八年级数学下册 第六章 平行四边形 6.4 多边形的内角和与外角和 6.4.2 多边形的外角和导学案 北师大版.doc

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6.4.2多边形的外角和 导学案 学习目标 1. 理解和掌握多边形外角和定理的推导过程； 2. 能进行多边形内角和、外角和定理的综合运用. 一.自学释疑 1.一个多边形的一个顶点处，可作有几个外角，它们是什么关系？ 2. 在四边形的四个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？ 二.合作探究 探究点一 问题1：小明沿一个五边形广场周围的小跑，按逆时针方向跑步. (1)小明每从一条街道转到下一条街道时，跑步方向改变的哪个角？在图中标出. (2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？ (3)在上图中，你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5吗？你是怎样得到的？ 小明的推理： 问题2：如果广场是六边形、八边形、n边形那会什么结果？ 探究点二 问题1：过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA′、OB′、OC′、OD′、OE′， 得到∠α、∠β、∠γ、∠δ、∠θ,∠1+∠2＋∠3＋∠4＋∠5是多少度？ 问题2：归纳 多边形的外角： 多边形的外角和： 多边形的外角和： 探究点三 问题1：已知一个多边形,它的内角和等于外角和的3倍,求这个多边形的边数和对角线的条数? 问题2：如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90，AE平分∠BAD，若AE∥CF，∠BCF=60，请你求出∠DCF的度数．并说明你的理由． 强化训练 1. 一个多边形截去一个角后,形成的另一个多边形的内角和是1 620,则原来多边形的边数是多少？ 2. 如图所示,根据图中的对话回答问题. (1)内角和为2 015,小明为什么说不可能? (2)小华求的是几边形的内角和? (3)错把外角当内角的那个外角的度数你能求出来吗? 随堂检测 1．将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是( ) A．360 B．540 C．720 D．900 2．一个正多边形的外角与它相邻的内角之比为1∶4，那么这个多边形的边数为( ) A．8 B．9 C．10 D．12 3.一个多边形除一个内角外其余内角的和为1 510,则这个多边形对角线的条数是(　 　) A.27 B.35 C.44 D.54 4.某花园内有一块四边形的空地如图所示,为了美化环境,现计划在以四边形各顶点为圆心,2 m长为半径的扇形区域(阴影部分)种上花草,种上花草的扇形区域总面积是(　　) A.6π m2 B.5π m2 C.4π m2 D.3π m2 5. 已知一个多边形的内角和与外角和的比是2∶1,求这个多边形对角线的条数. 我的收获： .  参考答案 探究点一 问题2 解：如图，根据问题1知 六边形： ∠1+∠2＋∠3＋∠4＋∠5+∠6=6180-(6-2) 180=360 同理，八边形： ∠1+∠2＋∠3＋∠4＋∠5+∠6+∠7＋∠8=8180-(8-2) 180=360 n边形： ∠1+∠2＋…＋∠（n-1）＋∠n=n180-(n-2) 180=360 探究点二 问题1： 解：∵∠1=∠α，∠2=∠Β，∠3=∠γ，∠4=∠δ，∠5=∠θ ∴∠1+∠2＋∠3＋∠4＋∠5=5180-(5-2) 180=360 探究点三 问题1 解：解：设这个多边形的边数为n，则 （n-2）•180=3360 解得，n=8 对角线的条数：n（n-3）=8（8-3）=20 因此，这个多边形是八边形。对角线有20条 解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4-2）180=360， ∴∠B+∠D=360-（∠A+∠C）=360-180=180. 问题2解：∠DCF=60，理由如下： 如图，∵∠B=90 ∴∠1+∠BCF=90 ∵∠BCF=60 ∴∠1=30． ∵AE∥CF ∴∠2=∠1=30 ∵AE平分∠BAD ∴∠3=∠2=30 又∵∠D=90 ∴∠3+∠4=90 ∴∠4=60 ∵AE∥CF ∴∠DCF=∠4=60． 强化训练 1. 解：设新形成的多边形的边数为n,则有(n-2)180=1 620,解得n=11. 若只截去多边形的一个顶点,则新多边形会多出一个顶点,此时原多边形是十边形; 若截到两个顶点,则边数未变,此时原多边形为十一边形; 若截到三个顶点,则少了一个顶点,此时原多边形为十二边形; 综上可知,原多边形的边数可以为10或11或12. 2. 解：(1)∵n边形的内角和是(n－2)180， ∴内角和一定是180的倍数． ∵2 014180＝11…35， ∴内角和为2 014不可能． (2)依题意，有xx－180＜(x－2)180＜xx， 解得12＜x＜14， 因而多边形的边数是13. 故小华求的是十三边形的内角和． (3)十三边形的内角和是(13－2)180＝1980，xx－1980＝35， 因此这个外角的度数为35 随堂检测 1.D 2.C 3.C 4.C 5. 解:设这个多边形的边数为n, 由题意得(n-2)•180=3602, 解得n=6, n（n-3）=9 所以这个多边形对角线的条数为n（n-3）=9.