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第二章 推理与证明
章末检测卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．证明：<1＋＋＋＋…＋
1)，当n＝2时，中间式子等于( )
A．1 B．1＋
C．1＋＋ D．1＋＋＋
解析：n＝2时中间式子的最后一项为，所以中间子式为1＋＋＋.
答案：D
2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )
A．a，b都能被3整除
B．a，b都不能被3整除
C．a，b不都能被3整除
D．a不能被3整除
解析：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设a，b都不能被3整除．
答案：B
3．下列推理正确的是( )
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有：loga(x＋y)＝logax＋logay
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有：sin(x＋y)＝sinx＋siny
C．把(ab)n与(x＋y)n类比，则有：(x＋y)n＝xn＋yn
D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有：(xy)z＝x(yz)
解析：A中类比的结果应为loga(xy)＝logax＋logay，B中如x＝y＝时不成立，C中如x＝y＝1时不成立，D中对于任意实数分配律成立．
答案：D
4．若a>0，b>0，则有( )
A.>2b－a B.<2b－a
C.≥2b－a D.≤2b－a
解析：∵－(2b－a)＝＝≥0，∴≥2b－a.
答案：C
5．证明命题：“f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数”．现给出的证法如下：因为f(x)＝ex＋，所以f′(x)＝ex－.因为x>0，所以ex>1,0<<1.所以ex－>0，即f′(x)>0.所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是( )
A．综合法 B．分析法
C．反证法 D．以上都不是
解析：这是从已知条件出发利用已知的定理证得结论的，是综合法，故选A.
答案：A
6．下面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)>0恒成立．因为f(x)＝x3在(－1,1)内可导且单调递增，所以在(－1,1)内，f′(x)＝3x2>0恒成立．以上推理中( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．结论正确 D．推理形式错误
解析：f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)≥0恒成立，故大前提错误．故选A.
答案：A
7．用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，当n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为( )
A．(5k－2k)＋45k－2k
B．5(5k－2k)＋32k
C．(5－2)(5k－2k)
D．2(5k－2k)－35k
解析：5k＋1－2k＋1＝5k5－2k2＝5k5－2k5＋2k5－2k2＝5(5k－2k)＋32k.
答案：B
8．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：
①ab＝ba；
②(ab)c＝a(bc)；
③a(b＋c)＝ab＋ac；
④由ab＝ac(a≠0)可得b＝c，
则正确的结论有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由ab＝ac(a≠0)得a(b－c)＝0，从而b－c＝0或a⊥(b－c)，故④错误．
答案：B
9．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28 B．76
C．123 D．199
解析：记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.
所以a10＋b10＝123.
答案：C
10．数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－，则a2 017等于( )
A. B．－1
C. 2 D．3
解析：∵a1＝，an＋1＝1－，
∴a2＝1－＝－1，
a3＝1－＝2，
a4＝1－＝，
a5＝1－＝－1，
a6＝1－＝2，
∴an＋3k＝an(n∈N*，k∈N*)
∴a2 017＝a1＋3672＝a1＝.
答案：A
11．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值( )
A．大于0 B．小于0
C．不小于0 D．不大于0
解析：因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)＝0，
又因为a2＋b2＋c2≥0.所以2(ab＋bc＋ac)≤0.故选D.
答案：D
12．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为(n≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如＝＋，＝＋，＝＋，…，则第7行第4个数(从左往右数)为( )
A. B.
C. D.
解析：由“第n行有n个数且两端的数均为”可知，第7行第1个数为，由“每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第7行第2个数为－＝.同理易知，第7行第3个数为－＝，第7行第4个数为－＝.故选A.
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．已知x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．
解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”即“x，y均不大于1”，亦即“x≤1且y≤1”．
答案：x，y均不大于1(或者x≤1且y≤1)
14．观察下列不等式
1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，
…
照此规律，第五个不等式为________________________________________________________________________．
解析：先观察左边，第一个不等式为2项相加，第二个不等式为3项相加，第三个不等式为4项相加，则第五个不等式应为6项相加，右边分子为分母的2倍减1，分母即为所对应项数，故应填1＋＋＋＋＋<.
答案：1＋＋＋＋＋<
15．若三角形的周长为L，面积为S，内切圆半径为r，则有r＝，类比此结论，在四面体中，设其表面积为S，体积为V，内切球半径为R，则有________．
解析：三角形可分解为三个以内切圆圆心为顶点的三角形，于是有Lr＝S，即r＝，四面体可分解为四个以四面体各面为底面，内切球球心为顶点的三棱锥．于是SR＝V，即R＝.
答案：R＝
16．用数学归纳法证明某不等式时，其左边＝1－＋－＋…＋－，则从“n＝k到n＝k＋1”应将左边加上________．
解析：f(k)＝1－＋－＋…＋－，f(k＋1)＝1－＋－＋…＋－＋－，
∴f(k＋1)－f(k)
＝－.
答案：－
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立．
(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；
(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．
解析：(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交．
结论是正确的，证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a，则必有γ∩β＝b，若γ与β不相交，则必有γ∥β.
又α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a矛盾，∴必有γ∩β＝b.
(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交．
18．(12分)已知a>0，b>0，用分析法证明：≥.
证明：因为a>0，b>0，
要证≥，
只要证，(a＋b)2≥4ab，
只要证(a＋b)2－4ab≥0，
即证a2－2ab＋b2≥0，
而a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0恒成立，
故≥成立．
19．(12分)已知a1＋a2＋a3＋a4>100，求证a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.
解析：假设a1，a2，a3，a4均不大于25，
即a1≤25，a2≤25，a3≤25，a4≤25，
则a1＋a2＋a3＋a4≤25＋25＋25＋25＝100，
这与已知a1＋a2＋a3＋a4>100矛盾，故假设错误．
所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.
20．(12分)△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C与a，b，c都成等差数列，求证△ABC为正三角形．
证明：因为A，B，C成等差数列，
所以2B＝A＋C，①
又A＋B＋C＝π，②
由①②得B＝.③
又a，b，c成等差数列，
所以b＝，④
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，⑤
将③④代入⑤得
2＝a2＋c2－2ac.
化简得a2－2ac＋c2＝0，
即(a－c)2＝0，所以a＝c，⑥
由④⑥得a＝b＝c，
所以△ABC为正三角形．
21．(12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
(1)sin213＋cos217－sin13cos17.
(2)sin215＋cos215－sin15cos15.
(3)sin218＋cos212－sin18cos12.
(4)sin2(－18)＋cos248－sin(－18)cos48.
(5)sin2(－25)＋cos255－sin(－25)cos55.
①试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
②根据①的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解析：①选择(2)式计算如下sin215＋cos215－sin15cos15＝1－sin30＝.
②三角恒等式为
sin2α＋cos2(30－α)－sinαcos(30－α)
＝.
证明如下：sin2α＋cos2(30－α)－sinαcos(30－α)＝sin2α＋(cos30cosα＋sin30sinα)2－sinα(cos30cosα＋sin30sinα)＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.
22．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an＝，且a1＝.
(1)求a2，a3；
(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
解析：(1)a2＝＝，又a1＝，
则a2＝，类似地，求得a3＝.
(2)由a1＝，a2＝，a3＝，…，猜想an＝.
用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时，由(1)可知猜想成立；
②假设当n＝k(k∈N*且k≥2)时猜想成立，
即ak＝＝.
则当n＝k＋1时，ak＋1＝，
∴Sk＝k(2k－1)ak＝k(2k－1)＝，
Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1，
∴ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－，
∴k(2k＋3)ak＋1＝，
∴ak＋1＝
＝.
∴由n＝k＋1时猜想也成立．
由①②可知，猜想对任何n∈N*都成立．
∴{an}的通项公式为an＝.
2018版高中数学 第二章 推理与证明章末检测卷 新人教A版选修2-2.doc
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