2018版高中数学 第二章 推理与证明 课时作业16 反证法 新人教A版选修2-2.doc

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课时作业16　反证法 |基础巩固|(25分钟，60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不小于60”时，反设正确的是(　　) A．假设三个内角都小于60 B．假设三个内角都大于60 C．假设三个内角至多有一个大于60 D．假设三个内角至多有两个大于60 解析：“至少有一个”的反设词是“一个也没有”．故选A. 答案：A 2．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为(　　) A．a，b，c都是奇数 B．a，b，c都是偶数 C．a，b，c中至少有两个偶数 D．a，b，c中或都是奇数或至少有两个偶数 解析：恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数(全为奇数)，其二是至少有两个偶数，故选D. 答案：D 3．下列四个命题中错误的是(　　) A．在△ABC中，若∠A＝90，则∠B一定是锐角 B.， ， 不可能成等差数列 C．在△ABC中，若a>b>c，则∠C>60 D．若n为整数且n2为偶数，则n是偶数 解析：显然A、B、D命题均真，C项中若a>b>c， 则A>B>C， 若∠C>60，则A>60，B>60， ∴A＋B＋C>180与A＋B＋C＝180矛盾．故选C. 答案：C 4．设x>0，则方程x＋＝2sinx的根的情况是(　　) A．有实根　　　　　　B．无实根 C．恰有一实根 D．无法确定 解析：x>0时，x＋≥2，而2sinx≤2，但此二式中“＝”不可能同时取得，∴x＋＝2sinx无实根． 答案：B 5．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数(　　) A．至少有一个不大于2 B．都小于2 C．至少有一个不小于2 D．都大于2 解析：若a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6①，而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6②，显然①，②矛盾，所以C正确． 答案：C 二、填空题(每小题5分，共15分) 6．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a，b为实数)”，其反设为________________________________________________________________________． 解析：“a，b全为0”即是“a＝0且b＝0”， 因此它的反设为“a≠0或b≠0”． 答案：a，b不全为0 7．命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是________________________________________________________________________． 解析：方程解的情况有：①无解；②唯一解；③两个或两个以上的解． 答案：无解或至少两解 8．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＝90＋90＋∠C>180，这与三角形内角和为180相矛盾，∠A＝∠B＝90不成立． ②所以一个三角形中不能有两个直角． ③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90. 正确顺序的排列为________． 解析：反证法的步骤是：先假设命题不成立，然后通过推理得出矛盾，最后否定假设，得到命题是正确的． 答案：③①② 三、解答题(每小题10分，共20分) 9．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列． 证明：假设，，成等差数列，则 ＋＝2，即a＋c＋2＝4b， 而b2＝ac，即b＝， ∴a＋c＋2＝4，∴(－)2＝0. 即＝， 从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾， 故，，不成等差数列． 10．求证：过一点只有一条直线与已知平面垂直． 解析：已知：平面α和一点P. 求证：过点P与α垂直的直线只有一条． 证明如下：如图所示，不论点P在α内还是在α外，设PA⊥α，垂足为A(或P)． 假设过点P还有另一条直线PB⊥α， 设PA，PB确定的平面为β，且α∩β＝a， 于是在平面β内过点P有两条直线PA，PB垂直于a，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾， ∴假设不成立，原命题成立． |能力提升|(20分钟，40分) 11．有以下结论： ①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2； ②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是(　　) A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确 C．①的假设正确；②的假设错误 D．①的假设错误；②的假设正确 解析：用反证法证题时一定要将对立面找全．在①中应假设p＋q>2.故①的假设是错误的，而②的假设是正确的，故选D. 答案：D 12．完成反证法证题的全过程． 题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数． 证明：假设p为奇数，则________均为奇数． 因奇数个奇数之和为奇数，故有 奇数＝________________ ＝________________ ＝0. 但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数． 解析：由假设p为奇数可知a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，这与0为偶数矛盾． 答案：a1－1，a2－2，…，a7－7 (a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7) (a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7) 13．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1.求证：a，b，c，d中至少有一个是负数． 证明：假设a，b，c，d都是非负数， 因为a＋b＝c＋d＝1， 所以(a＋b)(c＋d)＝1. 又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd， 所以ac＋bd≤1， 这与已知ac＋bd>1矛盾， 所以a，b，c，d中至少有一个是负数． 14．若a，b，c均为实数且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a，b，c中至少有一个大于0. 证明：假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0， 则有a＋b＋c≤0. 而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3， 因为(x－1)2，(y－1)2，(z－1)2均大于或等于0，且π－3>0， 所以a＋b＋c>0，这与假设a＋b＋c≤0矛盾，故假设不成立．所以a，b，c中至少有一个大于0.