2017-2018学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用优化练习 新人教A版选修2-2.doc
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1.7.1 定积分在几何中的应用 [课时作业] [A组 基础巩固] 1．曲线y＝x3与直线y＝x所围封闭图形的面积S等于( ) A. (x－x3)dx B. (x3－x)dx C．20(x－x3)dx D．2 (x－x3)dx 解析：如图， 阴影部分的面积S＝2 (x－x3)dx.故选C. 答案：C 2．已知函数y＝x2与y＝kx(k>0)的图象所围成的封闭区域的面积为，则k＝( ) A．3 B．2 C．1 D. 解析：由消去y得x2－kx＝0， 所以x＝0或x＝k，则所求区域的面积为 S＝ (kx－x2)dx＝＝＝，则k3＝27，解得k＝3. 答案：A 3．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积S为( ) A. B. C. D. 解析：作出曲线y＝x2，y＝x3的草图，所求面积即为图中阴影部分的面积． 解方程组得曲线y＝x2，y＝x3交点的横坐标为x＝0及x＝1. 因此，所求图形的面积为S＝(x2－x3)dx＝ ＝－＝. 答案：A 4．由y＝，x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积为( ) A．ln 2 B．ln 2－1 C．1＋ln 2 D．2ln 2 解析：所求面积为S＝dx＝ln x＝ln 2. 答案：A 5．设抛物线C：y＝x2与直线l：y＝1围成的封闭图形为P，则图形P的面积S等于( ) A．1 B. C. D. 解析：由得x＝1.如图，由对称性可知，S＝2(11－x2dx)＝ 2＝. 答案：D 6．曲线y＝－x2与曲线y＝x2－2x围成的图形面积为________． 解析：解方程组得交点坐标为(0,0)，(1，－1)． 如图所示，图形面积S＝(－2x2＋2x)dx ＝＝－＋1＝. 答案： 7．直线x＝，x＝与曲线y＝sin x，y＝cos x围成平面图形的面积为________． 解析：由图可知， 图形面积S＝ (sin x－cos x)dx ＝(－cos x－sin x) ＝－ ＝－(－)＝2. 答案：2 8．正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，D(－1，1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________． 解析：首先求第一象限内阴影部的分面积，1－x2dx＝1－x3＝，根据对称性以及几何概型的相关内容可知，所求概率为P＝＝. 答案： 9．计算由直线y＝6－x，曲线y＝以及x轴所围图形的面积． 解析：作出直线y＝6－x，曲线y＝的草图，所求面积为图中阴影部分的面积． 解方程组得直线y＝6－x与曲线y＝交点的坐标为(2,4)，直线y＝6－x与x轴的交点坐标为(6,0)． 因此，所求图形的面积S＝S1＋S2＝ dx＋(6－x)dx＝x＋(6x－x2)＝＋[(66－62)－(62－22)]＝＋8＝. 10．已知f(x)为一次函数，且f(x)＝xf(x)dx＋1， (1)求f(x)解析式； (2)求直线y＝f(x)与曲线y＝xf(x)围成平面图形的面积． 解析：(1)设一次函数f(x)＝kx＋b (k≠0)，由f(x)＝xf(x)dx＋1得kx＋b＝x(kx＋b)dx＋1＝x＋1＝(2k＋2b)x＋1， 所以b＝1，k＝2k＋2b，即k＝－2b＝－2， 所以f(x)＝－2x＋1. (2)由 消去y，得2x2－3x＋1＝0，解得x1＝，x2＝1，大致图象如图， 所求平面图形的面积为 S＝ [(－2x2＋x)－(－2x＋1)]dx ＝ (－2x2＋3x－1)dx ＝ ＝. [B组 能力提升] 1．已知a＝(sin x，cos x)，b＝(cos x，sin x)，f(x)＝ab，则直线x＝0，x＝，y＝0以及曲线y＝f(x)围成平面图形的面积为( ) A. B. C. D. 解析：由a＝(sin x，cos x)， b＝(cos x，sin x)， 得f(x)＝ab＝2sin xcos x＝sin 2x， 当x∈时，sin 2x≥0； 当x∈时，sin 2x<0.由定积分的几何意义，直线x＝0，x＝，y＝0以及曲线y＝f(x)围成平面图形的面积为 sin 2xdx－sin 2xdx ＝－cos 2x＋cos 2x ＝1＋＝. 答案：C 2.函数f(x)满足f(0)＝0，其导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为( ) A. B. C．2 D. 解析：由导函数f′(x)的图象可知函数f(x)为二次函数，且对称轴为x＝－1，开口方向向上．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)， 由f(0)＝0，得c＝0.f′(x)＝2ax＋b，因过点(－1,0)与(0,2)，则有 ∴∴f(x)＝x2＋2x，则f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为S＝(－x2－2x)dx＝＝(－2)3＋(－2)2＝. 答案：B 3．(2015高考天津卷)曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________． 解析：两曲线的交点坐标为(0,0)，(1,1)，所以它们所围成的封闭图形的面积S＝(x－x2)dx＝＝. 答案： 4．如图所示，已知抛物线拱形的底边弦长为a，拱高为b，其面积为________． 解析：建立如图所示的坐标系，所以得抛物线的方程为y＝－x2，所以曲线与x轴围成的部分的面积为S＝＝＝，所以阴影部分的面积为ab－＝. 答案：ab 5．已知过原点的直线l与抛物线y＝x2－4x所围成图形的面积为36，求l的方程． 解析：由题意可知直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝kx， 则由，得或. (1)当k＋4>0，即k>－4时， 面积S＝ (kx－x2＋4x)dx ＝(kx2－x3＋2x2) ＝k(k＋4)2－(k＋4)3＋2(k＋4)2 ＝(k＋4)3＝36， ∴k＝2，故直线l的方程为y＝2x； (2)当k＋4<0，即k<－4时， S＝(kx－x2＋4x)dx ＝(kx2－x3＋2x2) ＝－[(k＋4)2k－(k＋4)3＋2(k＋4)2] ＝－(k＋4)3 ＝36， ∴k＝－10，故直线l的方程为y＝－10x. 综上，直线l的方程为y＝2x或y＝－10x. 6．已知y＝ax2＋bx通过点(1,2)，与y＝－x2＋2x有一个交点(x1，y1)，且a<0，如图所示． (1)求y＝ax2＋bx与y＝－x2＋2x所围的面积S与a的函数关系； (2)当a，b为何值时，S取得最小值． 解析：(1)由y＝ax2＋bx通过点(1,2)可得a＋b＝2， 即b＝2－a. 由y＝ax2＋bx与y＝－x2＋2x联立方程组， 解得x1＝，x2＝0， y＝ax2＋bx与y＝－x2＋2x所围的面积S与a的函数关系为 S(a)＝[(ax2＋bx)－(－x2＋2x)]dx ＝ [(ax2＋2x－ax)－(－x2＋2x)]dx ＝[(a＋1)x3－ax2] ＝(a＋1)()3－a()2 ＝－. (2)求导可得 S′＝－ ＝－， 由S′>0，得－3
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