高考数学 考前三个月复习冲刺 专题7 第32练 与抛物线有关的热点问题课件 理.ppt

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专题7解析几何 第32练与抛物线有关的热点问题 题型分析 高考展望 抛物线是三种圆锥曲线之一 应用广泛 是高考的重点考查对象 抛物线方程 几何性质 直线与抛物线结合的问题都是高考热点 考查形式有选择题 填空题也有解答题 小题难度一般为低中档层次 解答题难度为中档偏上 常考题型精析 高考题型精练 题型一抛物线的定义及其应用 题型二抛物线的标准方程及几何性质 题型三直线和抛物线的位置关系 常考题型精析 题型一抛物线的定义及其应用 例1设P是抛物线y2 4x上的一动点 1 求点P到A 1 1 的距离与点P到直线x 1的距离之和的最小值 解由于A 1 1 F 1 0 P是抛物线上的任意一点 2 若B 3 2 抛物线的焦点为F 求 PB PF 的最小值 解如图所示 自点B作BQ垂直于抛物线的准线于点Q 交抛物线于点P1 此时 P1Q P1F 那么 PB PF P1B P1Q BQ 4 即 PB PF 的最小值为4 点评与抛物线有关的最值问题 一般情况下都与抛物线的定义有关 由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性 因此此类问题也有一定的难度 看到准线想焦点 看到焦点想准线 这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径 A 题型二抛物线的标准方程及几何性质 N点在抛物线上 点评 1 由抛物线的标准方程 可以首先确定抛物线的开口方向 焦点的位置及p的值 再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程 2 求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法 其关键是判断焦点位置 开口方向 在方程的类型已经确定的前提下 由于标准方程只有一个参数p 只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程 变式训练2 2015 福建 如图 已知点F为抛物线E y2 2px p 0 的焦点 点A 2 m 在抛物线E上 且 AF 3 1 求抛物线E的方程 所以抛物线E的方程为y2 4x 2 已知点G 1 0 延长AF交抛物线E于点B 证明 以点F为圆心且与直线GA相切的圆 必与直线GB相切 解因为点A 2 m 在抛物线E y2 4x上 得2x2 5x 2 0 又G 1 0 所以kGA kGB 0 从而 AGF BGF 这表明点F到直线GA GB的距离相等 故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切 方法二 1 同方法一 2 设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r 因为点A 2 m 在抛物线E y2 4x上 得2x2 5x 2 0 又G 1 0 这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切 题型三直线和抛物线的位置关系 2 y轴上是否存在点P 使得当k变动时 总有 OPM OPN 说明理由 解存在符合题意的点 证明如下 设P 0 b 为符合题意的点 M x1 y1 N x2 y2 直线PM PN的斜率分别为k1 k2 将y kx a代入C的方程得x2 4kx 4a 0 故x1 x2 4k x1x2 4a 当b a时 有k1 k2 0 则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补 故 OPM OPN 所以点P 0 a 符合题意 点评 1 直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆 双曲线的位置关系类似 一般要用到根与系数的关系 2 有关直线与抛物线的弦长问题 要注意直线是否过抛物线的焦点 若过抛物线的焦点 可直接使用公式 AB x1 x2 p 若不过焦点 则必须用一般弦长公式 3 涉及抛物线的弦长 中点 距离等相关问题时 一般利用根与系数的关系采用 设而不求 整体代入 等解法 提醒 涉及弦的中点 斜率时一般用 点差法 求解 变式训练3已知抛物线C y mx2 m 0 焦点为F 直线2x y 2 0交抛物线C于A B两点 P是线段AB的中点 过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q 1 求抛物线C的焦点坐标 2 若抛物线C上有一点R xR 2 到焦点F的距离为3 求此时m的值 3 是否存在实数m 使 ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形 若存在 求出m的值 若不存在 说明理由 消去y得mx2 2x 2 0 P是线段AB的中点 若存在实数m 使 ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形 存在实数m 2 使 ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2014 辽宁 已知点A 2 3 在抛物线C y2 2px的准线上 过点A的直线与C在第一象限相切于点B 记C的焦点为F 则直线BF的斜率为 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 从而C y2 8x 焦点为F 2 0 设切线方程为y 3 k x 2 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案D 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 2015 浙江 如图 设抛物线y2 4x的焦点为F 不经过焦点的直线上有三个不同的点A B C 其中点A B在抛物线上 点C在y轴上 则 BCF与 ACF的面积之比是 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析由图形可知 BCF与 ACF有公共的顶点F 由抛物线方程知焦点F 1 0 作准线l 则l的方程为x 1 点A B在抛物线上 过A B分别作AK BH与准线垂直 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 垂足分别为点K H 且与y轴分别交于点N M 由抛物线定义 得 BM BF 1 AN AF 1 在 CAN中 BM AN 答案A 高考题型精练 3 已知抛物线y2 2px p 0 的焦点为F P Q是抛物线上的两个点 若 PQF是边长为2的正三角形 则p的值是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 又点P位于该抛物线上 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A 高考题型精练 4 2014 课标全国 设F为抛物线C y2 3x的焦点 过F且倾斜角为30 的直线交C于A B两点 O为坐标原点 则 OAB的面积为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案D 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 已知抛物线y2 8x的准线为l 点Q在圆C x2 y2 2x 8y 13 0上 记抛物线上任意一点P到直线l的距离为d 则d PQ 的最小值等于 A 3B 2C 4D 5 解析如图所示 由题意 知抛物线y2 8x的焦点为F 2 0 连接PF 则d PF 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 圆C的方程配方 得 x 1 2 y 4 2 4 圆心为C 1 4 半径r 2 d PQ PF PQ 显然 PF PQ FQ 当且仅当F P Q三点共线时取等号 而 FQ 为圆C上的动点Q到定点F的距离 显然当F Q C三点共线时取得最小值 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A 高考题型精练 6 已知抛物线y2 2px p 0 的焦点弦AB的两端点坐标分别为A x1 y1 B x2 y2 则的值一定等于 解析 若焦点弦AB x轴 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a b O为AD的中点 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 又 点C F在抛物线y2 2px p 0 上 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 M为AB的中点 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 过点B作BP垂直准线l于点P 则 ABP 60 BAP 30 答案2 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 已知抛物线C的方程为y2 8x 设过点N 2 0 的直线l的斜率为k 且与抛物线C相交于点S T 若S T两点只在第二象限内运动 线段ST的垂直平分线交x轴于Q点 则Q点横坐标的取值范围为 解析设S x1 y1 T x2 y2 由题意得直线ST的方程为y k x 2 显然k 0 与y2 8x联立 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为直线l与抛物线C相交于S T两点 所以 64 64k2 0 再由y1 0 y2 0 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 故Q点横坐标的取值范围为 6 答案 6 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11 2014 安徽 如图 已知两条抛物线E1 y2 2p1x p1 0 和E2 y2 2p2x p2 0 过原点O的两条直线l1和l2 l1与E1 E2分别交于A1 A2两点 l2与E1 E2分别交于B1 B2两点 1 证明 A1B1 A2B2 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 过O作直线l 异于l1 l2 与E1 E2分别交于C1 C2两点 记 A1B1C1与 A2B2C2的面积分别为S1与S2 求的值 解由 1 知A1B1 A2B2 同理可得B1C1 B2C2 C1A1 C2A2 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C1与C2都关于y轴对称 且C1的方程为x2 4y 联立 得a2 9 b2 8 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 若 AC BD 求直线l的斜率 解如图 设A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 D x4 y4 即x1 x2 x3 x4 于是 x1 x2 2 4x1x2 x3 x4 2 4x3x4 设直线l的斜率为k 则l的方程为y kx 1 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 而x1 x2是这个方程的两根 所以x1 x2 4k x1x2 4 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 而x3 x4是这个方程的两根 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12