2018-2019学年高中数学 考点52 圆的弦长问题庖丁解题 新人教A版必修2.doc

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考点52 圆的弦长问题 要点阐述 圆的弦长的计算，一般不用弦长公式或两点距离公式，以避开联立方程涉及到交点的有关繁琐运算，而常用弦心距、半弦长、半径构成的直角三角形直接求解． 典型例题 【例】圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解题技巧】求出圆的半径，圆上的点到直线的距离，确定圆心到直线的距离，列出方程求解． 小试牛刀 1．设、为直线与圆的两个交点，则的长为（　　） A．1 B．　　　　　 C．　　　 D．2 【答案】D 【解析】直线过圆的圆心,则为圆的半径，所以=2． 【解题技巧】圆的弦长的计算，一般不用弦长公式或两点距离公式，以避开联立方程涉及到交点的有关繁琐运算，而常用弦心距、半弦长、半径构成的直角三角形直接求解． 2．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于（　　） A．3 B．2 C． D．1 【答案】B 【解析】圆x2＋y2＝4的圆心为（0，0），半径为2，则圆心到直线3x＋4y－5＝0的距离为d＝＝1．∴|AB|＝2＝2＝2． 3．过点P（1，1）的直线，将圆形区域{（x，y）|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（　　） A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0 C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0 【答案】A 【解析】当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件． 圆心O与P点连线的斜率k＝1，∴直线OP垂直于x＋y－2＝0，故选A． 【秒杀技】利用斜率，只有A符合． 4．已知圆：及直线：，当直线被圆截得的弦长为时，等于（　　） A．　　 B．　　 C．　　 D． 【答案】C 5．已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程_____________． 【答案】（x－3）2＋（y－1）2＝9或（x＋3）2＋（y＋1）2＝9． 【解析】设圆心坐标为（3m，m）． ∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|， ∴圆心到直线y＝x的距离为|m|．由半径、弦心距、半弦长的关系得9m2＝7＋2m2，∴m＝1，∴所求圆C的方程为（x－3）2＋（y－1）2＝9或（x＋3）2＋（y＋1）2＝9． 6．已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程． 考题速递 1．直线被圆所截得弦长等于，则的值为（　　） A．–1或3 B． C．1或3 D． 【答案】C 【解析】弦长为，半径，∴圆心（a,0）到（2,0）的距离为，，∴a=1或3． 2．圆截直线所得的弦长为8，则的值是（　　） A．10 B．10或–68 C．5或–34 D．–68 【答案】B 【解析】圆心坐标为（1，–2），半径，圆心到直线的距离为， ，c=10或–68． 3．直线被圆截得的弦长为_____________． 【答案】 【解析】半弦长为，圆心到直线的距离以及圆的半径构成了一个直角三角形，因此，所以． 4．已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦． （1）当α＝135时，求AB的长； （2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程． （2）如图，当弦AB被点P平分时，OP⊥AB， ∵kOP＝－2， ∴kAB＝， ∴直线AB的方程为y－2＝(x＋1)，即x－2y＋5＝0． 数学文化 滚铁环 滚铁环通常情况下是直线与圆的相交关系 滚铁环是一项盛行于上世纪四五十年代男孩们爱玩的游戏．铁环是个约一尺多周圆的铁圈．其厚约一厘米，另有一个一尺多长的铁钩． 玩法：可选一平整的场地，玩者手握铁钩勾住铁环，从场地一头边跑边推．让铁环不倒并不断向前滚动，一直滚向场地的终点．滚铁环亦可二三人一起进行比赛，谁中途不倒又快速到终点为胜者．