2018-2019版高中数学 第一章 计数原理 习题课 二项式定理学案 新人教A版选修2-3.doc

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习题课　二项式定理 学习目标　1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念.2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题． 1．二项式定理及其相关概念 二项式定理 公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，称为二项式定理 二项式系数 C(k＝0,1，…，n) 通项 Tk＋1＝Can－kbk(k＝0,1，…n) 二项式定理的特例 (1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn 2．二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律) (1)对称性：C＝C； (2)性质：C＝C＋C； (3)二项式系数的最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值，即最大；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即＝最大； (4)二项式系数之和：C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n，所用方法是赋值法． 类型一　二项式定理的灵活应用 例1　(1)(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数是(　　) A．－4 B．－3 C．3 D．4 (2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝________. 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　求多项展开式中特定项的系数 答案　(1)B　(2)－1 解析　(1)方法一　(1－)6的展开式的通项为C(－)m＝C(－1)m，(1＋)4的展开式的通项为C()n＝C，其中m＝0,1,2，…，6，n＝0,1,2,3,4. 令＋＝1，得m＋n＝2，于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数等于C(－1)0C＋C(－1)1C＋C(－1)2C＝－3. 方法二　(1－)6(1＋)4＝[(1－)(1＋)]4(1－)2＝(1－x)4(1－2＋x)，于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数为C1＋C(－1)11＝－3. (2)(1＋ax)(1＋x)5＝(1＋x)5＋ax(1＋x)5. ∴x2的系数为C＋aC， 则10＋5a＝5，解得a＝－1. 反思与感悟　两个二项式乘积的展开式中特定项问题 (1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点． (2)找到构成展开式中特定项的组成部分． (3)分别求解再相乘，求和即得． 跟踪训练1　(1)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为(　　) A．－40 B．－20 C．20 D．40 (2)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝________. 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　求多项展开式中特定项的系数 答案　(1)D　(2)120 解析　(1)令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1， 故5的展开式中常数项即为5的展开式中与x的系数之和． 5的展开式的通项为Tk＋1＝(－1)kC25－kx5－2k， 令5－2k＝1，得k＝2， ∴展开式中x的系数为C25－2(－1)2＝80， 令5－2k＝－1，得k＝3， ∴展开式中的系数为C25－3(－1)3＝－40， ∴5的展开式中常数项为80－40＝40. (2)f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝CC＋CC＋CC＋CC＝120. 例2　5的展开式中的常数项是________． 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　求多项展开式中的特定项 答案　 解析　方法一　原式＝5， ∴展开式的通项为＝(k1＝0,1,2，…，5)． 当k1＝5时，T6＝()5＝4， 当0≤k1<5时，的展开式的通项公式为 ＝＝(k2＝0,1,2，…，5－k1)． 令5－k1－2k2＝0，即k1＋2k2＝5. ∵0≤k1<5且k1∈Z，∴或 ∴常数项为4＋CC2＋CC()3 ＝4＋＋20＝. 方法二　原式＝5＝[(x＋)2]5 ＝(x＋)10. 求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5项的系数，即C()5. ∴所求的常数项为＝. 反思与感悟　三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方法，因式分解，项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性． 跟踪训练2　(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________． 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　求多项展开式中的特定项 答案　30 解析　方法一　(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 含y2的项为T3＝C(x2＋x)3y2. 其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4x＝Cx5. 所以x5y2的系数为CC＝30. 方法二　(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30. 例3　今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期(　　) A．一 B．二 C．三 D．四 考点　二项式定理的综合应用 题点　整除和余数问题 答案　A 解析　求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数，应用二项式定理将数变形求余数． 因为810＝(7＋1)10＝710＋C79＋…＋C7＋1＝7M＋1(M∈N*)， 所以第810天相当于第1天，故为星期一． 反思与感悟　(1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了． (2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式． 跟踪训练3　设a∈Z，且0≤a<13，若512 017＋a能被13整除，则a＝________. 考点　二项式定理的综合应用 题点　整除和余数问题 答案　1 解析　∵512 017＋a＝(52－1)2 017＋a＝C522 017－C522 016＋C522 015－…＋C521－1＋a， 能被13整除，0≤a<13. 故－1＋a能被13整除，故a＝1. 类型二　二项式系数的综合应用 例4　已知n. (1)若展开式中第五项、第六项、第七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数； (2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项． 考点　展开式中系数最大(小)的项问题 题点　求展开式中系数最大(小)的项 解　(1)由已知得2C＝C＋C， 即n2－21n＋98＝0，得n＝7或n＝14. 当n＝7时展开式中二项式系数最大的项是第四项和第五项， ∵T4＝C4(2x)3＝x3，T5＝C3(2x)4＝70x4， ∴第四项的系数是，第五项的系数是70. 当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是第八项，它的系数为C727＝3 432. (2)由C＋C＋C＝79，即n2＋n－156＝0. 得n＝－13(舍去)或n＝12. 设Tk＋1项的系数最大， ∵12＝12(1＋4x)12， 由 解得9.4≤k≤10.4. ∵0≤k≤n，k∈N， ∴k＝10. ∴展开式中系数最大的项是第11项， 即T11＝12C410x10＝16 896x10. 反思与感悟　解决此类问题，首先要分辨二项式系数与二项展开式的项的系数，其次理解记忆其有关性质，最后对解决此类问题的方法作下总结，尤其是有关排列组合的计算问题加以细心． 跟踪训练4　已知n展开式中二项式系数之和比(2x＋xlg x)2n展开式中奇数项的二项式系数之和少112，第二个展开式中二项式系数最大的项的值为1 120，求x. 考点　二项式定理的应用 题点　二项式定理的简单应用 解　依题意得2n－22n－1＝－112， 整理得(2n－16)(2n＋14)＝0，解得n＝4， 所以第二个展开式中二项式系数最大的项是第五项． 依题意得C(2x)4(xlg x)4＝1 120， 化简得x4(1＋lg x)＝1， 所以x＝1或4(1＋lg x)＝0， 故所求x的值为1或. 1．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为(　　) A．30 B．20 C．15 D．10 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　求二项展开式特定项的系数 答案　C 解析　因为(1＋x)6的展开式的第(k＋1)项为Tk＋1＝Cxk，x(1＋x)6的展开式中含x3的项为Cx3＝15x3，所以系数为15. 2．在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是(　　) A．第6项 B．第5项 C．第5、6项 D．第6、7项 考点　展开式中系数最大(小)的项问题 题点　求二项式系数最大(小)的项 答案　A 解析　∵C＝C，∴n＝3＋7＝10， ∴展开式中系数最大的项是第6项． 3．已知x>0，则(1＋x)1010的展开式中的常数项为(　　) A．1 B．(C)2 C．C D．C 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　求多项展开式中的特定项 答案　D 解析　(1＋x)1010＝10＝10＝20.设其展开式的通项为Tk＋1，则Tk＋1＝Cx10－k，当k＝10时，为常数项．故选D. 4．当n为正奇数时，7n＋C7n－1＋C7n－2＋…＋C7被9除所得的余数是(　　) A．0 B．2 C．7 D．8 考点　二项式定理的综合应用 题点　整除和余数问题 答案　C 解析　原式＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C9n－1＋C9n－2－…＋C9(－1)n－1＋(－1)n－1.因为n为正奇数，所以(－1)n－1＝－2＝－9＋7，所以余数为7. 5．设(2－1)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M,8，N三数成等比数列，则展开式中第四项为________． 考点　展开式中系数的和问题 题点　二项展开式中系数的和问题 答案　－160x 解析　当x＝1时，可得M＝1，二项式系数之和N＝2n， 由题意，得MN＝64，∴2n＝64，∴n＝6. ∴第四项T4＝C(2)3(－1)3＝－160x. 1．两个二项展开式乘积的展开式中特定项问题 (1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点． (2)找到构成展开式中特定项的组成部分． (3)分别求解再相乘，求和即得． 2．三项或三项以上的展开问题 应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性． 3．用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者前面)一、二项就可以了． 4．求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入． 5．确定二项展开式中的最大或最小项：利用二项式系数的性质． 一、选择题 1．二项式12的展开式中的常数项是(　　) A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　求二项展开式的特定项 答案　C 解析　二项展开式中的通项公式为Tk＋1＝Cx12－kk＝C2k，令12－k＝0，得k＝8. ∴常数项为第9项． 2．(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是(　　) A．56 B．84 C．112 D．168 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　求多项展开式中特定项的系数 答案　D 解析　因为(1＋x)8的通项为Cxk，(1＋y)4的通项为Cyt，故(1＋x)8(1＋y)4的通项为CCxkyt. 令k＝2，t＝2，得x2y2的系数为CC＝168. 3．若(x＋3y)n的展开式中所有项的系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为(　　) A．15 B．10 C．8 D．5 考点　展开式中系数的和问题 题点　二项展开式中系数的和问题 答案　D 解析　由于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C＋…＋C＝210，令(x＋3y)n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5. 4．若二项式7的展开式中的系数是84，则实数a等于(　　) A．2 B. C．1 D. 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　由特定项或特定项的系数求参数 答案　C 解析　二项式7的展开式的通项公式为Tk＋1＝C(2x)7－kk＝C27－kakx7－2k， 令7－2k＝－3，得k＝5. 故展开式中的系数是C22a5，即C22a5＝84，解得a＝1. 5．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m等于(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 考点　展开式中系数最大(小)的项问题 题点　求展开式中二项式系数最大(小)的项 答案　B 解析　∵(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为C，∴a＝C.同理，b＝C. ∵13a＝7b，∴13C＝7C， ∴13＝7，∴m＝6. 6．二项式6的展开式中不含x3项的系数之和为(　　) A．20 B．24 C．30 D．36 考点　展开式中系数的和问题 题点　二项展开式中系数的和问题 答案　A 解析　由二项式的展开式的通项公式Tk＋1＝C(－1)kx12－3k，令12－3k＝3，解得k＝3，故展开式中x3项的系数为C(－1)3＝－20，而所有系数和为0，不含x3项的系数之和为20. 7．在(1＋x)n(n为正整数)的二项展开式中，奇数项的和为A，偶数项的和为B，则(1－x2)n的值为(　　) A．0 B．AB C．A2－B2 D．A2＋B2 考点　展开式中系数的和问题 题点　二项展开式中系数的和问题 答案　C 解析　∵(1＋x)n＝A＋B，(1－x)n＝A－B，∴(1－x2)n＝(1＋x)n(1－x)n＝(A＋B)(A－B)＝A2－B2. 8．9192被100除所得的余数为(　　) A．1 B．81 C．－81 D．992 考点　二项式定理的综合应用 题点　整除和余数问题 答案　B 解析　利用9192＝(100－9)92的展开式，或利用(90＋1)92的展开式． 方法一　(100－9)92＝C10092－C100919＋C1009092－…－C100991＋C992. 展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数． 由992＝(10－1)92＝C1092－…＋C102－C10＋1. 前91项均能被100整除，后两项和为－919，因原式为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81， ∴9192被100除可得余数为81. 方法二　(90＋1)92＝C9092＋C9091＋…＋C902＋C90＋C. 前91项均能被100整除，剩下两项为9290＋1＝8 281，显然8 281除以100所得余数为81. 二、填空题 9．若6的二项展开式中，常数项为，则二项式系数最大的项为________． 考点　展开式中系数最大(小)的项问题 题点　求展开式中系数最大(小)的项 答案　x3或－x3 解析　6二项展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)6－kk＝Ca－kx12－3k，令12－3k＝0，得k＝4， ∴Ca－4＝，解得a＝2， 当a＝2时，二项式系数最大的项为C(x2)33 ＝x3. 当a＝－2时，二项式系数最大的项为C(x2)33＝－x3. 10.3的展开式中常数项为________． 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　求多项展开式中的特定项 答案　－20 解析　3＝6展开式的通项公式为Tk＋1＝C(－1)kx6－2k.令6－2k＝0，解得k＝3.故展开式中的常数项为－C＝－20. 11．(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是________． 考点　二项式定理的综合应用 题点　整除和余数问题 答案　1.34 解析　(1.05)6＝(1＋0.05)6＝C＋C0.05＋C0.052＋C0.053＋…＝1＋0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…≈1.34. 12．已知n的展开式中含x的项为第6项，设(1－x＋2x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a1＋a2＋…＋a2n＝________. 考点　展开式中系数的和问题 题点　二项展开式中系数的和问题 答案　255 解析　因为n的展开式的通项是C(－1)kx2n－3k(k＝0,1,2，…，n)，因为含x的项为第6项，所以当k＝5时，2n－3k＝1，即n＝8.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2n＝28＝256.又a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a2n＝255. 三、解答题 13．在二项式n的展开式中，前三项的系数成等差数列． (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项． 考点　展开式中系数最大(小)的项问题 题点　求展开式中系数最大(小)的项 解　(1)二项式n的展开式中，前三项的系数分别为1，，. 根据前三项的系数成等差数列，可得n＝1＋，求得n＝8或n＝1(舍去)． 故二项式n的展开式的通项为Tk＋1＝C2－kx4－k.令4－k＝0，求得k＝4，可得展开式中的常数项为T5＝C4＝. (2)设第k＋1项的系数最大，则由求得2≤k≤3.因为k∈Z，所以k＝2或k＝3，故系数最大的项为T3＝7x2或T4＝7x. 四、探究与拓展 14．若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m＝________. 考点　展开式中系数的和问题 题点　多项展开式中系数的和问题 答案　－3或1 解析　在(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9中， 令x＝－2，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝m9， 即[(a0＋a2＋…＋a8)－(a1＋a3＋…＋a9)]＝m9， 令x＝0，可得(a0＋a2＋…＋a8)＋(a1＋a3＋…＋a9)＝(2＋m)9. ∵(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39， ∴[(a0＋a2＋…＋a8)＋(a1＋a3＋…＋a9)][(a0＋a2＋…＋a8)－(a1＋a3＋…＋a9)]＝39， ∴(2＋m)9m9＝(2m＋m2)9＝39， 可得2m＋m2＝3，解得m＝1或－3. 15．已知(1＋m)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含有x项的系数为112. (1)求m，n的值； (2)求展开式中偶数项的二项式系数之和； (3)求(1＋m)n(1－x)的展开式中含x2项的系数． 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　求多项展开式中特定项的系数 解　(1)由题意可得2n＝256，解得n＝8， ∴展开式的通项为Tk＋1＝Cmk， ∴含x项的系数为Cm2＝112， 解得m＝2或m＝－2(舍去)． 故m，n的值分别为2,8. (2)展开式中偶数项的二项式系数之和为C＋C＋C＋C＝28－1＝128. (3)(1＋2)8(1－x)＝(1＋2)8－x(1＋2)8， ∴含x2项的系数为C24－C22＝1 008.