2019届高考数学一轮复习 第五章 数列 课堂达标27 等差数列及其前n项和 文 新人教版.doc

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课堂达标(二十七) 等差数列及其前n项和 [A基础巩固练] 1．等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 [解析]　法一：设等差数列{an}的公差为d， 由题意得解得∴d＝2. 法二：∵在等差数列{an}中，a1＋a5＝2a3＝10， ∴a3＝5.又a4＝7，∴公差d＝7－5＝2. [答案]　B 2．(2018宁夏银川市二模试卷)在等差数列{an}中，已知a4＝5，a3是a2和a6的等比中项，则数列{an}的前5项的和为(　　) A．15 B．20 C．25 D．15或25 [解析]　∵在等差数列{an}中，a4＝5，a3是a2和a6的等比中项，∴， 解得a1＝－1，d＝2， ∴数列{an}的前5项的和为： S5＝5a1＋d＝5(－1)＋54＝15.故选：A. [答案]　A 3．(2018山师大附中高三三模)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a5＝2a3，且a4与2a7的等差中项为，则S5等于(　　) A．29 B．31 C．33 D．36 [解析]　法一：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q， 由题意知，解得， 所以S5＝＝31，故选B. 法二：由a2a5＝2a3，得a4＝2. 又a4＋2a7＝，所以a7＝， 所以q＝，所以a1＝16， 所以S5＝＝31，故选B. [答案]　B 4．(2016浙江卷)已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则(　　) A．a1d>0，dS4>0 B．a1d<0，dS4<0 C．a1d>0，dS4<0 D．a1d<0，dS4>0 [解析]　∵a3，a4，a8成等比数列，∴a＝a3a8，∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，展开整理，得－3a1d＝5d2，即a1d＝－d2.∵d≠0，∴a1d<0.∵Sn＝na1＋d，∴S4＝4a1＋6d，dS4＝4a1d＋6d2＝－d2<0. [答案]　B 5．(2018山东省枣庄十六中4月模拟试卷)等差数列{an}的前n项和为Sn，若公差d＞0，(S8－S5)(S9－S5)＜0，则(　　) A．|a7|＞|a8| B．|a7|＜|a8| C．|a7|＝|a8| D．|a7|＝0 [解析]　根据题意，等差数列{an}中， 有(S8－S5)(S9－S5)＜0， 即(a6＋a7＋a8)(a6＋a7＋a8＋a9)＜0， 又由{an}为等差数列， 则有(a6＋a7＋a8)＝3a7，(a6＋a7＋a8＋a9)＝2(a7＋a8)，(a6＋a7＋a8)(a6＋a7＋a8＋a9)＜0⇔a7(a7＋a8)＜0，a7与(a7＋a8)异号， 又由公差d＞0，必有a7＜0，a8＞0，且|a7|＜|a8|； 故选：B. [答案]　B 6．(2018湖南省常德市一模)《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺) 问：此民谣提出的问题的答案是(　　) A．72.705尺 B．61.395尺 C．61.905尺 D．73.995尺 [解析]　∵每竹节间的长相差0.03尺， 设从地面往上，每节竹长为a1，a2，a3，…，a30， ∴{an}是以a1＝0.5为首项，以d′＝0.03为公差的等差数列，由题意知竹节圈长，后一圏比前一圏细1分3厘，即0.013尺，设从地面往上，每节节圈长为b1，b2，b3，…，b30， 由{bn}是以b1＝1.3为首项，d＝－0.013为公差的等差数列，∴一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是： S30＝＋[301.3＋(－0.013)]＝61.395.故选：B. [答案]　B 7．(2018湖南省永州市三模)数列{an}的通项公式为an＝nsin＋(－1)n，其前n项和为Sn，则S2 017＝______. [解析]　∵n＝2k(k∈N*)时， an＝a2k＝2ksin kπ＋1＝1. n＝2k－1(k∈N*)时， an＝a2k－1＝(2k－1)sinπ－1 ＝(－1)k－1(2k－1)－1. ∴S2 017＝(a2＋a4＋…＋a2 016)＋(a1＋a3＋…＋a2 017) ＝1 008＋(1－3＋5－7＋…－2 017－1 009) ＝1 008＋(－1 008－2 017－1 009)＝－3 026. [答案]　－3 026 8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则正整数m的值为______． [解析]　因为等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，所以am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，数列的公差d＝1，am＋am＋1＝Sm＋1－Sm－1＝5，即2a1＋2m－1＝5，所以a1＝3－m. 由Sm＝(3－m)m＋1＝0，解得正整数m的值为5. [答案]　5 9．在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，则S110＝__________. [解析]　法一：设数列{an}的首项为a1，公差为d， 则解得 所以S110＝110a1＋d＝－110. 法二：因为S100－S10＝＝－90， 所以a11＋a100＝－2， 所以S110＝ ＝＝－110. [答案]　－110 10．若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． [解]　(1)证明：当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0， 得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1， 所以－＝2， 又＝＝2， 故是首项为2，公差为2的等差数列． (2)由(1)可得＝2n，∴Sn＝. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝－＝＝－. 当n＝1时，a1＝不适合卡式． 故an＝ [B能力提升练] 1．(2018南昌一模)在等差数列{an}中，a1>0，a10a11<0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是(　　) A．24　　　 B．48　　　 C．60　　　 D．84 [解析]　由题意a1>0，a10a11<0，得d<0，a10>0，a11<0，所以a1>a2>…>a10>0>a11>a12>…>a18>…， 所以T18＝|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＋|a11|＋|a12|＋…＋|a18|＝a1＋a2＋…＋a10－(a11＋a12＋…＋a18)＝2S10－S18＝236－12＝60. [答案]　C 2．(2016浙江卷)如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*，(P≠Q表示点P与Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则(　　) A．{Sn}是等差数列 B．{S}是等差数列 C．{dn}是等差数列 D．{d}是等差数列 [解析]　Sn表示点An到对面直线的距离(设为hn)乘以|BnBn＋1|长度一半，即Sn＝ hn|BnBn＋1|， 由题目中条件可知|BnBn＋1|的长度为定值，那么我们需要知道hn的关系式，过A1作垂直得到初始距离h1，那么A1，An和两个垂足构成了直角梯形， 那么hn＝h1＋|A1An|sin θ，其中θ为两条线的夹角， 即为定值， 那么Sn＝(h1＋|A1An|sin θ)|BnBn＋1|，Sn＋1 ＝(|h1＋A1An＋1|sin θ)|BnBn＋1|， 作差后：Sn＋1－Sn＝ (|AnAn＋1|sinθ)|BnBn＋1|， 都为定值，所以Sn＋1－Sn为定值．故选A. [答案]　A 3．设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为__________． [解析]　∵{an}，{bn}为等差数列， ∴＋＝＋＝＝. ∵＝＝＝＝，∴＝. [答案]　 4．(2018湖南省常德市一模)已知数列{an}中，a1＜0，an＋1＝(n∈N*)，数列{bn}满足：bn＝nan(n∈N*)，设Sn为数列{bn}的前n项和，当n＝7时Sn有最小值，则a1的取值范围是______． [解析]　数列{an}中，a1＜0，an＋1＝(n∈N*)， ∴－＝3，∴数列是等差数列，公差为3. ∴＝＋3(n－1)．解得an＝. ∴bn＝nan＝， 设Sn为数列{bn}的前n项和， 当n＝7时Sn有最小值， ∴b7＞0，b8＜0.∴＞0，＜0， 解得－k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列”． (1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”； (2)若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列． [证明]　(1)因为{an}是等差数列，设其公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，从而，当n≥4时，an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d ＝2a1＋2(n－1)d＝2an，k＝1,2,3， 所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an， 因此等差数列{an}是“P(3)数列”． (2)数列{an}即是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此， 当n≥3时，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an，　① 当n≥4时，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an.② 由①知，an－3＋an－2＝4an－1－(an＋an＋1)，　③ an＋2＋an＋3＝4an＋1－(an－1＋an)，　④ 将③④代入②，得an－1＋an＋1＝2an，其中n≥4， 所以a3，a4，a5，…是等差数列，设其公差为d′. 在①中，取n＝4，则a2＋a3＋a5＋a6＝4a4，所以a2＝a3－d′，在①中，取n＝3，则a1＋a2＋a4＋a5＝4a3，所以a1＝a2－2d′，所以数列{an}是等差数列． [C尖子生专练] (2017北京)设{an}和{bn}是两个等差数列，记cn＝max{b1－a1n，b2－a2n，…，bn－ann}(n＝1,2,3，…)，其中max{x1，x2，…，xS}表示x1，x2，…，xS这S个数中最大的数． (1)若an＝n，bn＝2n－1，求c1，c2，c3的值，并证明{cn}是等差数列； (2)证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，>M；或者存在正整数m，使得cm，cm＋1，cm＋2，…是等差数列． [解析]　(1)c1＝b1－a1＝1－1＝0. c2＝max{b1－2a1，b2－2a2}＝max{1－21,3－22}＝－1，c3＝max{b1－3a1，b2－3a2，b3－3a3}＝max{1－31,3－32,5－33}＝－2. 当n≥3时，(bk＋1－nak＋1)－(bk－nak)＝(bk＋1－bk)－n(ak＋1－ak)＝2－n<0，所以bk－nak关于k∈N*单调递减． 所以cn＝max{b1－a1n，b2－a2n，…，bn－ann}＝b1－a1n＝1－n. 所以对任意n≥1，cn＝1－n，于是cn＋1－cn＝－1， 所以{cn}是等差数列． (2)设数列{an}和{bn}的公差分别为d1，d2，则 bk－nak＝b1＋(k－1)d2－[a1＋(k－1)d1]n＝b1－a1n＋(d2－nd1)(k－1)． 所以cn＝ ①当d1>0时，取正整数m>，则当n≥m时，nd1>d2，因此cn＝b1－a1n. 此时，cm，cm＋1，cm＋2，…是等差数列． ②当a1＝0时，对任意n≥1， cn＝b1－a1n＋(n－1)max{d2,0}＝b1－a1＋(n－1)(max{d2,0}－a1)． 此时，c1，c2，c3，…，cn，…是等差数列． ③当d1<0时，当n>时，有nd1max， 故当时，>M.