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课堂达标(三十一) 一元二次不等式及其解法
[A基础巩固练]
1．(2018潍坊模拟)函数f(x)＝的定义域是( )
A．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3)
[解析] 由题意得－x2＋4x－3>0，即x2－4x＋3<0，
∴1
0的解集为{x|－2320，
即x2－28x＋192<0，解得120在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是( )
A. B.
C．(1，＋∞) D.
[解析] 设f(x)＝x2＋ax－2，由Δ＝a2＋8>0，知方程f(x)＝0恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)≥0，f(1)≤0，解得a≥－，且a≤1，故a的取值范围为
[答案] B
7．已知f(x)＝则不等式x＋(x＋1)f(x－1)≤3的解集是______．
[解析] ∵f(x－1)＝，
∴x＋(x＋1)f(x－1)≤3等价于
，或，
解得－3≤x<1，或x≥1，即x≥－3.
[答案] {x|x≥－3}
8．(2018西安检测)已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，则m的取值范围为______．
[解析] 函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，即为|x－2|>－|x＋3|＋m对任意实数x恒成立，即|x－2|＋|x＋3|>m恒成立．因为对任意实数x恒有|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，所以m<5，即m的取值范围是(－∞，5)．
[答案] (－∞，5)
9．若关于x的不等式ax>b的解集为，则关于x的不等式ax2＋bx－a>0的解集为______．
[解析] 由已知ax>b的解集为，
可知a<0，且＝，将不等式ax2＋bx－a>0两边同除以a，得x2＋x－<0，
即x2＋x－<0，即5x2＋x－4<0，
解得－10的解集是(－1,3)，则不等式f(－2x)<0的解集是( )
A.∪
B.
C.∪
D.
[解析] f(x)＝0的两个解是x1＝－1，x2＝3且a<0，由f(－2x)<0得－2x>3或－2x<－1，∴x<－或x>.
[答案] A
2．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，当x∈[－1,1]时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是( )
A．－12
C．b<－1或b>2 D．不能确定
[解析] 由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)图象的对称轴为直线x＝1，则有＝1，故a＝2.
由f(x)的图象可知f(x)在[－1,1]上为增函数．
∴x∈[－1,1]时，f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，令b2－b－2>0，解得b<－1或b>2.
[答案] C
3．(2018温州模拟)若关于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为______．
[解析] ∵4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，
∴4x－2x＋1≥a在[1,2]上恒成立，
令y＝4x－2x＋1＝(2x)2－22x＋1－1＝(2x－1)2－1.
∵1≤x≤2，∴2≤2x≤4，由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x＝1时，y有最小值0.∴a的取值范围为(－∞，0]．
[答案] (－∞，0]
4．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是______．
[解析] 令x<0，则－x>0，∵x≥0时，f(x)＝x2－4x，∴f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x，又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴x<0时，f(x)＝x2＋4x，
故有f(x)＝再求f(x)<5的解，
由得0≤x<5；由
得－50)的最小值；
(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．
[解] (1)依题意得y＝＝＝x＋－4.
因为x>0，所以x＋≥2.
当且仅当x＝时，即x＝1时，等号成立．
所以y≥－2.
所以当x＝1时，y＝的最小值为－2.
(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，所以要使得“∀x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]恒成立”．
不妨设g(x)＝x2－2ax－1，则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可．
所以即解得a＞.
则a的取值范围为.
[C尖子生专练]
某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，销售收入R(x)满足R(x)＝
假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律：
(1)要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？
(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？求此时每台产品的售价为多少？
[解] 依题意得G(x)＝x＋2，设利润函数为f(x)，则f(x)＝R(x)－G(x)，
所以f(x)＝
(1)要使工厂有盈利，则有f(x)>0，因为
f(x)>0⇔
或⇔
或55时，f(x)<8.2－5＝3.2，所以当工厂生产400台产品时，盈利最大，又x＝4时，＝2.4(万元/百台)＝240(元/台)．故此时每台产品的售价为240元．
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