2018版高中数学 第二章 概率 2.2 超几何分布学案 苏教版选修2-3.doc

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2.2 超几何分布 学习目标　1.了解超几何分布的实际背景.2.理解超几何分布的特征.3.能用超几何分布这一概率模型解决相关问题． 知识点　超几何分布 思考　从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数． (1)X的所有可能值是什么？ (2)X的概率分布是什么？ 　 　 梳理　超几何分布 (1)概念：一般地，若一个随机变量X的分布列为P(X＝r)＝，其中r＝0,1,2,3，…，l，l＝min(n，M)，则称X服从超几何分布． (2)记法：X服从超几何分布，记为__________________，并将P(X＝r)＝____________记为H(r；n，M，N)． (3)含义：在H(r；n，M，N)中，r，n，M，N的含义： 特别提醒：(1)超几何分布的模型特点 ①超几何分布中的正品、次品也可以理解为黑、白，男、女等有明显差异的两部分． ②超几何分布中“X＝k”的含义是“取出的n件产品中恰好有k件次品”． (2)超几何分布的特征 ①超几何分布的抽取是不放回的． ②超几何分布本质上还是这一事件在该随机试验中发生的次数与总次数的比． 类型一　超几何分布求概率 例1　从放有10个红球与15个白球的暗箱中，随意摸出5个球，规定取到一个白球得1分，一个红球得2分，求某人摸出5个球，恰好得7分的概率． 　 　 　 　 　 　 　 　 反思与感悟　解答此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布．若满足，则直接利用公式解决；若不满足，则应借助相应概率公式求解． 跟踪训练1　在元旦晚会上，数学老师设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出5个球，至少摸到3个红球中奖，求中奖的概率．(结果保留两位小数) 　 　 　 类型二　超几何分布求概率分布 引申探究 在本例条件下，若记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的概率分布．例2　一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1,2,3；黑球有2个，编号为1,2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球． (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率； (2)记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的概率分布． 　 　 　 　 　 　 　 　 反思与感悟　超几何分布的求解步骤 (1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”“优劣”等，或可转化为明显的两部分．具有该特征的概率模型为超几何分布模型． (2)算概率：可以直接借助公式P(X＝r)＝求解，也可以利用排列组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M，N，n，r的含义． (3)列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来． 跟踪训练2　从5名男生和3名女生中任选3人参加奥运会火炬接力活动．若随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的概率分布及P(X<2)． 　 　 　 类型三　超几何分布的综合应用 例3　在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件．求： (1)取出的3件产品中一等品件数X的概率分布； (2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率． 　 　 　 　 　 　 　 反思与感悟　识别超几何分布的三大标准 (1)总数为N件的物品只分为两类：M(M≤N)件甲类(或次品)，N－M件乙类(或正品)． (2)从N件物品中行取n(n≤N)件物品必须采用不放回抽样． (3)随机变量X表示从N件物品中任取n(n≤N)件物品，其中所含甲类物品(或次品)的件数． 跟踪训练3　袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求： (1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X的概率分布； (3)计算介于20分到40分之间的概率． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是________． 2．有10位同学，其中男生6位，女生4位，从中任选3人参加数学竞赛．用X表示女生人数，则概率P(X≤2)＝________. 3．从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为________． 4．从1,2,3,4,5中任取3个数，记最大的数为ξ，则P(ξ＝4)＝________. 5．一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字2,3,4,5；另一个盒子里也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字3,4,5,6.现从一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为x，再从另一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量η＝x＋y，求η的概率分布． 　 　 　 　 　 　 1．超几何分布的判断 判断随机变量是否服从超几何分布，可以从以下两个方面判断：一是超几何分布描述的是不放回抽样问题；二是随机变量为抽到的某类个体的个数． 2．超几何分布的分布列的求法 (1)在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式，求出X取不同r值时的概率P(X＝r)，从而列出X的概率分布． (2)一旦掌握了X的概率分布，就可以算出相应试验的很多事件的概率，从而就完全掌握了该试验． 答案精析 问题导学 知识点 思考　(1)0,1,2. (2)P(X＝0)＝＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝， ∴X的概率分布如下表： X 0 1 2 P 梳理　(2)X～H(n，M，N)　 题型探究 例1　解　设摸出的红球个数为X，则X服从超几何分布，其中N＝25，M＝10，n＝5.由于摸出5个球，得7分，仅有两个红球的可能，那么恰好得7分的概率为 P(X＝2)＝≈0.385， 即恰好得7分的概率约为0.385. 跟踪训练1　解　设摸出红球的个数为X，则X服从超几何分布，其中N＝30，M＝10，n＝5.于是中奖的概率为 P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5) ＝＋＋ ＝ ＝ ≈0.19. 例2　解　(1)从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数n＝C＝20，取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为CCC＝6，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率为P＝＝. (2)由题意知，X＝0,1,2,3. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝ ＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝ ＝. 所以X的概率分布为 X 0 1 2 3 P 引申探究 解　由题意可知η＝0,1，服从两点分布． 又P(η＝1)＝＝，所以η的概率分布如下表： η 0 1 P 跟踪训练2　解　由题意分析可知，随机变量X服从超几何分布，其中N＝8，M＝3，n＝3. 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 故随机变量X的概率分布如下表： X 0 1 2 3 P 所以P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1) ＝＋＝. 例3　解　(1)由于从10件产品中任取3件的基本事件总数为C，从10件产品中任取3件，其中恰有m(0≤m≤3且m∈N)件一等品的基本事件个数为CC，那么从10件产品中任取3件，其中恰有m件一等品的概率为P(X＝m)＝，m＝0,1,2,3. 所以随机变量X的概率分布如下表： X 0 1 2 3 P (2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3. 由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1＋A2＋A3， 又因为P(A1)＝＝， P(A2)＝P(X＝2)＝， P(A3)＝P(X＝3)＝， 所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3) ＝＋＋＝. 即取出的3件产品中一等品的件数多于二等品的件数的概率为. 跟踪训练3　解　(1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝＝. (2)由题意知，X所有可能的取值为2,3,4,5. P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝， 所以随机变量X的概率分布如下表： X 2 3 4 5 P (3)“一次取球得分介于20分到40分之间”记为事件C，则P(C)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝. 当堂训练 1.　2.　3.　4. 5．解　依题意，η的可能取值是5,6,7,8,9,10,11. 则有P(η＝5)＝＝， P(η＝6)＝＝，P(η＝7)＝， P(η＝8)＝＝，P(η＝9)＝， P(η＝10)＝＝，P(η＝11)＝. 所以η的概率分布为 η 5 6 7 8 9 10 11 P