2019届高三数学6月模拟考试题 理(含解析).doc

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2019届高三数学6月模拟考试题 理(含解析) 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则集合与的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据函数定义域求集合M，再根据定义求集合Q，最后根据集合交集与并集定义确定选项. 【详解】由； 因为，所以; ,选C. 【点睛】集合的基本运算的关注点 (1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． (2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图． 2. 已知为虚数单位，复数i(2−i),i2−i在复平面内对应的点分别是A,B，则线段AB的中点C对应的复数的模为（ ） A. 85 B. 2105 C. 4105 D. 325 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据复数几何意义求线段AB的中点C对应的复数，再根据模的定义求结果. 【详解】线段AB的中点C对应的复数为12[i(2−i)+i2−i]=12[2i+1+2i−15]=25+65i， 所以模为(25)2+(65)2=2105，选B. 【点睛】首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i,(a,b,c.d∈R). 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数a+bi(a,b∈R)的实部为、虚部为b、模为a2+b2、对应点为(a,b)、共轭为a−bi. 3. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线y=3x垂直，则双曲线C的离心率为（ ） A. 72 B. 103 C. 3 D. 72或103 【答案】B 【解析】 【分析】 先求渐近线，再根据垂直关系得a,b关系，最后得离心率. 【详解】因为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=bax， 所以−ba3=−1∴a=3b,c=10b,e=ca=103.选B. 【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的方程或不等式，再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式，而建立关于a,b,c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 4. 已知函数f(x)=22sinx-2cosθ在点(π4,f(π4))处的切线的倾斜角为α，则sin2α=（ ） A. 45 B. 54 C. 35 D. 53 【答案】A 【解析】 【分析】 先求导数，再根据导数几何意义得tanα,最后根据弦化切得结果. 【详解】∵f′(x)=22cosx∴tanα=f′(π4)=2, sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=45.选A. 【点睛】利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解. 5. 设函数fx=xsinx+cosx的图象在点t,ft处切线的斜率为gt，则函数y=gt的图象一部分可以是( ) A. B. . C. D. 【答案】A 【解析】 分析：求出函数的导数，得到切线的斜率的函数的解析式，然后判断函数的图象即可． 详解：由fx=xsinx+cosx可得：f′x=sinx+xcosx−sinx=xcosx． 即g（t）=tcost ， 函数是奇函数，排除选项B，D； 当x∈（0，π2） 时，y＞0 ，排除选项C． 故选：A． 点睛：本题考查函数的导数的应用，函数的图象的判断，是基本知识的考查． 6. 二项式2x−1x5的展开式中含x3项的系数是( ） A. 80 B. 48 C. -40 D. -80 【答案】D 【解析】 由题意可得Tr+1=C5r(2x)5−r(−1x)r，令r=1,T4=−C5124x3,所以x3的系数为-80.选B. 7. 如图，是某几何体的三视图，其中正视图与侧视图都是底边为4，高位22的等腰三角形，俯视图是边长为22的正方形，则该几何体的体积为（ ） A. 643 B. 1623 C. 83 D. 223 【答案】B 【解析】 分析：由题意首先确定该几何体的几何特征，然后结合几何特征求解几何体的体积即可. 详解：由三视图可知，该几何体是所有棱长都是4的一个四面体， 如图所示，将几何体放入正方体，结合题意可知其体积V=133442463=1623. 本题选择B选项. 点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 8. 执行如图所示的程序框图，则的值变动时输出的值不可能是（ ） A. B. 9 C. 11 D. 13 【答案】C 【解析】 分析：由题意模拟程序的运行，考查可能的输出结果，据此即可求得最终结果. 详解：运行程序x=2，2是偶数，x=3，3不是偶数， x=5，输出5或执行程序；不满足条件， x=6，6是偶数，x=7，7不是偶数，x=9，输出9或执行程序；不满足条件， x=10，10是偶数，x=11，11不是偶数，x=13，输出13或执行程序；不满足条件， 据此可知，输出的x值不可能是11. 本题选择C选项. 点睛：本题主要考查流程图知识与程序运行等知识，意在考查学生的分析问题和计算求解能力. 9. 设x,y满足约束条件2x+y−3≥0x−2y+2≥02x−y−2≤0，则9x2+4y2xy的最小值为 A. 12 B. 13 C. 685 D. 50528 【答案】A 【解析】 【分析】 先作可行域，根据可行域确定yx取值范围，最后根据基本不等式求最值. 【详解】作可行域，A(54,12),B(45,75),根据可行域确定yx∈[kOA,kOB]=[1254,7545]=[25,74], 所以9x2+4y2xy=9xy+4yx≥29xy4yx=12，当且仅当3x=2y时取等号， 因此选A. 【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 10. 中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之。亦倍下袤，上袤从之。各以其广乘之，并以高乘之，皆六而一。”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一。已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为 A. 392 B. 752 C. 39 D. 6018 【答案】D 【解析】 【分析】 根据定义列“刍童”的体积函数关系式，再根据二次函数性质求最值. 【详解】设下底面的长宽分别为x,y，有2(x+y)=18,x+y=9. 则“刍童”的体积为163[2(6+x)+(2x+3)y]=12(30+2xy+y)=12(−2x2+17x+39), 当x=174时，“刍童”的体积取最大值6018，选D. 【点睛】研究二次函数最值问题,一般通过对称轴与定义区间位置关系,确定单调性,进而确定最值取法. 11. 已知圆(x−1)2+y2=34的一条切线y=kx与双曲线C：x2a2−y2b2=1 (a>0,b>0)有两个交点，则双曲线C离心率的取值范围是 A. (1,3) B. （1，2） C. (3,+∞) D. (2,+∞) 【答案】D 【解析】 由已知|k|k2+1=32⇒k2=3，由y=kxx2a2−y2b2=1，消去y得，(b2−a2k2)x2−a2b2=0，则4(b2−a2k2)a2b2>， b2>a2k2⇒c2>(k2+1)a2，所以e2>k2+1=4，即e>2，故选D. 12. 已知函数f(x)=lnx−x3与g(x)=x3−ax的图象上存在关于x轴的对称点，e为自然对数的底数，则实数的取值范围是 A. (−∞,e) B. (−∞,e] C. (−∞,1e) D. (−∞,1e] 【答案】D 【解析】 函数f(x)=lnx-x3与g(x)=x3-ax的图象上存在关于x轴的对称点，∴fx=−gx有解，∴lnx−x3=−x3+ax，∴lnx=ax，在（0，+∞）有解，分别设y=lnx，y=ax，若y=ax为y=lnx的切线，∴y′=1x，设切点为（x0,y0），∴a=1x0，ax0=lnx0，∴x0=e，∴a=1e，结合图象可知，a≤1e ，故选D. 点睛：本题导数的几何意义，以及函数与方程的综合应用问题，关键是转化为y=lnx与y=ax有交点，属于中档题；由题意可知fx=−gx有解，即y=lnx与y=ax有交点，根据导数的几何意义，求出切点，结合图象，可知的范围. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 向量a=(m,n)，b=(−1,2)，若向量，b共线，且a=2b，则mn的值为__________． 【答案】−8 【解析】 由题意可得：a=2b=(−2,4) 或a=−2b=(2,−4) ， 则：mn=(−2)4=−8 或mn=2(−4)=−8 . 14. 设点M是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点，以点M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于不同的两点P、Q，若ΔPMQ为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为__________． 【答案】6−22c>22y,y=b2a，从而可求椭圆的离心率的取值范围. 详解：因为圆M与x轴相切于焦点F， 所以圆心与F的连线必垂直于x轴，不妨设M(c,y)， 因为M(c,y)在椭圆上，则y=b2a(a2=b2+c2)，所以圆的半径为b2a， 由题意y>c>22y，所以c2<(1−e2)2<2e2，所以6−22Tn恒成立？若存在，求m的最大值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）Sn=1−13n；（2）1 【解析】 分析：(1)根据和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等比数列定义以及前n项和公式求结果，(2)先代入化简bn，再根据1bnbn+1=1n+1-1n+2，，利用裂项相消法求Tn，分别研究Sn，Tn取值范围得Sn>Tn对一切正整数恒成立，因此可得m的最大值. 详解： （1）当n=1时，a1=S1，由S1=1-12a1，得a1=23. 当n≥2时，Sn=1-12an，Sn-1=1-12an-1， 所以an=Sn-Sn-1=1-12an-1-12an-1=12an-1-12an，即an=13an-1， 所以an是以23为首项，13为公比的等比数列， 所以Sn=231-13n1-13=1-13n. （2）由（1）可知，bn=-log31-Sn+1=-log31-1-13n=-log313n+1=n+1， 所以1bnbn+1=1n+1n+2=1n+1-1n+2， 所以Tn=1b1b2+1b2b3+1b3b4+⋯+1bnbn+1=12-13+13-14+14-15+⋯+1n+1-1n+2 =12-1n+2<12. 又Sn=1-13n，所以Sn为递增数列，Sn≥S1=23. 而23>12，所以∀n∈N*恒有Sn>Tn，故存在正整数，当n≥m时Sn>Tn恒成立，其m的最大值为1. 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如canan+1 (其中an是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1(n+1)(n+3)或1n(n+2). 18. 有120粒试验种子需要播种，现有两种方案：方案一：将120粒种子分种在40个坑内，每坑3粒；方案二：120粒种子分种在60个坑内，每坑2粒 如果每粒种子发芽的概率为0.5，并且，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种（每个坑至多补种一次，且第二次补种的种子颗粒同第一次）.假定每个坑第一次播种需要2元，补种1个坑需1元；每个成活的坑可收货100粒试验种子，每粒试验种子收益1元. (1)用表示播种费用，分别求出两种方案的的数学期望； (2)用η表示收益，分别求出两种方案的收益η的数学期望； (3)如果在某块试验田对该种子进行试验，你认为应该选择哪种方案？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 分析：(1)先确定播种费用随机变量，再计算对应概率，利用数学期望公式求期望，(2) 先确定收益随机变量，再计算对应概率，利用数学期望公式求期望，(3)根据纯利润的大小确定选择方案. 详解： （1）方案一：用X1表示一个坑播种的费用，则X1可取2，3. X1 2 3 P 78 123 ∴ EX1=278+318=178. ∴ Eξ1=40EX1=85元. 方案二：用X2表示一个坑播种的费用，则X2可取2，3. X2 2 3 P 34 122 ∴ EX2=234+314=94. ∴ Eξ2=60EX2=135元. （2）方案一：用Y1表示一个坑的收益，则Y1可取0，100. Y1 0 100 P 182 6364 ∴ EY1=1006364=157516. ∴ Eη1=40EY1=3937.5元. 方案二：用Y2表示一个坑的收益，则Y2可取0，100. Y2 0 100 P 142 1516 ∴ EY2=1001516=3754. ∴ Eη2=60EY2=5625元. （3）方案二所需的播种费用比方案一多50元，但是收益比方案一多1687.5元，故应选择方案二. 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为： 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率； 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确； 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值。 19. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥DC，AD=DC=AP=2AB=2，点E为棱PC的中点， （1）证明：BE⊥DC； （2）若点F为棱PC上一点，且BF⊥AC，求二面角F−AB−P的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）31010． 【解析】 分析：（Ⅰ）由题意可得AB,AD,AP．两两垂直，建立空间直角坐标系，根据BE⋅DC=0可证得BE⊥DC．（Ⅱ）根据点F在棱PC上可设CF=λCP，再由BF⊥AC，得BF⋅AC=0，由此可得λ=34，从而可得BF=-12,12,32．然后可求得平面FAB的法向量为n1=0,-3,1，又平面ABP的一个法向量n2=0,1,0，可得cos〈n1,n2〉=-31010，然后结合图形可得所求． 详解：（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB ⊂平面ABCD，AD平面ABCD， ∴PA⊥AB，PA⊥AD， 又AB⊥AD， ∴AB,AD,AP．两两垂直． 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为轴，建立空间直角坐标系A-xyz. 则由题意得B1,0,0,P0,0,2,C2,2,0,E1,1,1,D0,2,0， ∴BE=0,1,1,DC=2,0,0， ∴BE⋅DC=0， ∴BE⊥DC． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得BC=1,2,0,CP=-2,2,2,AC=2,2,0,AB=1,0,0． 由点F在棱PC上， 设CF=λCP=-2λ,-2λ,2λ，0≤λ≤1， ∴BF=BC+CF=1-2λ,2-2λ,2λ ∵BF⊥AC， ∴BF⋅AC=21-2λ+22-2λ=0, 解得λ=34， ∴BF=-12,12,32． 设平面FAB的法向量为n1=x,y,z，则 由n1⋅AB=x=0n1⋅BF=-12x+12y+32z=0，得x=0y=-3z， 令z=1，得n1=0,-3,1． 由题意取平面ABP的一个法向量n2=0,1,0． ∴cos〈n1,n2〉=n1⋅n2n1⋅n2=-310=-31010， 由图形知二面角F-AB-P是锐角， 所以二面角F-AB-P的余弦值为31010． 点睛：用坐标法解答立体几何问题的几个注意点： （1）建立空间直角坐标系时首先要判断是否满足条件，即是否有三条两两垂直的直线； （2）求点的坐标时一定要准确，对于不容易求的点的坐标，可根据向量的共线等方法求解； （3）求二面角的余弦值时，在求得两平面法向量夹角的余弦值后，还要根据图形判断出二面角为锐角还是钝角，最后再下结论． 20. 如图，分别过椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0左、右焦点F1，F2的动直线l1，l2相交于P点，与椭圆E分别交于A，B与C，D不同四点，直线OA，OB，OC，OD的斜率k1，k2，k3，k4满足k1+k2=k3+k4．已知当l1与x轴重合时，AB=23，CD=433， （1）求椭圆E的方程； （2）是否存在定点M，N，使得PM+PN为定值？若存在，求出M，N点坐标并求出此定值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）x23+y22=1；（2）22． 【解析】 试题分析：（1）当与轴重合时，垂直于轴，得,得,从而得椭圆的方程；（2）由题目分析如果存两定点，则点的轨迹是椭圆或者双曲线 ，所以把坐标化，可得点的轨迹是椭圆，从而求得定点和点. 试题解析：当与轴重合时，, 即,所以垂直于轴，得，，, 得,椭圆的方程为. 焦点坐标分别为, 当直线或斜率不存在时，点坐标为或; 当直线斜率存在时，设斜率分别为, 设由, 得： , 所以:，, 则： . 同理：, 因为 , 所以, 即, 由题意知, 所以 ， 设，则，即，由当直线或斜率不存在时，点坐标为或也满足此方程，所以点在椭圆上.存在点和点，使得为定值，定值为. 考点：圆锥曲线的定义，性质，方程. 【方法点晴】本题是对圆锥曲线的综合应用进行考查，第一问通过两个特殊位置，得到基本量，，得,,从而得椭圆的方程，第二问由题目分析如果存两定点，则点的轨迹是椭圆或者双曲线 ，本题的关键是从这个角度出发，把k1+k2=k3+k4=0坐标化，求得点的轨迹方程是椭圆y22+x2=1，从而求得存在两定点和点. 21. 已知函数fx=xlnx−12mx2−xm∈R． （1）若函数fx在0,+∞上是减函数，求实数m的取值范围； （2）若函数fx在0,+∞上存在两个极值点x1，x2，且x12． 【答案】（1）m≥1e；（2）证明见解析． 【解析】 试题分析：（1）由条件可知f′x≤0恒成立，通过参变分离的方法得到m>lnxx恒成立，即m>lnxxmax 转化为利用导数求函数φx=lnxx的最大值，即求m的取值范围；（2）根据条件可知f′x1=0,f′x2=0，m=lnx1+lnx2x1+x2 和m=lnx1−lnx2x1−x2 ，经过变形整理为lnx1+lnx2=x1x2+1⋅lnx1x2x1x2−1 ，经过换元，可将问题转化为证明t+1lntt−1>2 ，利用导数求函数的最小值，即可证明. 试题解析：(1)由函数fx在0,+∞上是减函数，知fx≤0恒成立， fx=xlnx-12mx2-x⇒fx=lnx-mx. 由fx≤0恒成立可知lnx-mx≤0恒成立，则m≥lnxxmax， 设φx=lnxx，则φx=1-lnxx2， 由φx>0⇒x∈0,e，φx<0⇒x>e知， 函数φx在0,e上递增，在e,+∞上递减，∴φxmax=φe=1e， ∴m≥1e. (2)由(1)知fx=lnx-mx. 由函数fx在0,+∞上存在两个极值点x1,x2，且x12， 只需证t+1⋅lntt-1>2，只需证lnt<2t-1t+1，只需证lnt-2t-1t+1<0. 构造函数gt=lnt-2t-1t+1，则gt=1t-4t+12=t-12tt+12>0. 故gt=lnt-2t-1t+1在t∈0,1上递增，gt2. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，考查了转化与化归的鞥努力，尤其是第二问，利用条件可变形为lnx1+lnx2=x1x2+1lnx1x2x1x2−1 ，这样通过换元设t=x1x2，转化为关于的函数y=t+1lntt−1>2 . 22. 以直角坐标系的原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线的参数方程为x=tcosα,y=2+tsinα（为参数，0≤α<π），曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ． （1）若α=π6，求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （2）设直线与曲线C相交于A，B两点，当α变化时，求|AB|的最小值． 【答案】（1）x−3y+23=0，x2=4y；（2）42 【解析】 分析：（1）将α=π6代入到直线的参数方程，消去即可得直线的普通方程，再根据x=ρcosθy=ρsinθ，即可求得曲线C的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入到曲线C的直角坐标方程，根据韦达定理可得t1+t2，t1t2，结合参数的几何意义及三角函数的图象与性质即可求得|AB|的最小值． 详解：（1）当α=π6时，由直线的参数方程x=tcosα,y=2+tsinα,消去得y=33x+2，即直线的普通方程为x-3y+23=0； 因为曲线过极点，由ρcos2θ=4sinθ，得(ρcosθ)2=4ρsinθ， 所以曲线C的直角坐标方程为x2=4y． （2）将直线的参数方程代入x2=4y，得t2cos2α-4tsinα-8=0. 由题意知α∈[0,π2)∪(π2,π)，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=4sinαcos2α，t1t2=-8cos2α. ∴|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2 =(4sinαcos2α)2+32cos2α=41cos4α+1cos2α=4(1cos2α+12)2-14． ∵α∈[0,π2)∪(π2,π)，cos2α∈(0,1]，1cos2α≥1. ∴当cos2α=1，即α=0时，|AB|的最小值为42． 点睛：本题主要考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程互化的方法，直线的参数方程及其几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解.把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法. 23. 已知函数f(x)=|2x−1|−a (a∈R)． （1）若f(x)在−1,2上的最大值是最小值的2倍，解不等式f(x)≥5； （2）若存在实数x使得f(x)<12f(x+1)成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）x|x≥32或x≤−12；（2）(−2,+∞) 【解析】 分析：（1）根据在上的最大值是最小值的2倍求出a的值，再解不等式.(2)先分离参数得，再求右边式子的最小值，得到a的取值范围. 详解：（1）∵，∴，， ∴，解得， 不等式，即，解得或， 故不等式的解集为． （2）由，得， 令，问题转化为， 又故， 则，所以实数的取值范围为． 点睛：（1）本题主要考查不等式的解法和求绝对值不等式的最值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)本题易错，得到a>|4x-2|-|2x+1|，问题转化为a>g(x)min，不是转化为a>g(x)max,因为它是存在性问题.