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自测过关卷(一) 集合、常用逻辑用语、不等式
组——高考题点全面练
1．(2018全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝( )
A．{0,2} B．{1,2}
C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}
解析：选A A∩B＝{0,2}∩{－2，－1,0,1,2}＝{0,2}．
2．(2018全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9 B．8
C．5 D．4
解析：选A 法一：将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.
法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.
法三：由x2＋y2≤3知，－≤x≤，－≤y≤.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1,0,1}，所以A中元素的个数为CC＝9，故选A.
3．(2019届高三广西联考)已知全集U＝{x∈Z|x2－5x－6<0}，A＝{x∈Z|－1
0
B．∀x∈R，x2＋2x＋2≥0
C．∃x0∈R，x＋2x0＋2>0
D．∃x0∈R，x＋2x0＋2≥0
解析：选A 因为命题p为特称命题，所以綈p为“∀x∈R，x2＋2x＋2>0”，故选A.
5．(2018沈阳质监)命题“若xy＝0，则x＝0”的逆否命题是( )
A．若xy＝0，则x≠0 B．若xy≠0，则x≠0
C．若xy≠0，则y≠0 D．若x≠0，则xy≠0
解析：选D “若xy＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则xy≠0”．
6．(2019届高三南昌调研)已知m，n为两个非零向量，则“m与n共线”是“mn＝|mn|”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选D 当m与n反向时，mn<0，而|mn|>0，故充分性不成立．
若mn＝|mn|，则mn＝|m||n|cos〈m，n〉＝|m||n||cos〈m，n〉|，则cos〈m，n〉＝|cos〈m，n〉|，故cos〈m，n〉≥0，即0≤〈m，n〉≤90，此时m与n不一定共线，即必要性不成立．
故“m与n共线”是“mn＝|mn|”的既不充分也不必要条件，故选D.
7．(2018唐山模拟)设变量x，y满足则目标函数z＝2x＋y的最小值为( )
A. B．2
C．4 D．6
解析：选A 作出不等式组所对应的可行域如图中阴影部分
所示．当直线y＝－2x＋z过点C时，在y轴上的截距最小，此时z最小．
由得
所以C，zmin＝2＋＝.
8．(2018长春质检)已知x>0，y>0，且4x＋y＝xy，则x＋y的最小值为( )
A．8 B．9
C．12 D．16
解析：选B 由4x＋y＝xy，得＋＝1，则x＋y＝(x＋y)＝＋＋1＋4≥2＋5＝9，当且仅当＝，即x＝3，y＝6时取“＝”，故选B.
9．定义一种集合运算A⊗B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，设M＝{x||x|<2}，N＝{x|x2－4x＋3<0}，则M⊗N表示的集合是( )
A．(－∞，－2]∪[1,2)∪(3，＋∞) B．(－2,1]∪[2,3)
C．(－2,1)∪(2,3) D．(－∞，－2]∪(3，＋∞)
解析：选B ∵M＝{x||x|<2}＝{x|－21时，得10)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为( )
A．－3 B．3
C．－1 D．1
解析：选D 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，z＝x＋ay可化为y＝－x＋，为直线y＝－x＋在y轴上的截距，要使目标函数取得最小值的最优解有无数个，
则截距最小时的最优解有无数个．
∵a>0，∴把直线x＋ay＝z平移，使之与可行域中的边界AC重合即可，∴－a＝－1，即a＝1，故选D.
12．已知命题p：函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点；命题q：函数y＝x2－a在(0，＋∞)上是减函数．若p∧綈q为真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，2]
C．(1,2] D．(－∞，1]∪(2，＋∞)
解析：选C 由题意可得，对命题p，令f(0)f(1)<0，即－1(2a－2)<0，得a>1；对命题q，令2－a<0，得a>2，则綈q对应的a的取值范围是(－∞，2]．因为p∧綈q为真命题，所以实数a的取值范围是(1,2]．
13．已知A＝{x|－1<2x－1<5}，B＝{y|y＝2x，x>0}，则(∁RA)∪B＝________.
解析：∵A＝{x|－1<2x－1<5}＝{x|00}＝{y|y>1}，
∴∁RA＝{x|x≤0或x≥3}，
∴(∁RA)∪B＝{x|x≤0或x>1}．
答案：{x|x≤0或x>1}
14．(2018全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________．
解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．
由z＝3x＋2y，得y＝－x＋.
作直线l0：y＝－x.
平移直线l0，当直线y＝－x＋过点(2,0)时，
z取最大值，zmax＝32＋20＝6.
答案：6
15．(2019届高三辽宁五校协作体联考)已知命题“∃x0∈R，4x＋(a－2)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为________．
解析：因为命题“∃x0∈R,4x＋(a－2)x0＋≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R,4x2＋(a－2)x＋>0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－44＝a2－4a<0，解得0m(x2－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，则x的取值范围为________．
解析：由2x－1>m(x2－1)，
可得(x2－1)m－(2x－1)<0.
构造关于m的函数f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，|m|≤2，即－2≤m≤2.
①当x2－1>0，
即x<－1或x>1时，则f(2)<0，
从而2x2－2x－1<0，
解得0，
解得x<或x>，
所以，故x＝1.
综上可得0}，则∁RA＝( )
A．{x|－12} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
解析：选B ∵x2－x－2>0，∴(x－2)(x＋1)>0，
∴x>2或x<－1，即A＝{x|x>2或x<－1}．
则∁RA＝{x|－1≤x≤2}．故选B.
2．(2018南宁模拟)设集合M＝{x|x<4}，集合N＝{x|x2－2x<0}，则下列关系中正确的是
( )
A．M∪N＝M B．M∪∁RN＝M
C．N∪∁RM＝R D．M∩N＝M
解析：选A ∵M＝{x|x<4}，N＝{x|00，y>0，x＋y－x2y2＝4，则＋的最小值等于( )
A．2 B．4
C. D.
解析：选B 由x＋y－x2y2＝4，可得x＋y＝x2y2＋4，x>0，y>0.
∴＋＝＝＝xy＋≥2＝4，当且仅当xy＝2时取等号，因此＋的最小值等于4.
7．(2019届高三武汉调研)已知x>y>0，a>b>1，则一定有( )
A.> B．sin ax>sin by
C．logax>logby D．ax>by
解析：选D 对于A选项，不妨令x＝8，y＝3，a＝5，
b＝4，显然＝<＝，A选项错误；
对于B选项，不妨令x＝π，y＝，a＝2，b＝，
此时sin ax＝sin 2π＝0，sin by＝sin＝，
显然sin axb>1，
∴当x>0时，ax>bx，
又x>y>0，∴当b>1时，bx>by，
∴ax>by，D选项正确．
综上，选D.
8．已知满足约束条件的可行域为Ω，直线x＋ky－1＝0将可行域Ω划分成面积相等的两部分，则k的值为( )
A．－ B.
C．0 D.
解析：选B 作出不等式组所对应的平面区域如图中阴影部分所示．
∵直线x＋ky－1＝0过定点C(1,0)，
∴要使直线x＋ky－1＝0将可行域分成面积相等的两部分，则直线x＋ky－1＝0必过线段AB的中点D.
由解得即B(1,4)．
由解得即A(－1,2)．
∴AB的中点D(0,3)，
将点D的坐标代入直线x＋ky－1＝0，得3k－1＝0，
解得k＝，故选B.
9．(2018郑州第一次质量预测)下列说法正确的是( )
A．“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a>1，则a2≤1”
B．“若am24x0成立
D．“若sin α≠，则α≠”是真命题
解析：选D 对于选项A，“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，选项A错误；
对于选项B，“若am23x，选项C错误；
对于选项D，“若sin α≠，则α≠”的逆否命题为“若α＝，则sin α＝”，且其逆否命题为真命题，所以原命题为真命题，故选D.
10．(2019届高三湖南湘东五校联考)“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A．m> B．00 D．m>1
解析：选C 若不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>，因此当不等式x2－x＋m>0在R上恒成立时，必有m>0，但当m>0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m>0.
11．(2018武汉调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料2千克，B原料3千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A，B原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为( )
A．1 800元 B．2 100元
C．2 400元 D．2 700元
解析：选C 设生产甲产品x桶，生产乙产品y桶，每天的利润为z元．根据题意，有z＝300x＋400y.作出不等式组所表示的可行域如图
中阴影部分所示，作出直线3x＋4y＝0并平移，当直线经过点A(0,6)时，z有最大值，zmax＝4006＝2 400，故选C.
12．在下列结论中，正确的个数是( )
①命题p：“∃x0∈R，x－2≥0”的否定形式为綈p：“∀x∈R，x2－2<0”；
②O是△ABC所在平面上一点，若＝＝，则O是△ABC的垂心；
③“M>N”是“M>N”的充分不必要条件；
④命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 由特称命题与全称命题的关系可知①正确．
∵＝，
∴(－)＝0，即＝0，
∴⊥.
同理可知⊥，⊥，故点O是△ABC的垂心，∴②正确．
∵y＝x是减函数，
∴当M >N时，MN时，MN”是“M>N”的既不充分也不必要条件，∴③错误．
由逆否命题的定义可知，④正确．
∴正确的结论有3个．
13．已知实数x，y满足若z＝ax＋y的最大值为16，则实数a＝________.
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．目标函数z＝ax＋y对应直线ax＋y－z＝0的斜率k＝－a.
①当k∈(－∞，1]，即－a≤1，a≥－1时，目标函数在点A处取得最大值，
由可得A(5,6)，故z的最大值为5a＋6＝16，解得a＝2.
②当k∈(1，＋∞)，即－a>1，a<－1时，目标函数在点C处取得最大值，
由可得C(0,1)，故z的最大值为0a＋1＝1，显然不符合题意．
综上，a＝2.
答案：2
14．(2018郑州第一次质量预测)已知函数f(x)＝若不等式f(x)≤5－mx恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：作出函数f(x)的大致图象如图所示，令g(x)＝5－mx，则g(x)恒过点(0,5)，由f(x)≤g(x)恒成立，并数形结合得－≤－m≤0，
解得0≤m≤.
答案：
15．记min{a，b}为a，b两数的最小值．当正数x，y变化时，令t＝min，则t的最大值为________．
解析：因为x＞0，y＞0，所以问题转化为t2≤(2x＋y)＝≤＝＝2，当且仅当x＝y时等号成立，所以0＜t≤，所以t的最大值为.
答案：
16．(2018洛阳第一次联考)已知x，y满足条件则的取值范围是________．
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．
由于＝1＋2，其中表示可行域中的点(x，y)与点P(－1，－1)连线的斜率．由图可知，当x＝0，y＝3时，取得最大值，且max＝9.因为点P(－1，－1)在直线y＝x上，所以当点(x，y)在线段AO上时，取得最小值，且min＝3.所以的取值范围是[3,9]．
答案：[3,9]
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