习找出数列的生成规律；学会把数列中缺少的数写出来，最后还要学习解答一些生活中涉及数列知识的实际问题。 　　例1 找出下面各数列的规律，并填空。 　　（1）1，2，3，4，5，□，□，8，9，10。 　　（2）1，3，5，7，9，□，□，15，17，19。 　　（3）2，4，6，8，10，□，□，16，18，20。 　　（4）1，4，7，10，□，□，19，22，25。 （5） 5，10，15，20，□，□，35，40，45。 　　注意：自然数列、奇数列、偶数列也是等差数列。 　　例2 找出下面的数列的规律并填空。 　　1，1，2，3，5，8，13，□，□，55，89。 　　解：这叫斐波那契数列，从第三个数起，每个数都是它前面的两个数之和。这是个有重要用途的数列。8+13=21，13+21=34。所以： 　　空处依次填： 　　例3 找出下面数列的生成规律并填空。 　　1，2，4，8，16，□，□，128，256。 　　解：它叫等比数列，它的后一个数是前一个数的2倍。162=32，322=64，所以空处依次填： 　　例4 找出下面数列的规律，并填空。 　　1，2，4，7，11，□，□，29，37。 解：这数列规律是：后一个数减前一个数的差是逐渐变大的，这些差是个自然数列： 　　 　　例5 找出下面数列的规律，并填空： 　　1，3，7，15，31，□，□，255，511。 　　解：规律是：后一个数减前一个数的差是逐渐变大的，差的变化规律是个等比数列，后一个差是前一个差的2倍。 　　另外，原数列的规律也可以这样看：后一个数等于前一个数乘以2再加1，即后一个数=前一个数2+1。 　　例6 找出下面数列的生成规律，并填空。 　　1，4，9，16，25，□，□，64，81，100。 　　解：这是自然数平方数列，它的每一个数都是自然数的自乘积。如：1=11，4=22，9=33，16=44，25=55，36=66，47=77，64=88，81=99，100=1010。 　　若写成下面对应起来的形式，就看得更清楚。 　　自然数列： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　　↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 　　自然数平方数列：1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 　　例7 一辆公共汽车有78个座位，空车出发。第一站上1位乘客，第二站上2位，第三站上3位，依此下去，多少站以后，车上坐满乘客？（假定在坐满以前，无乘客下车，见表四（1）） 　　 　　方法2：由上表可知，车上的人数是自1开始的连续自然数相加之和，到第几站后，就加到几，所以只要加到出现78时，就可知道是到多少站了， 　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（人） 　　可见第12站以后，车上坐满乘客。 　　例8 如果第一个数是3，以后每隔6个数写出一个数，得到一列数：3，10，17，……，73。这里3叫第一项，10叫第二项，17叫第三项，试求73是第几项？ 　　解：从第1项开始，把各项依次写出来，一直写到73出现为止（见表四（2））。 　　可见73是第11项。 　　例9 一天，爸爸给小明买了一包糖，数一数刚好100块。爸爸灵机一动，又拿来了10个纸盒，接着说：“小明，现在你把糖往盒子里放，我要求你在第一个盒子里放2块，第二个盒子里放4块，第三个盒子里放8块，第四个盒子里放16块，……照这样一直放下去。要放满这10个盒，你说这100块糖够不够？”小朋友，请你帮小明想一想？ 　　解：小朋友，你是不是以为100块糖肯定能够放满这10个纸盒的了！下面让我们算一算，看你想得对不对（见表四（3））。表四（3） 　　放满10个盒所需要的糖块总数： 　　 　　可见100块糖是远远不够的，还差1946块呢！这可能是你没有想到的吧！其实，数学中还有很多很多奇妙无比的故事呢。 附送： 2019-2020年二年级数学 奥数讲座 逆序推理法 　　逆序推理法，也叫逆推法或倒推法。简单说，就是调过头来往回想。 　　例1 老师心中想了一个数，对他的学生说：“给这个数加上9，再取和的一半应是5。”他叫学生们把这个数算出来。你会算吗？ 　　解：用逆推法求解，就是这样想：因为老师想的数加上9后之和的一半是5，那么和就应是 52=10；再往前逆推，在没有加上9之前应是10-9=1，这就是老师心中想的数。 　　让我们再从另一种思路去想： 　　首先，把老师想的数用□代表，顺着题意列式应有： 　　（□+9）2=5，我们可以叫它做顺序式。 　　然后，再把前面的逆推过程写成算式，就应有： 　　52-9=1，“1”就是方框所代表的数，所以把它写在方框里。我们可以把这个算式叫做逆序式。把两式进行对照比较（如下图如示）可见： 　 　　①顺序的运算结果（或最后结论）是逆序式的已知数据（或起始条件）； 　　②顺序式中除以2变为逆序式中乘以2； 　　③顺序式中加上9变为逆序式中减去9； 　　④顺序式中起始未知数变为逆序式中最后运算结果； 　　总之，逆序式恰为顺序式的逆运算。 　　这就是逆推法的由来和实质。 　　例2 某数加上6，乘以6，减去6，除以6，最后结果等于6。问这个数是几？ 　　解：依题意，写出顺序式，再接着写出逆序式， 　　[（某数+6）6-6]6=6…顺序式 　　（66+6）6-6=某数…逆序式 　　经计算可知“某数”=1。 　　例3 小勇拿了妈妈给的零花钱去买东西。他先用这些钱的一半买了玩具，之后又买了1元5角钱的小人书，最后还剩下3角钱。你知道妈妈给小勇多少钱吗？ 　　解：可以这样倒着想：小勇最后剩下3角钱，在买书之前的钱应是3角+1元5角=1元8角。这个数目是他买玩具后剩下的，买玩具前的钱数应当是：1元8角2=3元6角。这就是妈妈给他的钱数。 　　若画出下面的图就更清楚了。 　　例4 小亮拿着1包糖，遇见好朋友A，分给了他一半；过一会又遇见好朋友B，把剩下的糖的一半分给了他；后来又遇到了好朋友C，把这时手中所剩下的糖的一半又分给了C，这时他自己手里只有一块了。问在没有分给A以前，小亮那包糖有几块？ 　　解：采用逆推法--从最后结果往前倒着推算。小亮最后手里只剩下一块糖，这是分给C一半后所剩的数，则知遇见C之前小亮有糖： 　　12=2（块）。 　　同理，遇到B之前有糖：22=4（块）。 　　遇到A之前有糖：42=8（块）。 　　即小亮未给小朋友前，那包糖应有8块。 　　例5 农妇卖蛋，第一次卖掉篮中的一半又1个，第二次又卖掉剩下的一半又1个，这时篮中还剩1个。问原来篮中有蛋几个？ 　　解： 　　逆推：篮中最后（即第二次卖后）剩1个； 　　第二次卖前篮中有（1+1）2=4个； 　　第一次卖前篮中有（4+1）2=10个； 　　即篮中有10个蛋。 　　例6 某池中的睡莲所遮盖的面积，每天扩大1倍，20天恰好遮住整个水池，问若只遮住水池的一半需要多少天？ 　　解：倒着想。若是今天睡莲把整个池面遮满了，那么昨天睡莲只遮住了水面的一半。今天是第20天，昨天就是第19天，也就是说睡莲遮住一半池面需19天。 　　例7 文化用品店新到一批日记本，上一周售出本数比总数的一半少12本；这一周售出的本数比所剩的一半多12本；结果还有19本。问这批日记本有多少？ 　　解： 　　由图上可见本周未售出时的一半是： 　　19+12=31（本）； 　　本周未售出时的总数是： 　　312=62（本）； 　　总数的一半是： 　　62-12=50（本）； 　　总本数是： 　　502=100（本）。 　　列出综合算式： 　　[（19+12）2-12]2=100（本）。 　　答：这批日记本共有100本。 　　例8 现有一堆棋子，把它分成三等份后还剩一颗；取出其中的两份又分成三等份后还剩一颗；再取出其中的两份再分成三等份后还剩一颗。问原来至少有多少颗棋子？ 　　解：题中有“至少”这一条。 　　用逆推法从最后的最少棋子情况逆推。先画线段图依次表示分棋子的过程，见下图： 　　假设第三次分时，三等份中每分是1个棋子（最少）， 　　则此次分前应是3+1=4个；42=2，则第二次分前应是23+1=7个，注意7是奇数（第二次分前的棋子是第一次分后的两份，应是偶数所以不应是7，可见前面假设不对）。 　　再假设第三次分时每等份是2个棋子，也不行。 　　又假设第三次分时每等份是3个棋子，则有 　　33+1=10； 　　102=5，53+1=16； 　　162=8，83+1=25； 　　∴原来有棋子至少是25个。