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4 逻辑联结词“且”“或”“非”
课后训练案巩固提升
A组
1.若p是真命题,q是假命题,则( )
A.p且q是真命题 B.p或q是假命题
C.p是真命题 D.q是真命题
答案:D
2.由下列各组命题构成的新命题“p或q”和“p且q”都为真命题的是( )
A.p:4+4=9,q:7>4
B.p:a∈{a,b,c},q:{a}⫋{a,b,c}
C.p:15是质数,q:8是12的约数
D.p:2是偶数,q:2不是质数
解析:只有命题p和q都正确时“p且q”才正确,据此原则可判断仅B项符合.
答案:B
3.已知p与q是两个命题,给出下列命题:
(1)只有当命题p与q同时为真时,命题“p或q”才能为真;
(2)只有当命题p与q同时为假时,命题“p或q”才能为假;
(3)只有当命题p与q同时为真时,命题“p且q”才能为真;
(4)只有当命题p与q同时为假时,命题“p且q”才能为假.
其中正确的命题是( )
A.(1)和(3) B.(2)和(3)
C.(2)和(4) D.(3)和(4)
解析:因为当命题p与q同时为真时,命题“p或q”“p且q”都为真,而当命题p与q一真一假时,命题“p或q”为真,“p且q”为假,所以(1)错,(3)对;而当命题p与q只要有一个为假时,“p且q”就为假,所以(4)错;当命题p与q同时为假时,“p或q”才为假,所以(2)对,故选B.
答案:B
4.已知全集S=R,A⊆S,B⊆S,若p:∈(A∪B),则“非p”是( )
A.∉A B.∈∁SB
C.∉(A∩B) D.∈[(∁SA)∩(∁SB)]
解析:对一个命题的否定,只对命题的结论进行否定.
答案:D
5.导学号90074012已知命题p:存在x∈R,使tan x=1,命题q:x2-3x+2<0的解集是{x|1
1,由q为真命题,可得a>4.当“p且q”为真命题时,p,q都为真命题,即解得{a|a>4}.
答案:{a|a>4}
9.写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题,并判断其真假.
(1)p:1是质数,q:1是方程x2+2x-3=0的根;
(2)p:平行四边形的对角线相等,q:平行四边形的对角线互相垂直;
(3)p:N⊆Z,q:0∈N.
解(1)因为p假q真,所以
p或q:1是质数或是方程x2+2x-3=0的根,为真;
p且q:1是质数且是方程x2+2x-3=0的根,为假;
非p:1不是质数,为真.
(2)因为p假q假,所以
p或q:平行四边形的对角线相等或互相垂直,为假;
p且q:平行四边形的对角线相等且互相垂直,为假;
非p:平行四边形的对角线不一定相等,为真.
(3)因为p真q真,所以
p或q:N⊆Z或0∈N为真;
p且q:N⊆Z且0∈N,为真;
非p:N⊈Z,为假.
B组
1.若命题“p或q”与“p且q”中一真一假,则可能是( )
A.p真q假 B.p真q真
C.非p真q假 D.p假非q真
解析:由题意知“p且q”为假,“p或q”为真,则p,q中一真一假.
答案:A
2.命题“原函数与反函数的图像关于直线y=x对称”的否定是( )
A.原函数与反函数的图像关于直线y=-x对称
B.原函数不与反函数的图像关于直线y=x对称
C.存在一个原函数与反函数的图像不关于直线y=x对称
D.存在原函数与反函数的图像关于直线y=x对称
解析:命题“原函数与反函数的图像关于直线y=x对称”的本质含义是“所有原函数与反函数的图像关于直线y=x对称”.故其否定应为“存在一个原函数与反函数的图像不关于直线y=x对称”.
答案:C
3.已知命题p:“x>2是x2>4的充要条件”,命题q:“若,则a>b”,则( )
A.“p或q”为真 B.“p且q”为真
C.p真q假 D.p,q均为假
解析:由已知可知命题p为假,命题q为真,因此选A.
答案:A
4.设命题p:函数y=cos 2x的最小正周期为;命题q:函数f(x)=sin的图像的一条对称轴是x=-,则下列判断正确的是( )
A.p为真 B.非q为假
C.p且q为真 D.p或q为假
解析:因为函数y=cos 2x的最小正周期为π,故命题p是假命题;因为f=-1,故命题q是真命题,则非q为假,p且q为假,p或q为真,故选B.
答案:B
5.已知p:点P在直线y=2x-3上,q:点P在直线y=-3x+2上,则使命题p且q为真命题的一个点P(x,y)是 .
解析:因为p且q为真命题,所以p,q均为真命题,即点P为直线y=2x-3与y=-3x+2的交点,故有解得故点P的坐标为(1,-1).
答案:(1,-1)
6.若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题,则x的范围是 .
解析:由题意得,p:x∈[2,5],q:x∈{x|x<1或x>4},
因为p或q为假,
所以p假q假,故有解得1≤x<2.
答案:[1,2)
7.已知函数①f(x)=|x+2|;②f(x)=(x-2)2;③f(x)=cos(x-2).现有命题p:f(x+2)是偶函数;命题q:f(x)在(-∞,2)内是减函数,在(2,+∞)内是增函数.则能使p且q为真命题的所有函数的序号是 .
解析:若p且q为真命题,则p,q均为真命题.对于①,f(x+2)=|x+4|不是偶函数,故p为假命题.对于②,f(x+2)=x2是偶函数,则p为真命题;f(x)=(x-2)2在(-∞,2)内是减函数,在(2,+∞)内是增函数,则q为真命题,故p且q为真命题.对于③,f(x)=cos(x-2)显然在(2,+∞)内不是增函数,故q为假命题.故填②.
答案:②
8.已知命题p:“存在a>0,使函数f(x)=ax2-4x在(-∞,2]上单调递减”,命题q:“存在a∈R,使任意x∈R,16x2-16(a-1)x+1≠0”.若命题“p且q”为真命题,求实数a的取值范围.
解若p为真,则函数f(x)图像的对称轴x=-在区间(-∞,2]的右侧,即≥2,∴00有解.若p且q是假命题,非p也是假命题.求实数a的取值范围.
解∵p且q是假命题,非p是假命题,∴命题p是真命题,命题q是假命题.∵x1,x2是方程x2-mx-2=0的两个实根,∴
∴|x1-x2|=.
∴当m∈[-1,1]时,|x1-x2|max=3.
由不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1,1]恒成立,可得a2-5a-3≥3.∴a≥6或a≤-1,
∴当命题p为真命题时,a≥6或a≤-1.
命题q:不等式ax2+2x-1>0有解,
①当a>0时,显然有解;
②当a=0时,2x-1>0有解;
③当a<0时,∵ax2+2x-1>0,∴Δ=4+4a>0,
∴-10有解时,a>-1.又命题q是假命题,∴a≤-1.
综上所述得⇒a≤-1.
∴所求a的取值范围为(-∞,-1].
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