2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数 7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的图像与性质学案 北师大版必修4.doc

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7．1　正切函数的定义 7．2　正切函数的图像与性质 内容要求　1.能借助单位圆中的正切线画出函数y＝tan x的图像.2.掌握正切函数的图像、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质(重点).3.注重数形结合思想的应用以及正切函数与正、余弦函数的综合应用(难点)． 知识点1　正切函数的定义 (1)任意角的正切函数： 如果角α满足α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一确定比值，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝tan α，其中α∈R，α≠＋kπ，k∈Z. (2)正切函数与正弦、余弦函数的关系： 根据定义知tan α＝(α∈R，α≠kπ＋，k∈Z)． (3)正切值在各象限的符号： 根据定义知，当角在第一和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和第四象限时，其正切函数值为负． (4)正切线： 在单位圆中令A(1,0)，过A作x轴的垂线，与角α的终边或终边的延长线相交于T，称线段AT为角α的正切线． 【预习评价】 1．若角α的终边上有一点P(2x－1,3)，且tan α＝，则x的值为(　　) A．7 B．8 C．15 D. 解析　由正切函数的定义tan α＝＝，解之得x＝8. 答案　B 2．函数y＝tan 2x的定义域为________． 解析　由正切函数的定义知，若使y＝tan 2x有意义，则2x≠kπ＋(k∈Z)． 解得x≠＋(k∈Z)． 答案　 知识点2　正切函数的图像及特征 (1)y＝tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z的图像(正切曲线)： (2)正切曲线的特征： 正切曲线是由被相互平行的直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的．这些直线叫作正切曲线各支的渐近线． 【预习评价】 正切函数是奇函数，图像关于原点对称，那么正切函数的对称中心只有一个吗？ 提示　正切函数的对称中心除了原点外，诸如(π，0)等都是对称中心，正切函数有无数个对称中心． 知识点3　正切函数的性质 函数 y＝tan x 定义域 值域 R 周期性 周期为kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为π 奇偶性 奇函数 单调性 在(k∈Z)上是增加的 【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“”) (1)正切函数为定义域上的增函数() (2)正切函数存在闭区间[a，b]，使y＝tan x是增加的．(√) (3)若x是第一象限的角，则y＝tan x是增函数() (4)正切函数y＝tan x的对称中心为(kπ，0)k∈Z.() 题型一　正切函数的定义 【例1】　已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sin α，cos α、tan α的值． 解　r＝＝5|a|， 若a＞0，则r＝5a，角α在第二象限，sin α＝＝＝， cos α＝＝＝－.tan α＝＝＝－； 若a＜0，则r＝－5a， 角α在第四象限，sin α＝－， cos α＝，tan α＝－. 规律方法　已知角α终边上任一点的坐标(m，n)利用定义求tan α时，其值与该点的位置无关且tan α＝.但要注意判断角α所在象限．利用定义可求下列特殊角的正切： α 0 tan α 0 1 － －1 － 【训练1】　若tan α＝，利用三角函数的定义，求sin α和cos α. 解　∵tan α＝＞0，∴角α是第一或第三象限角． ①若角α是第一象限角，则由tan α＝，角α的终边上必有一点P(2,1)， ∴r＝|OP|＝＝. ∴sin α＝＝＝，cos α＝＝＝. ②若角α是第三象限角，则由tan α＝知，角α的终边上必有一点P(－2，－1)， ∴r＝|OP|＝＝. ∴sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝－. 题型二　正切函数的图像及应用 【例2】　利用正切函数的图像作出y＝|tan x|的图像并写出使y＝的x的集合． 解　∵当x∈时，y＝tan x≤0， 当x∈时，y＝tan x＞0， ∴y＝|tan x|＝ 如图所示． 使y＝的x的集合为. 规律方法　1.作正切函数的图像时，先画一个周期的图像，再把这一图像向左、右平移．从而得到正切函数的图像，通过图像的特点，可用“三点两线法”，这三点是，(0,0)，，两线是直线x＝为渐近线． 2．如果由y＝f(x)的图像得到y＝f(|x|)及y＝|f(x)|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y＝f(x)(x≥0)的图像，令其关于y轴对称便可以得到y＝f(|x|)(x≤0)的图像；同理只要作出y＝f(x)的图像，令图像“上不动，下翻上”便可得到y＝|f(x)|的图像． 【训练2】　(1)函数y＝的定义域为________． 解析　要使该函数有意义，则有 即x≠kπ－且x≠kπ＋. 答案　 (2)根据正切函数的图像，写出tan x≥－1的解集． 解　作出y＝tan x及y＝－1的图像，如下图． ∴满足此不等式的x的集合为 . 方向1　比较大小 【例3－1】　比较tan 1、tan 2、tan 3的大小． 解　∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)， 又∵<2<π，∴－<2－π<0. ∵<3<π，∴－<3－π<0， 显然－<2－π<3－π<1<， 且y＝tan x在内是增函数， ∴tan (2－π)0)的图像的相邻两支曲线截直线y＝所得线段长为，则f的值是(　　) A．0 B．1 C．－1 D. 解析　由题意，得T＝＝，∴ω＝4. ∴f(x)＝tan 4x，f＝tan π＝0. 答案　A 10．已知函数y＝tan ωx在(－，)是减函数，则ω的取值范围是____________． 解析　∵y＝tan ωx在(－，)内是减函数， ∴ω<0且T＝≥π. ∴|ω|≤1，即－1≤ω＜0. 答案　[－1,0) 11．求函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域为____________． 解析　∵－≤x≤， ∴－1≤tan x≤1. 令tan x＝t，则t∈[－1,1]． ∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5. ∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4， 当t＝1，即x＝时，ymax＝4. 故所求函数的值域为[－4,4]． 答案　[－4,4] 12．若函数f(x)＝tan2x－atan x的最小值为－6.求实数a的值． 解　设t＝tan x，因为|x|≤， 所以t∈[－1,1]． 则原函数化为：y＝t2－at＝2－， 对称轴t＝. ①若－1≤≤1，则当t＝时， ymin＝－＝－6，所以a2＝24(舍去)； ②若＜－1，即a＜－2时， 二次函数在[－1,1]上递增， ymin＝2－＝1＋a＝－6， 所以a＝－7； ③若＞1，即a＞2时，二次函数在[－1,1]上递减． ymin＝2－＝1－a＝－6，所以a＝7. 综上所述，a＝－7或a＝7. 13．(选做题)已知函数f(x)＝. (1)求函数定义域； (2)用定义判断f(x)的奇偶性； (3)在[－π，π]上作出f(x)的图像； (4)写出f(x)的最小正周期及单调性． 解　(1)∵由cos x≠0得x≠kπ＋(k∈Z)， ∴函数的定义域是. (2)由(1)知函数的定义域关于原点对称． 又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数． (3)f(x)＝ f(x)(x∈[－π，π])的图像如图所示． (4)f(x)的最小正周期为2π，递增区间是(k∈Z)，递减区间是(k∈Z)．