（通用版）2019版高考数学二轮复习 第一部分 第三层级 难点自选 专题三“圆锥曲线”压轴大题的抢分策略讲义 理（普通生含解析）.doc
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难点自选专题三 “圆锥曲线”压轴大题的抢分策略 [全国卷3年考情分析] 年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ 2018 直线的方程、直线与椭圆的位置关系、证明问题T19 直线的方程、直线与抛物线的位置关系、圆的方程T19 直线与椭圆的位置关系、等差数列的证明T20 2017 椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、定点问题T20 点的轨迹方程、椭圆方程、向量的数量积等T20 直线与抛物线的位置关系、直线的方程、圆的方程T20 2016 轨迹方程求法、直线与椭圆位置关系及范围问题T20 直线与椭圆的位置关系、面积问题、范围问题T20 证明问题、轨迹问题、直线与抛物线的位置关系T20 解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等．试题难度较大，多以压轴题出现． 解答题的热点题型有： (1)直线与圆锥曲线位置关系；(2)圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解；(3)圆锥曲线中的判断与证明． 考法策略(一) 依据关系来证明 [典例] (2018全国卷Ⅰ)设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)． (1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； (2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB. [解] (1)由已知得F(1,0)，l的方程为x＝1. 则点A的坐标为或. 又M(2,0)， 所以直线AM的方程为y＝－x＋或y＝x－， 即x＋y－2＝0或x－y－2＝0. (2)证明：当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0. 当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线， 所以∠OMA＝∠OMB. 当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为 y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1<，x2<，直线MA，MB的斜率之和为 kMA＋kMB＝＋. 由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k， 得kMA＋kMB＝. 将y＝k(x－1)代入＋y2＝1， 得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝. 则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k ＝＝0. 从而kMA＋kMB＝0， 故MA，MB的倾斜角互补． 所以∠OMA＝∠OMB. 综上，∠OMA＝∠OMB成立． [题后悟通] 几何证明问题的解题策略 (1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)． (2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明． [应用体验] 1．设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为. (1)求E的离心率e； (2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB. 解：(1)由题设条件知，点M的坐标为， 又kOM＝，从而＝. 进而得a＝b，c＝＝2b，故e＝＝. (2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得＝.又＝(－a，b)， 从而有＝－a2＋b2＝(5b2－a2)． 由(1)可知a2＝5b2， 所以＝0，故MN⊥AB. 考法策略(二) 巧妙消元证定值 [典例] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，过A(2,0)，B(0,1)两点． (1)求椭圆C的方程及离心率； (2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值． [解] (1)由题意得，a＝2，b＝1， 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. 又c＝＝，所以离心率e＝＝. (2)证明：设P(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x＋4y＝4. 又A(2,0)，B(0,1)， 所以直线PA的方程为y＝(x－2)． 令x＝0，得yM＝－， 从而|BM|＝1－yM＝1＋. 直线PB的方程为y＝x＋1. 令y＝0，得xN＝－， 从而|AN|＝2－xN＝2＋. 所以四边形ABNM的面积S＝|AN||BM| ＝ ＝ ＝＝2. 从而四边形ABNM的面积为定值． [题后悟通] 解答圆锥曲线的定值问题的策略 (1)从特殊情形开始，求出定值，再证明该值与变量无关； (2)采用推理、计算、消元得定值．消元的常用方法为整体消元(如本例)、选择消元、对称消元等． [应用体验] 2．(2019届高三湘东五校联考)已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2＝8y的焦点． (1)求椭圆C的方程； (2)如图，已知P(2,3)，Q(2，－3)是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由． 解：(1)由题意知椭圆的焦点在x轴上， 设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)， 则b＝2. 由＝，a2＝c2＋b2，得a＝4， ∴椭圆C的方程为＋＝1. (2)直线AB的斜率是定值，理由如下： 设A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∵∠APQ＝∠BPQ，∴直线PA，PB的斜率之和为0， 设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为－k，直线PA的方程为y－3＝k(x－2)， 由 得(3＋4k2)x2＋8k(3－2k)x＋4(3－2k)2－48＝0， ∴x1＋2＝， 将k换成－k可得x2＋2＝＝， ∴x1＋x2＝，x1－x2＝， ∴kAB＝＝ ＝＝， ∴直线AB的斜率为定值. 考法策略(三) 构造函数求最值 [典例] 在Rt△ABC中，∠BAC＝90，A(0,2)，B(0，－2)，S△ABC＝.动点P的轨迹为曲线E，曲线E过点C且满足|PA|＋|PB|的值为常数． (1)求曲线E的方程． (2)过点Q(－2,0)的直线与曲线E总有公共点，以点M(0，－3)为圆心的圆M与该直线总相切，求圆M的最大面积． [解] (1)由已知|AB|＝4， S△ABC＝|AB||AC|＝， 所以|AC|＝. 因为|PA|＋|PB|＝|CA|＋|CB|＝6＞|AB|＝4， 所以曲线E是以点A，B为焦点的椭圆且2a＝6,2c＝4. 所以a＝3，c＝2⇒b＝1， 所以曲线E的方程为x2＋＝1. (2)由题意可设直线方程为y＝k(x＋2)， 联立消去y，得(9＋k2)x2＋4k2x＋4k2－9＝0， 则Δ＝(4k2)2－4(9＋k2)(4k2－9)≥0，解得k2≤3. 因为以点M(0，－3)为圆心的圆M与该直线总相切， 所以半径r＝. 令r2＝f(k)＝， 则f′(k)＝ ＝. 由f′(k)＝0，得k＝或k＝－， 当k＝时符合题意，此时可得r＝＝. 即所求圆的面积的最大值是13π. [题后悟通] 最值问题的2种基本解法 几何法 根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决的(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等在选择题、填空题中经常考查) 代数法 建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值解决的(普通方法、基本不等式方法、导数方法(如本例)等) [应用体验] 3．(2018合肥一检)在平面直角坐标系中，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2.以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左、右焦点的椭圆E恰好经过点. (1)求椭圆E的方程； (2)设经过点(－2,0)的直线l与椭圆E交于M，N两点，求△F2MN面积的最大值． 解：(1)由已知可得，椭圆E的焦点在x轴上． 设椭圆E的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)， 焦距为2c，则b＝c， ∴a2＝b2＋c2＝2b2， ∴椭圆E的方程为＋＝1. 又椭圆E过点，∴＋＝1，解得b2＝1. ∴椭圆E的方程为＋y2＝1. (2)∵点(－2,0)在椭圆E外，∴直线l的斜率存在． 设直线l的方程为y＝k(x＋2)，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由消去y得， (1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－2＝0. 由Δ＞0，得0
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