2018-2019学年高中数学 第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程 2 圆的参数方程讲义（含解析）新人教A版选修4-4.doc

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2．圆的参数方程 圆的参数方程 (1)在t时刻，圆周上某点M转过的角度是θ，点M的坐标是(x，y)，那么θ＝ωt(ω为角速度)．设|OM|＝r，那么由三角函数定义，有cos ωt＝，sin ωt＝，即圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为(t为参数)．其中参数t的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时刻． (2)若取θ为参数，因为θ＝ωt，于是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM0(M0为t＝0时的位置)绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度． (3)若圆心在点M0(x0，y0)，半径为R，则圆的参数方程为(0≤θ＜2π)． 　　　　　　　　　　　 求圆的参数方程 　　[例1]　根据下列要求，分别写出圆心在原点，半径为r的圆的参数方程． (1)在y轴左侧的半圆(不包括y轴上的点)； (2)在第四象限的圆弧． [解]　(1)由题意，圆心在原点，半径为r的圆的参数方程为(θ∈[0,2π))，在y轴左侧半圆上点的横坐标小于零，即x＝rcos θ<0，所以有<θ<，故其参数方程为. (2)由题意，得解得<θ<2π.故在第四象限的圆弧的参数方程为. (1)确定圆的参数方程，必须仔细阅读题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题易忽视θ的范围而致误． (2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程． 1．已知圆的方程为x2＋y2＝2x，写出它的参数方程． 解：x2＋y2＝2x的标准方程为(x－1)2＋y2＝1， 设x－1＝cos θ，y＝sin θ， 则参数方程为(0≤θ＜2π)． 2．已知点P(2,0)，点Q是圆上一动点，求PQ中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线． 解：设中点M(x，y)．则即(θ为参数)这就是所求的轨迹方程．它是以(1,0)为圆心，为半径的圆. 圆的参数方程的应用 [例2]　若x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求2x＋y的最值． [思路点拨]　(x－1)2＋(y＋2)2＝4表示圆，可考虑利用圆的参数方程将求2x＋y的最值转化为求三角函数最值问题． [解]　令x－1＝2cos θ，y＋2＝2sin θ， 则有x＝2cos θ＋1，y＝2sin θ－2， 故2x＋y＝4cos θ＋2＋2sin θ－2＝4cos θ＋2sin θ＝2sin(θ＋φ)， ∴－2≤2x＋y≤2， 即2x＋y的最大值为2，最小值为－2. 圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题． 3．已知圆C与直线x＋y＋a＝0有公共点，求实数a的取值范围． 解：将圆C的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a＝0， 即a＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－sin. ∵－1≤sin≤1，∴1－≤a≤1＋. 故实数a的取值范围为[1－，1＋]． 一、选择题 1．已知圆的参数方程为(θ为参数)，则圆的圆心坐标为(　　) A．(0,2)　　　　　　　　 B．(0，－2) C．(－2,0) D．(2,0) 解析：选D　将化为(x－2)2＋y2＝4，其圆心坐标为(2,0)． 2．已知圆的参数方程为(θ为参数)，则圆心到直线y＝x＋3的距离为(　　) A．1 B. C．2 D．2 解析：选B　圆的参数方程(θ为参数)化成普通方程为(x＋1)2＋y2＝2，圆心(－1,0)到直线y＝x＋3的距离d＝＝，故选B. 3．若直线y＝ax＋b经过第二、三、四象限，则圆(θ为参数)的圆心在(　　) A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 解析：选B　根据题意，若直线y＝ax＋b经过第二、三、四象限，则有a<0，b<0.圆的参数方程为(θ为参数)，圆心坐标为(a，b)，又由a<0，b<0，得该圆的圆心在第三象限，故选B. 4．P(x，y)是曲线(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为(　　) A．36 B．6 C．26 D．25 解析：选A　设P(2＋cos α，sin α)，代入得， (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2 ＝25＋sin2α＋cos2α－6cos α＋8sin α ＝26＋10sin(α－φ)，所以其最大值为36. 二、填空题 5．x＝1与圆x2＋y2＝4的交点坐标是________． 解析：圆x2＋y2＝4的参数方程为(θ为参数) 令2cos θ＝1，得cos θ＝，∴sin θ＝. ∴交点坐标为(1，)和(1，－)． 答案：(1，)，(1，－) 6．曲线(θ为参数)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________. 解析：根据题意，曲线(θ为参数)的普通方程为x2＋(y－1)2＝1， 表示圆心坐标为(0,1)，半径r＝1的圆， 而直线的方程为x＋y－1＝0，易知圆心在直线上， 则AB为圆的直径，故|AB|＝2r＝2. 答案：2 7．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρsin ＝1，圆C的参数方程为(θ为参数)，则直线l与圆C相交所得的弦长为________． 解析：直线l的极坐标方程为ρsin＝1， 展开可得ρsin θ＋ρcos θ＝1，化为直角坐标方程为x＋y－2＝0，圆C的参数方程(θ为参数)化为普通方程为(x－2)2＋(y＋)2＝4， 可得圆心坐标为(2，－)，半径r＝2. 圆心C到直线l的距离d＝＝. ∴直线l与圆C相交所得弦长＝2＝2 ＝. 答案： 三、解答题 8．将参数方程(t为参数，0≤t≤π)化为普通方程，并说明方程表示的曲线． 解：因为0≤t≤π，所以－3≤x≤5，－2≤y≤2.因为所以(x－1)2＋(y＋2)2＝16cos2t＋16sin2t＝16，所以曲线的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝16(－3≤x≤5，－2≤y≤2)．它表示的曲线是以点(1，－2)为圆心，4为半径的上半圆． 9．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈. (1)求C的参数方程； (2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标． 解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)． 可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)． (2)设D(1＋cos t，sin t)．由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝，t＝. 故D的直角坐标为，即. 10．在极坐标系中，已知三点O(0,0)，A，B. (1)求经过点O，A，B的圆C1的极坐标方程； (2)以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为(θ是参数)，若圆C1与圆C2外切，求实数a的值． 解：(1)O(0,0)，A，B对应的直角坐标分别为O(0,0)，A(0,2)，B(2,2)，则过点O，A，B的圆的普通方程为x2＋y2－2x－2y＝0，将代入可求得经过点O，A，B的圆C1的极坐标方程为ρ＝2cos. (2)圆C2：(θ是参数)对应的普通方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝a2，圆心为(－1，－1)，半径为|a|，由(1)知圆C1的圆心为(1,1)，半径为， 所以当圆C1与圆C2外切时，有＋|a|＝，解得a＝.