2019届高考数学一轮复习 第十章 复数、算法、推理与证明 课堂达标57 合情推理与演绎推理 文 新人教版.doc
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课堂达标(五十七) 合情推理与演绎推理 [A基础巩固练] 1．(2018洛阳统考)下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( ) A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数 B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数 C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数 D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数 [解析] A项中小前提不正确，选项C、D都不是由一般性结论到特殊性结论的推理，所以选项A、C、D都不正确，只有B项的推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确． [答案] B 2．(2018西安八校联考)观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第( ) A．22项 B．23项 C．24项 D．25项 [解析] 两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5是和为8的第3项，所以为第24项． [答案] C 3．(2018泉州模拟)正偶数列有一个有趣的现象：①2＋4＝6；②8＋10＋12＝14＋16；③18＋20＋22＋24＝26＋28＋30，…按照这样的规律，则2 016所在等式的序号为( ) A．29 B．30 C．31 D．32 [解析] 由题意知，每个等式正偶数的个数组成等差数列3,5,7，…，2n＋1，…，其前n项和Sn＝＝n(n＋2)且S31＝1 023，即第31个等式中最后一个偶数是1 0232＝2 046，且第31个等式中含有63个偶数，故2 016在第31个等式中． [答案] C 4．已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N*，则f2 017(x)＝( ) A．sin x＋cos x B．－sin x－cos x C．sin x－cos x D．－sin x＋cos x [解析] f2(x)＝f′1(x)＝cos x－sin x，f3(x)＝f′2(x)＝－sin x－cos x，f4(x)＝f′3(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝f′4(x)＝sin x＋cos x，f6(x)＝f′5(x)＝cos x－sin x，…， 可知fn(x)是以4为周期的函数，因为2 017＝5044＋1，所以f2 017(x)＝f1(x)＝sin x＋cos x．故选A. [答案] A 5．若数列{an}是等差数列，则数列{bn}也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为( ) A．dn＝ B．dn＝ C．dn＝ D．dn＝ [解析] 若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列； 若{cn}是等比数列，则c1c2…cn＝cq1＋2＋…＋(n－1)＝c1q，∴dn＝＝c1q，即{dn}为等比数列，故选D. [答案] D 6．在直角坐标系xOy中，一个质点从A(a1，a2)出发沿图中路线依次经过B(a3，a4)，C(a5，a6)，D(a7，a8)，…，按此规律一直运动下去，则a2 015＋a2 016＋a2 017等于( ) A．1 006 B．1 007 C．1 008 D．1 009 [解析] 由直角坐标系可知A(1,1)，B(－1,2)，C(2,3)，D(－2,4)，E(3,5)，F(－3,6)，即a1＝1，a2＝1，a3＝－1，a4＝2，a5＝2，a6＝3，a7＝－2，a8＝4，…， 由此可知，所有数列偶数个都是从1开始逐渐递增的，且都等于所在的个数除以2，则a2 016＝1 008，每四个数中有一个负数，且为每组的第三个数，每组的第1个奇数和第2个奇数互为相反数，且从－1开始逐渐递减的，则2 0154＝503余3，则a2 015＝504，a2 0174＝504余1，∴则a2 017＝505，∴a2 015＋a2 016＋a2 017＝－504＋1 008＋505＝1 009. [答案] D 7．(2018云南名校联考)观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n个等式为______． [解析] 由第一个等式13＝12，得13＝(1＋0)2；第二个等式13＋23＝32，得13＋23＝(1＋2)2；第三个等式13＋23＋33＝62，得13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；第四个等式13＋23＋33＋43＝102，得13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可猜想第n个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝2. [答案] 13＋23＋33＋43＋…＋n3＝2 8．已知f(x)＝，f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝[f1(x)]′，…，fn＋1(x)＝[fn(x)]′，n∈N*，经计算：f1(x)＝，f2(x)＝，f3(x)＝，…，照此规律，则fn(x)＝__________. [解析] 因为f1(x)＝，f2(x)＝，f3(x)＝，…，所以fn(x)＝. [答案] 9．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是______． [解析] 将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S＋S＋S＝S. [答案] S＋S＋S＝S 10．在锐角三角形ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C. [证明] ∵△ABC为锐角三角形，∴A＋B>， ∴A>－B，∵y＝sin x在上是增函数， ∴sin A>sin＝cos B， 同理可得sin B>cos C，sin C>cos A， ∴sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C. [B能力提升练] 1．[]表示不超过的最大整数． 若S1＝[]＋[]＋[]＝3， S2＝[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝10， S3＝[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝21， … 则Sn＝( ) A．n(n＋2) B．n(n＋3) C．(n＋1)2－1 D．n(2n＋1) [解析] 观察得到：Sn是从开始到(不含)之前共2n＋1个n的和，所以Sn为n(2n＋1)，即[]＋[]＋[]＋…＋[]＝n(2n＋1)． [答案] D 2．已知面积为S的凸四边形中，四条边长分别记为a1，a2，a3，a4，点P为四边形内任意一点，且点P到四条边的距离分别记为h1，h2，h3，h4，若＝＝＝＝k，则h1＋2h2＋3h3＋4h4＝.类比以上性质，体积为V的三棱锥的每个面的面积分别记为S1，S2，S3，S4，此三棱锥内任一点Q到每个面的距离分别为H1，H2，H3，H4，若＝＝＝＝K，则H1＋2H2＋3H3＋4H4＝( ) A. B. C. D. [解析] 根据三棱锥的体积公式，得S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4＝V，即KH1＋2KH2＋3KH3＋4KH4＝3V，∴H1＋2H2＋3H3＋4H4＝. [答案] B 3．通过计算可得下列等式： 23－13＝312＋31＋1； 33－23＝322＋32＋1； 43－33＝332＋33＋1； …； (n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1. 将以上各等式两边分别相加，得 (n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n，即12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)． 类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋…＋n3的值． [解] ∵24－14＝413＋612＋41＋1； 34－24＝423＋622＋42＋1； 44－34＝433＋632＋43＋1； …； (n＋1)4－n4＝4n3＋6n2＋4n＋1. 将以上各式两边分别相加，得(n＋1)4－14 ＝4(13＋23＋…＋n3)＋6(12＋22＋…＋n2)＋4(1＋2＋…＋n)＋n，∴13＋23＋…＋n3 ＝ ＝n2(n＋1)2. 4．如图，我们知道，圆环也可以看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S＝π(R2－r2)＝(R－r)2π.所以，圆环的面积等于以线段AB＝R－r为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π为长的矩形面积．请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域M＝{(x，y)|(x－d)2＋y2≤r2}(其中0
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