2019-2020年三年级数学 奥数讲座 植树问题.doc

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2019-2020年三年级数学 奥数讲座 植树问题 　　绿化工程是造福子孙后代的大事。确定在一定条件下栽树、种花的棵数是最简单、最基本的“植树问题”。还有许多应用题可以化为“植树问题”来解，或借助解“植树问题”的思考方法来解。 　　先介绍四类最简单、最基本的植树问题。 　　为使其更直观，我们用图示法来说明。树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。 　　显然，只有下面四种情形： 　　(1)非封闭线的两端都有“点”时， 　　“点数”＝“段数”＋1。 　　(2)非封闭线只有一端有“点”时， 　　“点数”=“段数”。 　　(3)非封闭线的两端都没有“点”时， 　　“点数”＝“段数”-1。 　　(4)封闭线上，“点数”=“段数”。 　　最简单、最基本的植树问题只有这四类情形。 　　例如，一条河堤长420米，从头到尾每隔3米栽一棵树，要栽多少棵树？这是第(1)种情形，所以要栽树4203＋1＝141(棵)。 　　又如，肖林家门口到公路边有一条小路，长40米。肖林要在小路一旁每隔2米栽一棵树，一共要栽多少棵树？由于门的一端不能栽树，公路边要栽树，所以，属于第(2)种情形，要栽树402＝20(棵)。 　　再如，两座楼房之间相距30米，每隔2米栽一棵树，一直行能栽多少棵树？因紧挨楼房的墙根不能栽树，所以，属于第(3)种情形，能栽树302-1＝14(棵)。 　　再例如，一个圆形水池的围台圈长60米。如果在此台圈上每隔3米放一盆花，那么一共能放多少盆花？这属于第(4)种情形，共能放花603＝20(盆)。 　　许多应用题都可以借助或归结为上述植树问题求解。 例1在一段路边每隔50米埋设一根路灯杆，包括这段路两端埋设的路灯杆，共埋设了10根。这段路长多少米？ 解：这是第(1)种情形，所以，“段数”＝10－1＝9。这段路长为50(10-1)＝450(米)。 　　答：这段路长450米。 例2小明要到高层建筑的11层，他走到5层用了100秒，照此速度计算，他还需走多少秒？ 　　分析：因为1层不用走楼梯，走到5层走了4段楼梯，由此可求出走每段楼梯用100(5－1)＝25(秒)。走到11层要走10段楼梯，还要走6段楼梯，所以还需 　　256＝150(秒)。 解：［100(5-1)］(11-5)＝150(秒)。 　　答：还需150秒。 例3一次检阅，接受检阅的一列彩车车队共30辆，每辆车长4米，前后每辆车相隔5米。这列车队共排列了多长？如果车队每秒行驶2米，那么这列车队要通过535米长的检阅场地，需要多少时间？ 解：车队间隔共有 　　30-1＝29(个)， 　　每个间隔5米，所以，间隔的总长为 　　(30-1)5＝145(米)， 　　而车身的总长为304＝120(米)，故这列车队的总长为 　　(30-1)5+304＝265(米)。 　　由于车队要行265＋535＝800(米)，且每秒行2米，所以，车队通过检阅场地需要 　　(265＋535)2＝400(秒)＝6分40秒。 　　答：这列车队共长265米，通过检阅场地需要6分40秒。 例4下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形。它的长度是多少？十个这样的铁环连在一起有多长？ 解：如上图所示。关键是求出重叠的“环扣”数(每个长6毫米)。根据植树问题的第(3)种情形知，五个连在一起的“环扣”数为5-1＝4(个)，所以重叠部分的长为 　　6(5-1)＝24(毫米)， 　　又4厘米=40毫米，所以五个铁环连在一起长 　　405-6(5－1)＝176(毫米)。 　　同理，十个铁环连在一起的长度为 　　4010-6(10-1)=346(毫米)。 　　答：五个铁环连在一起的长度为176毫米。十个铁环连在一起的长度为346毫米。 例5父子俩一起攀登一个有300个台阶的山坡，父亲每步上3个台阶，儿子每步上2个台阶。从起点处开始，父子俩走完这段路共踏了多少个台阶？(重复踏的台阶只算一个)。 解：因为两端的台阶只有顶的台阶被踏过，根据已知条件，儿子踏过的台阶数为 　　3002＝150(个)， 　　父亲踏过的台阶数为3003＝100(个)。 　　由于23=6，所以父子俩每6个台阶要共同踏一个台阶，共重复踏了3006＝50(个)。所以父子俩共踏了台阶 　　150＋100-50＝200(个)。 　　答：父子俩共踏了200个台阶。 练习 　　1.学校有一条长60米的走道，计划在道路一旁栽树。每隔3米栽一棵。 　　(1)如果两端都各栽一棵树，那么共需多少棵树苗？ 　　(2)如果两端都不栽树，那么共需多少棵树苗？ 　　(3)如果只有一端栽树，那么共需多少棵树苗？ 　　2.一个长100米，宽20米的长方形游泳池，在离池边3米的外围圈(仍为长方形)上每隔2米种一棵树。共种了多少棵树？ 　　3.一根90厘米长的钢条，要锯成9厘米长的小段，一共要锯几次？ 　　4.测量人员测量一条路的长度。先立了一个标杆，然后每隔40米立一根标杆。当立杆10根时，第1根与第10根相距多少米？ 　　5.学校举行运动会。参加入场式的仪仗队共180人，每6人一行，前后两行间隔120厘米。这个仪仗队共排了多长？ 　　6.在一条长1200米的河堤边等距离植树(两端都要植树)。已挖好每隔6米植一棵树的坑，后要改成每隔4米植一棵树。还要挖多少个坑？需要填上多少个坑？ 　　7.一个车队以5米/秒的速度缓缓地通过一座210米长的大桥，共用100秒。已知每辆车长5米，两车之间相隔10米，那么这个车队共有多少辆车？ 附送： 2019-2020年三年级数学 奥数讲座 横式数字谜（一） 　　在一个数学式子(横式或竖式)中擦去部分数字，或用字母、文字来代替部分数字的不完整的算式或竖式，叫做数字谜题目。解数字谜题就是求出这些被擦去的数或用字母、文字代替的数的数值。 　　例如，求算式324+□=528中□所代表的数。 　　根据“加数=和-另一个加数”知， 　　□=582-324＝258。 　　又如，求右竖式中字母A，B所代表的数字。显然个位数相减时必须借位，所以，由12-B＝5知，B＝12-5＝7；由A-1＝3知，A＝3＋1＝4。 　　解数字谜问题既能增强数字运用能力，又能加深对运算的理解，还是培养和提高分析问题能力的有效方法。 　　这一讲介绍简单的算式(横式)数字谜的解法。 　　解横式数字谜，首先要熟知下面的运算规则： (1)一个加数+另一个加数=和； (2)被减数-减数=差； (3)被乘数乘数=积； (4)被除数除数=商。 　　由它们推演还可以得到以下运算规则： 　　由(1)，得 和-一个加数=另一个加数； 　　其次，要熟悉数字运算和拆分。例如，8可用加法拆分为 　　8＝0＋8＝1＋7＝2＋6＝3＋5＝4＋4； 　　24可用乘法拆分为 　　24＝124=212＝38＝46(两个数之积) 　　=1212＝226=…(三个数之积) 　　=1226＝2223=…(四个数之积) 例1 下列算式中，□，○，△，☆，*各代表什么数？ (1)□+5＝13-6； (2)28-○＝15＋7； (3)3△=54； (4)☆3＝87； (5)56*＝7。 解：(1)由加法运算规则知，□=13-6-5＝2； (2)由减法运算规则知，○＝28-(15＋7)＝6； (3)由乘法运算规则知，△＝543＝18； (4)由除法运算规则知，☆=873＝261； (5)由除法运算规则知，*＝567＝8。 例2 下列算式中，□，○，△，☆各代表什么数？ (1)□+□+□=48； (2)○＋○＋6＝21-○； (3)5△-186＝12； (4)63-45☆＝13。 解：(1)□表示一个数，根据乘法的意义知， 　　□+□+□=□3， 　　故□=483＝16。 (2)先把左端(○＋○＋6)看成一个数，就有 　　(○＋○＋6)＋○＝21， 　　○3＝21-6， 　　○＝153＝5。 (3)把5△，186分别看成一个数，得到 　　5△=12＋186， 　　5△=15， 　　△=155＝3。 (4)把63，45☆分别看成一个数，得到 　　45☆＝63-13， 　　45☆＝5， 　　☆＝455＝9。 例3(1)满足58＜12□＜71的整数□等于几？ (2)180是由哪四个不同的且大于1的数字相乘得到的？试把这四个数按从小到大的次序填在下式的□里。 　　180=□□□□。 (3)若数□，△满足 　　□△=48和□△=3， 　　则□，△各等于多少？ 分析与解：(1)因为 　　5812＝4……10，7112＝5……11， 　　并且□为整数，所以，只有□=5才满足原式。 (2)拆分180为四个整数的乘积有很多种方法，如 　　180＝1459＝12330＝… 　　但拆分成四个“大于1”的数字的乘积，范围就缩小了，如 　　180＝2259＝2356＝… 　　若再限制拆分成四个“不同的”数字的乘积，范围又缩小了。按从小到大的次序排列只有下面一种： 　　180＝2356。 　　所以填的四个数字依次为2，3，5，6。 (3)首先，由□△=3知，□＞△，因此，在把48拆分为两数的乘积时，有 　　48＝481＝242＝163＝124＝86， 　　其中，只有48＝124中，124=3，因此 　　□=12，△=4。 　　这道题还可以这样解：由□△=3知，□=△3。把□△=48中的□换成△3，就有 　　(△3)△＝48， 　　于是得到△△=483＝16。因为16＝44，所以△=4。再把□=△3中的△换成4，就有 　　□=△3=43=12。 　　这是一种“代换”的思想，它在今后的数学学习中应用十分广泛。 　　下面，我们再结合例题讲一类“填运算符号”问题。 例4 在等号左端的两个数中间添加上运算符号，使下列各式成立： (1)4 4 4 4＝24； (2)5 5 5 5 5=6。 解：(1)因为4＋4＋4＋4＜24，所以必须填一个“”。44＝16，剩下的两个4只需凑成8，因此，有如下一些填法： 　　44＋4＋4＝24； 　　4＋44＋4＝24； 　　4＋4＋44＝24。 (2)因为5+1=6，等号左端有五个5，除一个5外，另外四个5凑成1，至少要有一个“”，有如下填法： 　　55+5-5+5＝6； 　　5＋55＋5-5＝6； 　　5＋5555=6； 　　5＋5555＝6。 　　由例4看出，填运算符号的问题一般会有多个解。这些填法都是通过对问题的综合观察、分析和试算得到的，如果只是盲目地“试算”，那么就可能走很多弯路。 例5 在下式的两数中间添上四则运算符号，使等式成立： 　　8 2 3＝3 3。 分析与解：首先考察右端“3 3”，它有四种填法： 　　3+3＝6； 3-3＝0； 　　33＝9； 33=1。 　　再考察左端“8 2 3”，因为只有一个奇数3，所以要想得到奇数，3的前面只能填“＋”或“-”，要想得到偶数，3的前面只能填“”。经试算，只有两种符合题意的填法： 　　8-2＋3＝33；82-3＝33。 　　填运算符号可加深对四则运算的理解和认识，也是培养分析能力的好内容。