2018-2019学年高中数学 第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程 3 参数方程和普通方程的互化讲义（含解析）新人教A版选修4-4.doc

《2018-2019学年高中数学 第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程 3 参数方程和普通方程的互化讲义（含解析）新人教A版选修4-4.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高中数学 第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程 3 参数方程和普通方程的互化讲义（含解析）新人教A版选修4-4.doc（5页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

3．参数方程和普通方程的互化 参数方程和普通方程的互化 (1)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线类型，曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程． (2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致． 把曲线的普通方程化为参数方程 [例1]　根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程． (1)＋＝1，x＝cos θ＋1，(θ为参数)； (2)x2－y＋x－1＝0，x＝t＋1，(t为参数)． [解]　(1)将x＝cos θ＋1代入＋＝1，得y＝2＋sin θ. ∴(θ为参数)． 这就是所求的参数方程． (2)将x＝t＋1代入x2－y＋x－1＝0， 得y＝x2＋x－1＝(t＋1)2＋t＋1－1＝t2＋3t＋1， ∴(t为参数)． 这就是所求的参数方程． 普通方程化为参数方程时的注意点 (1)选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价． (2)参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．如本例(2)，若令x＝tan θ(θ为参数)，则参数方程为(θ为参数)． 1.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为______________． 解析：由题意得圆的方程为2＋y2＝，圆心在x轴上，半径为， 则该圆的参数方程为(α为参数)，注意α为圆心角，θ为圆弧所对的圆周角，则有α＝2θ，故即(θ为参数)． 答案：(θ为参数) 将参数方程化为普通方程 [例2]　将下列参数方程化为普通方程： (1)(t为参数)； (2)(θ为参数)． [思路点拨]　(1)可采用代入法，由x＝1－解出，代入y的表达式； (2)采用三角恒等变换求解． [解]　(1)由x＝1－得 ＝1－x，将其代入y＝1＋2得y＝3－2x.因为≥0，所以x＝1－≤1， 所以参数方程化为普通方程为y＝3－2x(x≤1)． 方程表示的是以(1,1)为端点的一条射线(包括端点)． (2)由得， ①2＋②2得＋＝1(－5≤x≤5，－5≤y≤3)． 将参数方程化为普通方程的三种方法 (1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数； (2)利用三角恒等式消去参数； (3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数． 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围． 2．参数方程(t为参数)化为普通方程为(　　) A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1去掉(0,1)点 C．x2＋y2＝1去掉(1,0)点 D．x2＋y2＝1去掉(－1,0)点 解析：选D　结合题意，x2＋y2＝2＋2＝1，x＝＝－1＋≠－1，故选D. 3．已知曲线的参数方程为(θ为参数)，则曲线的普通方程为(　　) A．y2＝1＋x　　　　　　　 B．y2＝1－x C．y2＝1－x(－≤y≤) D．以上都不对 解析：选C　因为y＝cos θ－sin θ＝cos，所以y∈[－， ]，由y2＝1－2sin θcos θ＝1－sin 2θ，得y2＝1－x，y∈[－， ]，故选C. 一、选择题 1．将参数方程(θ为参数)化为普通方程为(　　) A．y＝x－2　　　　　　　 B．y＝x＋2 C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1) 解析：选C　方程可化为y＝x－2，x∈[2,3]，y∈[0,1]，故选C. 2．参数方程(θ为参数)表示的曲线是(　　) A．直线 B．圆 C．线段 D．射线 解析：选C　x＝cos2θ∈[0,1]，y＝sin2θ∈[0,1]， ∴x＋y＝1(x∈[0,1])为线段． 3．曲线(θ为参数)的对称中心(　　) A．在直线y＝2x上 B．在直线y＝－2x上 C．在直线y＝x－1上 D．在直线y＝x＋1上 解析：选B　将(θ为参数)化为普通方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，其表示以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，其对称中心即圆心，显然(－1,2)在直线y＝－2x上，故选B. 4．已知曲线C：(t为参数)，A(－1,0)，B(1,0)，若曲线C上存在点P满足AP―→BP―→＝0，则实数a的取值范围为(　　) A. B．[－1,1] C．[－，] D．[－2,2] 解析：选C　设P(x，y)，∵A(－1,0)，B(1,0)，点P满足AP―→BP―→＝0， ∴P的轨迹方程是x2＋y2＝1，表示圆心为(0,0)，半径为1的圆．曲线C：(t为参数)化成普通方程为x－y＋a＝0，由题意知，圆心(0,0)到直线x－y＋a＝0的距离d＝≤1，∴－≤a≤. 二、填空题 5．x2＋y2＋2x－4y＋1＝0化为参数方程为________． 解析：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0化成标准方程是(x＋1)2＋(y－2)2＝4，表示圆心为(－1,2)，半径为2的圆， 故参数方程为(θ为参数)． 答案：(θ为参数) 6．直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为________． 解析：(t为参数)化为普通方程为x＋y＝1，(α为参数)化为普通方程为x2＋y2＝9，表示以(0,0)为圆心，3为半径的圆．圆心(0,0)到直线的距离为＝，小于半径3，所以直线与圆相交．因此，交点的个数为2. 答案：2 7．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________________． 解析：曲线C的直角坐标方程是(x－1)2＋y2＝1， 其参数方程为(θ为参数)． 答案：(θ为参数) 三、解答题 8．把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线． (1)(t为参数，t≥0)； (2)(π≤t≤2π)． 解：(1)由②得t＝y－1，又t≥0，所以y≥1.所以x＝－4(y－1)2(y≥1)，即(y－1)2＝－x(y≥1)． 方程表示的是顶点为(0,1)，对称轴平行于x轴，开口向左的抛物线的一部分． (2)由得＋＝1. ∵π≤t≤2π，∴－2≤x≤2，－3≤y≤0. ∴所求方程为＋＝1(－3≤y≤0)， 它表示半个椭圆. 9．如图所示，经过圆x2＋y2＝4上任一点P作x轴的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点轨迹的普通方程． 解：圆x2＋y2＝4的参数方程为(θ为参数)． 在此圆上任取一点P(2cos θ，2sin θ)， 则PQ的中点为M(2cos θ，sin θ)， 所以PQ中点轨迹的参数方程为(θ为参数)，化成普通方程＋y2＝1. 10．已知曲线C1的参数方程为(θ为参数)，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋6sin θ. (1)将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)曲线C1，C2是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由． 解：(1)由(θ为参数)得(x＋2)2＋y2＝10，∴曲线C1的普通方程为(x＋2)2＋y2＝10. ∵ρ＝2cos θ＋6sin θ， ∴ρ2＝2ρcos θ＋6ρsin θ， ∴x2＋y2＝2x＋6y，即(x－1)2＋(y－3)2＝10. ∴曲线C2的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10. (2)∵圆C1的圆心为(－2,0)，圆C2的圆心为(1,3)， ∴|C1C2|＝＝3＜2， ∴两圆相交．设相交弦长为d，∵两圆半径相等，∴公共弦平分线段C1C2，∴2＋2＝()2，解得d＝，∴公共弦长为.