（山西专用）2019中考数学一轮复习 第三单元 函数 第14讲 二次函数的综合应用优选习题.doc
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第14讲 二次函数的综合应用 基础满分 考场零失误 1.(xx东营)如图,抛物线y=a(x-1)(x-3)(a>0)与x轴交于A、B两点,抛物线上另有一点C在x轴下方,且使△OCA∽△OBC. (1)求线段OC的长度; (2)设直线BC与y轴交于点M,当点C是BM的中点时,求直线BM和抛物线的解析式; (3)在(2)的条件下,直线BC下方抛物线上是否存在一点P,使得四边形ABPC的面积最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 能力升级 提分真功夫 2.(xx河南,23,11分)如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=x-5经过点B,C. (1)求抛物线的解析式; (2)过点A的直线交直线BC于点M. ①当AM⊥BC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标; ②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时,请直接写出点M的坐标. 3.(xx太原二模)综合与探究 如图,抛物线y=-33x2-233x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,直线l经过B,C两点,点M从点A出发沿x轴以每秒1个单位长度的速度向终点B运动,连接CM,将线段MC绕点M顺时针方向旋转90得到线段MD,连接CD,BD.设点M运动的时间为t(t>0),请解答下列问题: (1)求点A的坐标与直线l的表达式; (2)①直接写出点D的坐标(用含t的式子表示),并求点D落在直线l上时的t的值; ②求点M运动的过程中线段CD长度的最小值; (3)在点M运动的过程中,在直线l上是否存在点P,使得△BDP是等边三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 预测猜押 把脉新中考 4.(2019原创预测)如图,在平面直角坐标系中,抛物线:y=ax2+bx+c的顶点坐标为C(-1,3),与x轴交于点A,B,点A的坐标为(-3,0),其对称轴为直线m,点D(0,2)为y轴上的一点,AD与m交于点E,将△ACE沿x轴以每秒1个单位的速度向右平移,得到△ACE,直线AC分别与直线AD交于点F,与直线m交于点G. (1)求抛物线的表达式; (2)请直接用含t的代数式表示点A,F,G的坐标; (3)当t=23时,请判断AF与FG的数量关系,并说明理由; (4)请直接写出在平移过程中,点A,F,G中,一点为另两点构成的线段中点时t的值. 答案精解精析 基础满分 1.解析 (1)由题可知当y=0时,a(x-1)(x-3)=0, 解得x1=1,x2=3,即A(1,0),B(3,0), ∴OA=1,OB=3, ∵△OCA∽△OBC, ∴OC∶OB=OA∶OC, ∴OC2=OAOB=3,则OC=3. (2)∵C是BM的中点,即OC为斜边BM的中线, ∴OC=BC,∴点C的横坐标为32, 又OC=3,点C在x轴下方, ∴C32,-32, 设直线BM的解析式为y=kx+b(k≠0), 把点B(3,0),C32,-32代入得3k+b=0,32k+b=-32,解得b=-3,k=33, ∴直线BM的解析式为y=33x-3, ∵点C32,-32在抛物线上,代入抛物线解析式,解得a=233, ∴抛物线解析式为y=233x2-833x+23. (3)存在. 设点P的坐标为x,233x2-833x+23,过点P作PQ⊥x轴交直线BM于点Q, 则Qx,33x-3, ∴PQ=33x-3-233x2-833x+23=-233x2+33x-33, 当△BCP面积最大时,四边形ABPC的面积最大, S△BCP=12PQ(3-x)+12PQx-32=34PQ=-32x2+934x-934, 当x=94时,S△BCP有最大值,即四边形ABPC的面积最大,此时点P的坐标为94,-538. 能力升级 2.解析 (1)∵直线y=x-5交x轴于点B,交y轴于点C, ∴B(5,0),C(0,-5), ∵抛物线y=ax2+6x+c过点B,C, ∴0=25a+30+c,-5=c. ∴a=-1,c=-5. ∴抛物线的解析式为y=-x2+6x-5. (2)①∵OB=OC=5,∠BOC=90, ∴∠ABC=45. ∵抛物线y=-x2+6x-5交x轴于A,B两点, ∴A(1,0). ∴AB=4. ∵AM⊥BC, ∴AM=22. ∵PQ∥AM, ∴PQ⊥BC. 若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,则PQ=AM=22. 过点P作PD⊥x轴交直线BC于点D,则∠PDQ=45. ∴PD=2PQ=4. 设P(m,-m2+6m-5),则D(m,m-5). 分两种情况讨论如下: (i)当点P在直线BC上方时, PD=-m2+6m-5-(m-5)=-m2+5m=4. ∴m1=1(舍去),m2=4. (ii)当点P在直线BC下方时, PD=m-5-(-m2+6m-5)=m2-5m=4. ∴m3=5+412,m4=5-412. 综上,点P的横坐标为4或5+412或5-412. ②M136,-176或236,-76. 3.解析 (1)当y=0时,-33x2-233x+3=0,解得x1=1,x2=-3, ∵点A在点B的左侧, ∴A(-3,0),B(1,0), ∵当x=0时,y=3, ∴C(0,3), 设直线l的表达式为y=kx+b(k≠0),将B,C两点坐标代入得0=k+b,3=b, 解得k=-3,b=3, 故直线l的表达式为y=-3x+3. (2)①当点M在AO上运动时,如图, 由题意可知AM=t,OM=3-t,MC⊥MD,过点D作x轴的垂线垂足为N,∠DMN+∠CMO=90,∠CMO+∠MCO=90, ∴∠MCO=∠DMN, 在△MCO与△DMN中, MD=MC,∠MCO=∠DMO,∠COM=∠MND, ∴△MCO≌△DMN, ∴MN=OC=3,DN=OM=3-t, ∴D(t-3+3,t-3); 同理,当点M在OB上运动时,如图, OM=t-3,△MCO≌△DMN,MN=OC=3, ON=t-3+3,DN=OM=t-3, ∴D(t-3+3,t-3). 综上得,D(t-3+3,t-3). 将D点坐标代入直线的解析式,得t=6-23. ②线段CD是等腰直角三角形CMD的斜边,若CD最小,则CM最小, ∵M在AB上运动, ∴当CM⊥AB时,CM最短,CD边最短,即CM=CO=3,根据勾股定理得CD边最小值为6. (3)当点M在AO上运动,即0
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