2018-2019学年高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 二 用数学归纳法证明不等式举例讲义（含解析）新人教A版选修4-5.doc

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二 用数学归纳法证明不等式举例 1．利用数学归纳法证明不等式 在不等关系的证明中，方法多种多样，其中数学归纳法是常用的方法之一．在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行． 2．归纳—猜想—证明的思想方法 数学归纳法作为一种重要的证明方法，常常体现在“归纳—猜想—证明”这一基本思想方法中．一方面可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论；更重要的是，要用不完全归纳法去发现某些结论、规律并用数学归纳法证明其正确性，形成“观察—归纳—猜想—证明”的思想方法． 利用数学归纳法证明不等式 [例1]　证明不等式1＋＋＋…＋＜2(n∈N＋)． [思路点拨]　 ―→―→ [证明]　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，不等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时不等式成立， 即1＋＋＋…＋＜2， 则当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋＜2＋＝， 现在只需证明＜2成立， 即证2＜2k＋1成立， 两边平方并整理，得0＜1，显然成立， 所以＜2成立． 即1＋＋＋…＋＋＜2成立． 所以当n＝k＋1时，不等式成立． 由(1)(2)可知，对于任意正整数n，原不等式都成立． 数学归纳法证明不等式的技巧 (1)证明不等式时，由n＝k到n＝k＋1时的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不等关系，需要我们在证明时，对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到n＝k时的假设，所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一． (2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等，才能完成证明过程． 1．设Sn是数列的前n项和，当n≥2时，比较S2n与的大小，并予以证明． 解：由S22＝1＋＋＋＝＞，S23＝1＋＋＋＋＋…＋＞S22＋＋＋＋＞＋＝，猜想：S2n＞(n≥2)． 下面用数学归纳法证明． (1)当n＝2时，上面已证不等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥2)时，有S2k＞， 则当n＝k＋1时， S2k＋1＝S2k＋＋＋…＋＞＋ ＝＋＝， 即当n＝k＋1时，不等式也成立． 结合(1)(2)可知，S2n＞(n≥2，n∈N＋)成立． 2．用数学归纳法证明： 1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N＋)． 证明：(1)当n＝2时，1＋＝<2－＝，不等式成立． (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时不等式成立， 即1＋＋＋…＋<2－， 当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－＝2－，所以当n＝k＋1时，不等式成立． 由(1)(2)知原不等式在n≥2，n∈N＋时均成立． 3．设Pn＝(1＋x)n，Qn＝1＋nx＋x2，n∈N＋，x∈(－1，＋∞)，试比较Pn与Qn的大小，并加以证明． 解：(1)当n＝1,2时，Pn＝Qn. (2)当n≥3时，(以下再对x进行分类)． ①若x∈(0，＋∞)，显然有Pn>Qn. ②若x＝0，则Pn＝Qn. ③若x∈(－1,0)， 则P3－Q3＝x3<0，所以P31)，当n＝2时，要证明的式子为________． 解析：当n＝2时，要证明的式子为 2<1＋＋＋<3. 答案：2<1＋＋＋<3 6．用数学归纳法证明＋＋…＋＞－.假设n＝k时不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是__________________． 解析：假设n＝k时，不等式成立，即＋＋…＋＞－，则当n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＞－＋，下面只需证明－＋＞－即可． 答案：－＋＞－ 7．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，用数学归纳法证明f(2n)>时，f(2k＋1)－f(2k)＝______________. 解析：f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋…＋， f(2k)＝1＋＋＋…＋，所以 f(2k＋1)－f(2k)＝＋＋…＋. 答案：＋＋…＋ 8．用数学归纳法证明，对任意n∈N＋，有 (1＋2＋…＋n)≥n2. 证明：(1)当n＝1时，左边＝右边，不等式成立． 当n＝2时，左边＝(1＋2)＝>22，不等式成立． (2)假设当n＝k(k≥2)时不等式成立， 即(1＋2＋…＋k)≥k2. 则当n＝k＋1时，有 左边＝[(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)]＋ ＝(1＋2＋…＋k)＋(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)＋1≥k2＋＋1＋(k＋1). ∵当k≥2时，1＋＋…＋≥1＋＝，(*) ∴左边≥k2＋＋1＋(k＋1)＝k2＋2k＋1＋≥(k＋1)2. 这就是说当n＝k＋1时，不等成立． 由(1)(2)可知当n≥1时，不等式成立． 9．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝＋－1，且an＞0，n∈N＋. (1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式； (2)证明通项公式的正确性． 解：(1)当n＝1时， 由已知得a1＝＋－1， 即a＋2a1－2＝0. ∴a1＝－1(a1＞0)． 当n＝2时，由已知得a1＋a2＝＋－1， 将a1＝－1代入并整理得a＋2a2－2＝0. ∴a2＝－(a2＞0)． 同理可得a3＝－. 猜想an＝－(n∈N＋)． (2)证明：①由(1)知，当n＝1时，通项公式成立． ②假设当n＝k(k∈N＋)时，通项公式成立， 即ak＝－. 由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－， 将ak＝－代入上式，整理得 a＋2ak＋1－2＝0， ∴ak＋1＝－， 即n＝k＋1时通项公式成立． 由①②可知对所有n∈N＋，an＝－都成立． 10．设数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n＝1,2,3…. (1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式； (2)当a≥3时，证明对所有的n≥1，有an≥n＋2. 解：(1)由a1＝2，得a2＝a－a1＋1＝3， 由a2＝3，得a3＝a－2a2＋1＝4， 由a3＝4，得a4＝a－3a3＋1＝5. 由此猜想an的一个通项公式： an＝n＋1(n≥1)． (2)证明：用数学归纳法证明． ①当n＝1，a1≥3＝1＋2，不等式成立． ②假设当n＝k时不等式成立， 即ak≥k＋2，那么，当n＝k＋1时． ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1≥k＋3， 也就是说，当n＝k＋1时， ak＋1≥(k＋1)＋2. 根据①和②，对于所有n≥1，有an≥n＋2.