2017-2018学年高中数学 第六章 推理与证明 6.1 合情推理和演绎推理 6.1.1 归纳分层训练 湘教版选修2-2.doc

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6．1.1 归　纳 一、基础达标 1．某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●● ○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是 (　　) A．白色 B．黑色 C．白色可能性大 D．黑色可能性大 答案　A 2．由集合{a1}，{a1，a2}，{a1，a2，a3}，…的子集个数归纳出集合{a1，a2，a3，…，an}的子集个数为 (　　) A．n B．n＋1 C．2n D．2n－1 答案　C 解析　集合{a1}的子集有∅，{a1}共2个；{a1，a2}的子集有∅，{a1}，{a2}，{a1，a2}共4个；集合{a1，a2，a3}的子集共8个，猜测含n个元素的集合的子集有2n个，故选C. 3．根据给出的数塔猜测123 4569＋7等于 (　　) 19＋2＝11 129＋3＝111 1239＋4＝1111 1 2349＋5＝11111 12 3459＋6＝111111 A．1111110 B．1111111 C．1111112 D．1111113 答案　B 解析　由数塔运算积的知识易得B. 4．设n是自然数，则(n2－1)[1－(－1)n]的值 (　　) A．一定是零 B．不一定是整数 C．一定是偶数 D．是整数但不一定是偶数 答案　C 解析　当n＝1时，值为0， 当n＝2时，值为0， 当n＝3时，值为2， 当n＝4时，值为0， 当n＝5时，值为6. 5．已知＝2，＝3，＝4，…，若＝6(a，b均为实数)，推测a＝________，b＝________. 答案　6　35 6．设函数f(x)＝(x>0)，观察f1(x)＝f(x)＝， f2(x)＝f[f1(x)]＝， f3(x)＝f[f2(x)]＝， f4(x)＝f[f3(x)]＝，… 根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f[fn－1(x)]＝________. 答案　 解析　先求分母中x项系数组成数列的通项公式，由1,3,7,15…，可推知该数列的通项公式为an＝2n－1，又函数结果分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为bn＝2n. ∴fn(x)＝. 7．设Sn＝＋＋＋…＋，写出S1，S2，S3，S4的值，归纳并猜想出结果，并给出证明． 解　n＝1,2,3,4时，S1＝，S2＝，S3＝，S4＝. 猜想：Sn＝. 证明如下：＝－， ∴Sn＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－) ＝1－＝. 二、能力提升 8．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为 (　　) A．3 125 B．5 625 C．0 625 D．8 125 答案　D 解析　55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58的末四位数字为0 625,59的末四位数字为3 125,510的末四位数字为5 625,511的末四位数字为8 125,512的末四位数字为0 625，…， 由上可得末四位数字周期为4，呈现规律性交替出现，所以52 011＝54501＋7末四位数字为8 125. 9．(2013湖北(理))古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式： 三角形数　N(n,3)＝n2＋n 正方形数　N(n,4)＝n2 五边形数　N(n,5)＝n2－n 六边形数　N(n,6)＝2n2－n ...... 可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝________. 答案　1 000 解析　由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，…， 可以推测：当k为偶数时，N(n，k)＝(－1)n2－(－2)n，于是N(n,24)＝11n2－10n，故N(10,24)＝11102－1010＝1 000. 10．(2013陕西(理))观察下列等式： 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 … 照此规律，第n个等式可为________． 答案　12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝n(n＋1) 解析　分n为奇数、偶数两种情况． 当n为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－1)2－n2]＝－. 当n为奇数时，第n个等式＝－＋n2＝. 综上，第n个等式：12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝n(n＋1)． 11．根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式． (1)a1＝a，an＋1＝； (2)对一切的n∈N*，an>0，且2＝an＋1. 解　(1)由已知可得a1＝a， a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝. 猜想an＝(n∈N*)． (2)∵2＝an＋1， ∴2＝a1＋1，即2＝a1＋1， ∴a1＝1.又2＝a2＋1， ∴2＝a2＋1，∴a－2a2－3＝0. ∵对一切的n∈N*，an>0，∴a2＝3. 同理可求得a3＝5，a4＝7， 猜想出an＝2n－1(n∈N*)． 12．观察以下等式： sin230＋cos260＋sin 30cos 60＝， sin240＋cos270＋sin 40cos 70＝， sin215＋cos245＋sin 15cos 45＝. … 写出反映一般规律的等式，并给予证明． 解　反映一般规律的等式是(表述形式不唯一)： sin2α＋cos2(α＋30)＋sin αcos(α＋30)＝. 证明如下： sin2α＋cos2(α＋30)＋sin αcos(α＋30) ＝sin2α＋(cos αcos 30－sin αsin 30)2 ＋sin α(cos αcos 30－sin αsin 30) ＝sin2α＋(cos α－sin α)2＋sin αcos α－sin2α ＝sin2α＋cos2α＋sin2α－sin αcos α＋sin αcos α－sin2α ＝(sin2α＋cos2α)＝. 三、探究与创新 13．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，n∈N＋，求a2，a3，a4，并猜想数列的通项公式，并给出证明． 解　{an}中a1＝1，a2＝＝， a3＝＝＝， a4＝＝，…， 所以猜想{an}的通项公式an＝(n∈N＋)． 证明如下：因为a1＝1，an＋1＝， 所以＝＝＋， 即－＝，所以数列{}是以＝1为首项， 公差为的等差数列， 所以＝1＋(n－1)＝＋， 即通项公式an＝(n∈N＋)．