2019-2020年人教A版高中数学必修五第三章3-1《不等关系与不等式》（第2课时）《教案》.doc

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2019-2020年人教A版高中数学必修五第三章3-1《不等关系与不等式》（第2课时）《教案》 一、教学目标： 1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式． 2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法． 3．情感、态度与价值观：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯． 二、重难点： 重点：掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式． 难点：利用不等式的性质证明简单的不等式 三、教学模式与教法、学法 教学模式 ：本课采用“探究——发现”教学模式． 教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导． “抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线. “抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点. 学法：突出探究、发现与交流． 四、教学过程 教学环节 教学内容 师生活动 设计意图 复习旧知识，引入新知 归纳抽象形成概念 比较分析，深化认识 一、温故知新， 1．同向不等式、异向不等式的概念： 同向不等式：如：与；与． 异向不等式：如：与． 2．数运算性质与大小顺序之间的关系： ； ； ． 问题1.我们已学习过等式、不等式，同学们还记得等式的性质吗？ 回顾知识，提出问题，激发学生学习的兴趣。 学生；等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式. 由复习引入，通过数学知识的内部发现问题。 二、知识探究： 性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向_________. 性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向________.（ 性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向________. 师 不等式的这三条基本性质，都可以用数学的符号语言表达出来.（让三位同学板演） 性质1：a＜ba+c＜b+c（或a-c＜b-c）；a＞ba+c＞b+c（或a-c＞b-c）. 性质2：a＜b且c＞0ac＜bc(或)；a＞b且c＞0ac＞bc(或). 性质3：a＜b且c＜0ac＞bc(或)；a＞b且c＜0ac＜bc(或). （用数学符号表达不等式的性质，目的是为下面用符号进行不等式性质与证明打基础，给学生也有一适应过程.老师对学生的板演作点评） 师 性质2、性质3两条性质中，对a、b、c有什么要求？ 教师精讲；师 若点Ａ对应的实数为a，点Ｂ对应的实数为b，因为点Ａ在点Ｂ的左边，所以可得a＞b.a＞b表示a减去b所得的差是一个大于０的数即正数，即a＞ba-b＞0.它的逆命题是否正确？ 师 类似地，如果a＜b，则a减去b是负数，如果a=b，则a减去b等于０，它们的逆命题也正确.一般地, a＞ba-b＞0;a=ba-b=0;a＜ba-b＜0. 师 这就是实数的基本性质的一部分，还有任意两个正数的和与积都是正数等.等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是证明不等式以及解不等式的主要依据. 让学生主动观察、思考、讨论的氛围.在教师的指导下，一方面让学生经历从特殊到一般，从已知到未知，步步深入的过程，让学生自己感受生活中的不等关系，体会数学化的过程。 生 对a、b没什么要求，特别要注意c是正数还是负数. 培养学生分析，抽象能力、感受等比数列发现和推导过程。 培养学生善于联想，体会知识间的内在联系，从而加深对等差数列及其性质的理解。 三、典例分析： 【例1】 比较下列各组数的大小（a≠b）. (1)与 (a＞0,b＞0); （2）a4－b4与4a3（a－b）. 师 比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定. 师 同学们完成得很好，证明不等式时，应注意有理有据、严谨细致，还应条理清晰.比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用. 【问题2】 求证：（1）a＞b且c＞0ac＞bc； （2）a＞ba+c＞b+c. 师 请同学们思考第一小问该如何证明？ 师 这位同学证明的思路很好，很严密.同学们还有其他的证明思路吗？ （按照教材对不等式的证明要求，此处对不等式证明的分析法与综合法没有点明，只是让学生通过具体的问题了解不等式证明的分析法与综合法的证题思路） 【问题3】已知a＞b＞0,c＜0，求证：. 师 前面我们已经利用不等式及实数的基本性质证明了一些简单的不等式.请同学思考此该如何证明？ 引导学生共同分析解决问题，熟悉并强化理解。 解：（1）， ∵a＞0,b＞0且a≠b,∴a+b＞0,(a-b)2＞0. ∴.（2）a4-b4-4a3(a-b) =(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b) =(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3) =(a-b)［(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)］ =-(a-b)2(3a2+2ab+b2) =-(a-b)2［2a2+(a+b)2］, ∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号), 又a≠b,∴(a-b)2＞0,2a2+(a+b)2＞0. ∴-(a-b)2［2a2+(a+b)2］＜0. ∴a4-b4＜4a3(a-b). 例题2. 生 可用实数的基本性质，∵a＞b,∴a-b＞0.又∵c＞0，由任意两个正数的积都是正数可得(a-b)c＞0，即ac＞bc. 例题3.生 可由条件到结论.∵a＞b＞0，两边同乘以正数，得＞，即＜b.又∵c＜0，∴. 课堂练习 1.已知x＞y＞z＞0，求证：. 分析：证明简单不等式常依据实数的基本性质及直接运用不等式的基本性质及推论，也可作差比较. 证明：∵x＞y,∴x-y＞0.∴. 又y＞z,∴.① ∵y＞z,∴-y＜-z.∴x-y＜x-z. ∴0＜x-y＜x-z.∴. 又z＞0,∴.② 由①②得. 2.试判断下列各对整式的大小：(1)m2-2m+5和－2m+5；(2)a2-4a+3和－4a+1. 点拨：根据不等式的性质1，我们可以得到另一种比较两个数(或代数式)的大小的方法： 若A－B＞0，则A＞B；若A－B=0，则A=B；若A－B＜0，则A＜B. 这种比较大小的方法，称为“作差比较法”，简称“比差法”.本例就可以用这种方法. 学生分组讨论自主探究，教师巡视指导，作出评价。 1.小结：运用性质证明不等式时，应注意有理有据，严谨细致，还应条理清晰.上述的证明方法采用的证明思路是由条件到结论，也可采用由结论到条件的证明思路去证明，请同学们不妨尝试一下. 2.解：(1)∵（m2-2m+5）-(-2m+5)=m2-2m+5+2m-5 =m2，∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0. ∴m2-2m+5≥-2m+5. (2)∵(a2-4a+3)-(-4a+1) =a2-4a+3+4a-1=a2+2, ∵a2≥0，∴a2+2≥2＞0. ∴a2-4a+3＞-4a+1. 引导学生通过自主分析思考、合作交流解决问题，培养良好的学习习惯和能力。 五、课堂小结： 常用的不等式的基本性质及证明： （1）a＞b,b＞c a＞c; a＞b,b＞c a-b＞0,b-c＞0 (a-b)+(b-c)＞0a-c＞0a＞c. （2）a＞ba+c＞b+c; a＞ba-b＞0 (a-b)+(c-c)＞0 (a+c)-(b+c)＞0a+c＞b+c. （3）a＞b,c＞0ac＞bc; a＞b,c＞0a-b＞0,c＞0 (a-b)c＞0ac-bc＞0ac＞bc. （4）a＞b,c＜0ac＜bc. a＞b,c＜0a-b＞0,c＜0 (a-b)c＜0ac-bc＜0ac＜bc. 引导学生学会自己总结，让学生进一步体会知识的形成、发展、完善的过程. 课后作业 1.课本P75 习题3.1 B组 第1\、2、3、4题 2. 配套练习 学生课后完成. 进一步对所学知识巩固深化。 .