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8.2 余弦定理(一)
[学习目标] 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
[知识链接]
1.以下问题可以使用正弦定理求解的是.
(1)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.
(2)已知两角和一边，求其他角和边.
(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角.
(4) 已知一个三角形的三条边，解三角形.
答案 (1)(2)
2.如图所示，在直角坐标系中，若A(0,0)，B(c,0)，C(bcosA，bsinA).利用两点间距离公式表示出|BC|，化简后会得出怎样的结论？
解 a2＝|BC|2＝(bcosA－c)2＋(bsinA－0)2
＝b2(sin2A＋cos2A)－2bccosA＋c2
＝b2＋c2－2bccosA.
得出a2＝b2＋c2－2bccosA.
[预习导引]
1.余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.
即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC.
2.余弦定理的推论
cosA＝；cosB＝；
cosC＝.
要点一 已知两边及一角解三角形
例1 (1)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30，求角A、角C和边a.
(2)在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45，解此三角形.
解 (1)方法一 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，
得32＝a2＋(3)2－2a3cos30，
∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.
当a＝3时，由于b＝3，所以A＝B＝30，∴C＝120.
当a＝6时，由正弦定理得sinA＝＝＝1.
∴A＝90，∴C＝60.
方法二 由正弦定理得sinC＝＝＝，
由b
a，c>b，∴角C最大.
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，
即37＝9＋16－24cosC，∴cosC＝－，
∵0b>c，∴C为最小角，
由余弦定理cosC＝＝＝.
∴C＝.
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为.
答案
解析 因为a2＋c2－b2＝ac，所以cosB＝＝.则B＝.
1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：
(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形.
(2) 若已知两边和一边的对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形.
2.当所给的条件是边角混合关系时，判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系.若统一为角之间的关系，则利用三角恒等变形化简；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简.
3.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例.
(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.
(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角.
(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.
一、基础达标
1.在△ABC中，已知a＝2，则bcosC＋ccosB等于( )
A.1B.C.2D.4
答案 C
解析 bcosC＋ccosB＝b＋c＝＝a＝2.
2.在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cosB等于( )
A.B.C.D.
答案 B
解析 ∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，
∴cosB＝＝＝.
3.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( )
A.90B.120C.135D.150
答案 B
解析 设中间角为θ，则cosθ＝＝，θ＝60，180－60＝120为所求.
4.在△ABC中，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为( )
A.B.C.或D.或
答案 D
解析 由(a2＋c2－b2)tanB＝ac得＝即cosB＝，∴sinB＝或cosB＝0(舍去)，
又B为△ABC的内角，所以B为或.
5.在△ABC中，已知A＝60，最大边长和最小边长恰好是方程x2－7x＋11＝0的两根，则第三边的长.
答案 4
解析 设最大边长为x1，最小边长为x2，
则x1＋x2＝7，x1x2＝11，
又A＝60，故第三边为角A的对边，
∴第三边长＝
＝＝4.
6.三角形三边长分别为a，b，(a>0，b>0)，则最大角为.
答案 120
解析 易知：>a，>b，设最大角为θ，
则cosθ＝＝－，
又0<θ<180，∴θ＝120.
7.已知a，b，c是△ABC的三内角A，B，C的对边，且b＝6，c＝4，A＝.
(1)求a的值；
(2)求sinC的值.
解 (1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝36＋16－264cos＝28，
所以a＝2.
(2)cosC＝＝＝.sinC＝＝.
二、能力提升
8.在△ABC中，sin2＝，则△ABC的形状为( )
A.正三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
答案 B
解析 ∵sin2＝＝，
∴cosA＝＝，∴a2＋b2＝c2，符合勾股定理.
9.如下图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2min，从D沿着DC走到C用了3min.若此人步行的速度为50m/min，则该扇形的半径为( )
A.50m B.45m
C.50m D.47m
答案 C
解析 依题意得OD＝100m，CD＝150m，连接OC，易知∠ODC＝180－∠AOB＝60，
因此由余弦定理有
OC2＝OD2＋CD2－2ODCDcos∠ODC，
即OC2＝1002＋1502－2100150，
解得OC＝50(m).
10.在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD为边BC上的高，则AD的长是.
答案
解析 ∵cosC＝＝，∴sinC＝.
∴AD＝ACsinC＝.
11.在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.
(1)求角C的度数；
(2)求AB的长.
解 (1)∵cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－，且C∈(0，π)，∴C＝.
(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，
∴
∴AB2＝b2＋a2－2abcosπ＝(a＋b)2－ab＝10，
∴AB＝.
12.在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120，求三边的长.
解 由得
∴a>b>c，∴A＝120，∴a2＝b2＋c2－2bccos120，
即(b＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b(b－4)(－)，
即b2－10b＝0，解得b＝0(舍去)或b＝10.因此a＝14，
c＝6.
三、探究与创新
13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csinA＝acosC.
(1)求C；
(2)若c＝，且sinC＋sin(B－A)＝3sin2A，求△ABC的面积.
解 (1)由正弦定理，得sinCsinA＝sinAcosC，
因为sinA≠0，解得tanC＝，C＝.
(2)由sinC＋sin(B－A)＝3sin2A，
得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin2A，
整理，得sinBcosA＝3sinAcosA.
若cosA＝0，则A＝，∵C＝，＝tan，b＝，
△ABC的面积S＝bc＝.
若cosA≠0，则sinB＝3sinA，b＝3a.
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，
即()2＝a2＋(3a)2－2a(3a)cosC，
解得a＝1，b＝3.
△ABC的面积S＝absinC＝.
综上，△ABC的面积为或.
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