2018-2019年高中数学 第一章 计数原理 1.2.1 第一课时 排列与排列数公式学案 新人教A版选修2-3.doc

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第一课时　排列与排列数公式 [教材研读] 预习教材P14～20，思考以下问题 1．排列的概念是什么？ 2．排列数的定义是什么？什么是排列数公式？ 3．排列数公式有哪些性质？ [要点梳理] 1．排列的概念 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2．相同排列的两个条件 (1)元素相同． (2)顺序相同． 3．排列数及排列数公式 [自我诊断] 判断(正确的打“√”，错误的打“”) 1．1,2,3与3,2,1为同一排列．(　　) 2．在一个排列中，同一个元素不能重复出现．(　　) 3．从1,2,3,4中任选两个元素，就组成一个排列．(　　) 4．从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题．(　　) [答案]　1.　2.√　3.　4.√ 思考：如何判断一个问题是否为排列问题？ 提示：判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题． 下列问题是排列问题的为________(只填序号)． ①选2个小组分别去植树和种菜； ②选2个小组分别去种菜； ③某班40名同学在假期互发短信； ④由1,2,3三个数字可以组成多少个无重复数字的三位数？ ⑤从40人中选5人组成篮球队，有多少种不同的选法？ ⑥从1,2,3,4中取两个数可以组成多少个不同的集合？ [解析]　①是．植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．②不是．选2个小组分别去种菜，不存在顺序问题，不是排列问题．③是．A给B发短信与B给A发短信是不同的，所以存在顺序问题，是排列问题．④由1,2,3组成的三位数与顺序有关，是排列问题．⑤，⑥不存在顺序问题，不是排列问题． [答案]　①③④ [变式] 将典例中③的“互发短信”改为“互通电话”，则此问题是排列问题吗？ [解]　不是，互通电话与互发短信不同，与顺序无关，故不是排列问题． 判断一个具体问题是否为排列问题的思路 [跟踪训练] 判断下列问题是否为排列问题： (1)某班共有50名同学，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？ (2)从2,3,5,7,9五个数字中任取两个数分别作为对数的底数和真数，有多少个不同的对数值？ (3)有12个车站，共需准备多少种车票？ (4)从集合M＝{x|1≤x≤9，x∈N}中任取相异的两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆＋＝1? [解]　(1)是．选出的2人，担任正、副班长，职务不同，与顺序有关，所以是排列问题； (2)是．对数值与底数和真数的取值的不同有关系，与顺序有关； (3)是．起点站或终点站不同，则车票就不同，与顺序有关． (4)不是．焦点在x轴上的椭圆，方程中的a，b必须a>b，a，b的大小一定，选出的两数较大的只能作a，较小的只能作b，与顺序无关，所以不是排列问题． 题型二　排列数公式及应用 思考：你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗？它们有什么区别？ 提示：“排列”与“排列数”是两个不同的概念，排列是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一件事．“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数． (1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且n<55)； (2)计算2A＋A； (3)求证：A＋mA＝A. [思路导引]　(1)(2)应是排列数公式的正、逆用；(3)中证明常采用排列数公式的阶乘形式． [解]　(1)∵55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15个元素， ∴(55－n)(56－n)…(69－n)＝A. (2)2A＋A＝2432＋4321＝48＋24＝72. (3)证明：A＋mA＝＋m＝＝＝A. (1)排列数的第一个公式A＝n(n－1)…(n－m＋1)适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式，在运用该公式时要注意它的特点； (2)排列数的第二个公式A＝适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件“m≤n且n∈N*，m∈N*”的运用． [跟踪训练] 1．计算. [解]　＝＝＝. 2．求3A＝4A中的x. [解]　原方程3A＝4A可化为＝，即＝，化简，得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13. 由题意知解得x≤8. 所以原方程的解为x＝6. (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？ (2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列． [思路导引]　可采用树形图的方法列举，也可以直接利用排列数公式． [解]　(1)解法一：把1,2,3,4中任意一个数字排在第一个位置上，有4种排法；第一个位置排好后，第二个位置上的数字就有3种排法． 由题意作树形图，如下． 故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个． 解法二：从4个数字中任取2个，其排列个数为A＝43＝12. (2)由题意作树形图，如下． 故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb. 利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略 (1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式． (2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列． [跟踪训练] 1．写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法． [解]　如图所示的树形图： 故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB，共12种． 2．(1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(6)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？ (2)12名选手参加校园歌手大奖赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，共有多少种不同的获奖情况？ [解]　(1)从5个不同的科研小课题中选出3个，由3个学习兴趣小组进行研究，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列． 因此共有A＝543＝60种不同的安排方法． (2)从12名选手中选出3名获奖并安排奖次，共有A＝121110＝1320种不同的获奖情况． 1.本节课的重点是排列的概念、排列数公式及其简单应用．难点是排列数公式的计算与证明问题． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)对排列概念的理解，见典例1； (2)利用排列数公式进行计算或证明，见典例2； (3)简单排列问题的解决方法，见典例3. 3．本节课的易错点是利用排列数公式A解决问题时，易忽视条件m≤n，且m∈N*，n∈N*.