2019-2020年高一数学人教b版必修3学案：1.3　中国古代数学中的.doc

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2019-2020年高一数学人教b版必修3学案：1.3　中国古代数学中的 自主学习 学习目标 通过三种算法案例：更相减损术、秦九韶算法、割圆术，进一步体会算法的思想，提高逻辑思维能力和算法设计水平． 自学导引 1．求两个正整数最大公约数的算法 (1)更相减损之术(等值算法) 用两个数中较大的数减去较小的数，再用____和____________构成新的一对数，再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生____________，这个数就是最大公约数． (2)用“等值算法”求最大公约数的程序 2．割圆术 割圆术就是用________________________________的算法来计算圆周率π的一种方法． 3．秦九韶算法 把n次多项式P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写为 P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0 ＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0 ＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0 ＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0 令vk＝________________________________，则递推公式为 其中k＝1,2，…，n. 对点讲练 知识点一　更相减损术 例1　用更相减损术求下列两数的最大公约数． (1)261,319；　(2)1 734,816. 点评　通过上例可以发现用更相减损术求最大公约数，运算简单，程序易编． 变式迁移1　用更相减损术求63和98的最大公约数． 知识点二　秦九韶算法 例2　已知多项式f(x)＝2x5－5x4－4x3＋3x2－6x－1，试求当x＝3时的值． 点评　利用秦九韶算法计算多项式的值关键是正确地将多项式改写，然后由内向外依次计算，由于下一次的计算用到上一次计算的结果，只有细心，认真，保证中间的结果正确才能保证计算准确． 变式迁移2　用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值． 1．更相减损术求两个数的最大公约数时，一定要弄清每一次减法中的被减数、减数，同时要掌握减法应在何种情况下停止运算，得出结果． 2．秦九韶算法的特点是通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可． 3．割圆术以直代曲、无限趋近，主要利用了“内外去留”的思想. 课时作业 一、选择题 1．自然数8 251和6 105的最大公约数为(　　) A．37 B．23 C．47 D．111 2．五次多项式f(x)＝4x5＋3x4＋2x3－x2－x－，用秦九韶算法求f(－2)等于(　　) A．－ B. C. D．－ 3．下列哪组的最大公约数与1 855,1 120的公约数不同(　　) A．1 120,735 B．385,350 C．385,735 D．1 855,325 4．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋3在x＝2时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是(　　) A．6,6 B．5,6 C．5,5 D．6,5 5．我国魏晋时期的数学家刘徽和祖冲之利用割圆术所得的圆周率π是(　　) A．准确值 B．近似值 C．循环小数 D．有理数 二、填空题 6．228与1 995的最大公约数是________． 7．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6，x＝－4时，v3的值为________． 8．已知多项式Pn(x)＝a0xn＋a1xn－1＋…＋an－1x＋an.如果在一种算法中，计算x (k＝2,3,4，…，n)的值需要k－1次乘法，计算P3(x0)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算Pn(x0)的值共需要________次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：P0(x)＝a0，Pk＋1(x)＝xPk(x)＋ak＋1 (k＝0,1,2，…，n－1)．利用该算法，计算P3(x0)的值共需要6次运算，计算Pn(x0)的值共需要________次运算． 三、解答题 9．求2 007与180的最大公约数． 10．用秦九韶算法求多项式f(x)＝2x4－2x2－5x＋10在x＝10的值． 1.3　中国古代数学中的算法案例 自学导引 1．(1)差　较小的数　一对相等的数　(2)while　a＝a－b　b＝b－a　end 2．正多边形面积逐渐逼近圆面积 3．(…(anx＋an－1)x＋…＋an－(k－1))x＋an－k　v0＝an　vk＝vk－1x＋an－k 对点讲练 例1　解　(1)(261,319)→(261,58)→(203,58)→(145,58)→(87,58)→(29,58)→(29,29)， ∴319与261的最大公约数是29. (2)因为两数皆为偶数，首先除以2得到867,408，再求867与408的最大公约数． (867,408)→(459,408)→(51,408)→(51,357)→(51,306)→(51,255)→(51,204)→(51,153)→(51,102)→(51,51)， ∴1 734与816的最大公约数是512＝102. 变式迁移1　解　由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减． (63,98)→(63,35)→(28,35)→(28,7)→(21,7)→(14,7)→(7,7)， 所以98和63的最大公约数是7. 例2　解　根据秦九韶算法多项式可改写为f(x)＝((((2x－5)x－4)x＋3)x－6)x－1，按照由内向外的顺序，依次计算为：v0＝2， v1＝23－5＝1， v2＝13－4＝－1， v3＝(－1)3＋3＝0， v4＝03－6＝－6， v5＝(－6)3－1＝－19. 故当x＝3时，多项式的值为－19. 变式迁移2　解　f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x， 所以v0＝7； v1＝73＋6＝27； v2＝273＋5＝86； v3＝863＋4＝262； v4＝2623＋3＝789； v5＝7893＋2＝2 369； v6＝2 3693＋1＝7 108； v7＝7 1083＝21 324， 故x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21 324. 课时作业 1．A　[利用更相减损术可得它们的最大公约数为37.] 2．A　[∵f(x)＝((((4x＋3)x＋2)x－1)x－1)x－， ∴f(－2)＝((((4(－2)＋3)(－2)＋2)(－2)－1)(－2)－1)(－2)－＝－] 3．D　[∵(1 855,1 120)→(735,1 120)→(735,385)→(350,385)→(350,35)，∴1 855与1 120的公约数是35，由以上计算过程可知选D.] 4．C 5．B 6．57 7．－57 8.n(n＋3)　2n 9．解　2 007－180＝1 827　　　　1 827－180＝1 647 1 647－180＝1 467 1 467－180＝1 287 1 287－180＝1 107 1 107－180＝927 927－180＝747 747－180＝567 567－180＝387 387－180＝207 207－180＝27 180－27＝153 153－27＝126 126－27＝99 99－27＝72 72－27＝45 45－27＝18 27－18＝9 18－9＝9 所以2 007与180的最大公约数为9. 10．解　把多项式改写成以下形式： f(x)＝2x4＋0x3－2x2－5x＋10 ＝(((2x＋0)x－2)x－5)x＋10. 按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式在x＝10的值． a4＝2　　　v0＝a4＝2 a3＝0 v1＝v0x＋a3＝20 a2＝－2 v2＝v1x＋a2＝198 a1＝－5 v3＝v2x＋a1＝1 975 a0＝10 v4＝v3x＋a0＝19 760 故f(10)＝19 760.