2019年高考数学 考点分析与突破性讲练 专题37 随机事件、古典概型和几何概型 理.doc
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专题37 随机事件、古典概型和几何概型 一、考纲要求： 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别. 2.了解两个互斥事件的概率加法公式． 3.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率． 4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率. 5.了解几何概型的意义． 二、概念掌握及解题上的注意点： 1.概率与频率的关系 概率是常数，是频率的稳定值，频率是变量，是概率的近似值.有时也用频率来作为随机事件概率的估计值. 2.随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率. 3.复杂事件的概率的两种求法 (1）)直接求法，将所求事件分解为一些彼此互斥的事件，运用互斥事件的概率求和公式计算. (2）)间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()求解(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就比较简便. 4.求古典概型概率的步骤 (1）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A； (2）分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m； (3）利用公式P(A)＝，求出事件A的概率. 5.确定基本事件个数的方法： (1）基本事件较少的古典概型，用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏. (2）利用计数原理、排列与组合的有关知识计算基本事件. 6.与长度有关的几何概型 如果试验结果构成的区域可用长度度量，则其概率的计算公式为P(A)＝ . 7.与角度有关的几何概型 当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段. 三、高考考题题例分析： 例1.（2018全国卷I）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（ ） A．p1=p2 B．p1=p3 C．p2=p3 D．p1=p2+p3 【答案】A 例2.（2018全国卷II）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 例3.(2016天津高考)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】：事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为＋＝. 例4.(2017全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率． 【答案】(1) 0.6；(2) Y的所有可能值为900,300，－100. Y大于零的概率的估计值为0.8. 【解析】： (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6. (2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时， 若最高气温不低于25，则Y＝6450－4450＝900； 若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6300＋2(450－300)－4450＝300； 若最高气温低于20，则Y＝6200＋2(450－200)－4450＝－100. 所以，Y的所有可能值为900,300，－100. Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8. 3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( ) A． B． C． D．1 【答案】C 4．下面三行三列的方阵中有九个数aij(i＝1,2,3；j＝1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是( ) A． B． C． D． 【答案】D 5．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】： 如图，在正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率P＝＝. 6．一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】：先从4个位置中选一个排4，再从剩下的位置中选一个排3，最后剩下的2个位置排1. ∴共有431＝12种不同排法． 又卡片排成“1314”只有1种情况， 故所求事件的概率P＝. 7.某车间共有12名工人，随机抽取6名作为样本，他们某日加工零件个数的茎叶图如图1053所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．要从这6人中，随机选出2人参加一项技术比赛，选出的2人至少有1人为优秀工人的概率为( ) 图1053 A． B． C． D． 【答案】C 8．设实数a∈(0,1)，则函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2＋1有零点的概率为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】： 由函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2＋1有零点，可得Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋1)＝4a－3≥0，解得a≥，即有≤a<1，结合几何概型的概率计算公式可得所求的概率为P＝＝，故选D. 9．已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝x，则圆C上任取一点A到直线l的距离小于1的概率为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】：如图所示，设与y＝x平行的两直线AD，BF交圆C于点A，D，B，F，且它们到直线y＝x的距离相等，过点A作AE垂直于直线y＝x，垂足为E，当点A到直线y＝x的距离为1时，AE＝1，又CA＝2，则∠ACE＝，所以∠ACB＝∠FCD＝，所以所求概率P＝＝，故选D. 10．安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为( ) A． B． C． D． 【答案】B 11．掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，若表示B的对立事件，则一次试验中，事件A＋发生的概率为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】：掷一个骰子的试验有6种可能结果． 依题意P(A)＝＝，P(B)＝＝， ∴P()＝1－P(B)＝1－＝. ∵表示“出现5点或6点”的事件， ∴事件A与互斥， 从而P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝. 12．设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为( ) A．＋π B．＋ C．－ D．－ 【答案】D 二、填空题 13．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________. 【答案】 【解析】：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P＝＋＝. 由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－＝. 14．某城市2017年的空气质量状况如表所示： 污染指数T 30 60 100 110 130 140 概率P 其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50
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