2018年秋高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第1课时 等比数列学案 新人教A版必修5.doc

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第1课时　等比数列 学习目标：1.理解等比数列的定义(重点).2.掌握等比数列的通项公式及其应用(重点、难点).3.熟练掌握等比数列的判定方法(易错点)． [自 主 预 习探 新 知] 1．等比数列的概念 (1)文字语言： 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)． (2)符号语言： ＝q(q为常数，q≠0，n∈N*)． 思考：能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗？ [提示]　不能． 2．等比中项 (1)前提：三个数a，G，b成等比数列． (2)结论：G叫做a，b的等比中项． (3)满足的关系式：G2＝ab. 思考：当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？ [提示]　不一定，如数列0,0,5就不是等比数列． 3．等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝a1qn－1.这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比． 4．等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为an＝qn，而y＝qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列qn中的各项的点是函数y＝qx的图象上的孤立点． 思考：除了课本上采用的不完全归纳法，还能用什么方法求数列的通项公式． [提示]　还可以用累乘法． 当n>2时，＝q，＝q，…，＝q， ∴an＝a1……＝a1qn－1. [基础自测] 1．思考辨析 (1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．(　　) (2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．(　　) (3)常数列一定为等比数列．(　　) (4)任何两个数都有等比中项．(　　) [答案]　(1)　(2)　(3)　(4)　 提示：(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列．(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零．(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列．(4)错误．当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项． 2．下列数列为等比数列的序号是________． ①2,22,322；②，，，，(a≠0)；③s－1，(s－1)2，(s－1)3，(s－1)4，(s－1)5；④0,0,0,0,0. ②　[≠，所以①不是等比数列；②是首项为，公比为的等比数列；③中，当s＝1时，数列为0,0,0,0,0，所以不是等比数列；④显然不是等比数列．] 3．等比数列{an}中，a2＝2，a5＝，则公比q＝________. 【导学号：91432189】 　[由定义知＝＝＝＝q，则a2＝a1q＝2，① a5＝a4q＝a3q2＝a2q3＝a1q4＝，② 所以②①得q3＝，所以q＝.] 4．在等比数列{an}中，a4＝27，q＝－3，则a7＝________. －729　[由等比数列定义知＝＝＝q. 所以a5＝a4q＝27(－3)＝－81， a6＝a5q＝－81(－3)＝243， a7＝a6q＝243(－3)＝－729.] [合 作 探 究攻 重 难] 等比数列的通项公式及应用 　在等比数列{an}中． (1)已知a1＝3，q＝－2，求a6； (2)已知a3＝20，a6＝160，求an. 【导学号：91432190】 [解]　(1)由等比数列的通项公式得， a6＝3(－2)6－1＝－96. (2)设等比数列的公比为q， 那么 解得 所以an＝a1qn－1＝52n－1. [规律方法]　 1．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解． 2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法： (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算． [跟踪训练] 1．在等比数列{an}中， (1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a5； (2)若a4＝2，a7＝8，求an. [解]　(1)∵a5＝a1q4，而a1＝5， q＝＝－3，∴a5＝405. (2)因为所以 由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2， 于是a1＝＝， 所以an＝a1qn－1＝2. 等比中项 　(1)等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是(　　) A．4　　　B．4　　　C．　　　D. (2)已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项. 【导学号：91432191】 思路探究：(1)用定义求等比中项． (2)证明(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)即可． (1)A　[由an＝2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，所以a4与a8的等比中项为4.] (2)证明：b是a，c的等比中项，则b2＝ac，且a，b，c均不为零， 又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2， (ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)，即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项． [规律方法]　等比中项应用的三点注意： (1))由等比中项的定义可知＝⇒G2＝ab⇒G＝，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项. (2))在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项. (3)a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0). [跟踪训练] 2．若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则的值为(　　) A． B. C．1 D．1 D　[由题知2a＝1＋3， ∴a＝2. 由b2＝4得b＝2 ∴＝1.] 3．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于(　　) 【导学号：91432192】 A．2 B．4 C．6 D．8 B　[∵an＝(n＋8)d，又∵a＝a1a2k， ∴[(k＋8)d]2＝9d(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)， k＝4.] 等比数列的判断与证明 [探究问题] 1．若数列{an}是等比数列，易知有＝q(q为常数，且q≠0)或a＝anan＋2(an≠0，n∈N*)成立．反之，能说明数列{an}是等比数列吗？ 提示：能．若数列{an}满足＝q(q为常数，q≠0)或a＝anan＋2(an≠0，n∈N*)都能说明{an}是等比数列． 2．若数列{an}是公比为q的等比数列，则它的通项公式为an＝a1qn－1(a，q为非零常数，n∈N*)．反之，能说明数列{an}是等比数列吗？ 提示：能．根据等比数列的定义可知． 　已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列． 思路探究：①如何由求和公式得通项公式？②a1是否适合an＝Sn－Sn－1(n≥2)？需要检验吗？ [解]　an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2)．当n≥2时＝＝2； 当n＝1时，＝＝. 故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列． 母题探究：1.(变条件)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”．求证数列{an}是等比数列． [证明]　∵Sn＝2－an， ∴Sn＋1＝2－an＋1， ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1， ∴an＋1＝an. 又∵S1＝2－a1， ∴a1＝1≠0. 　又由an＋1＝an知an≠0， ∴＝， ∴{an}是等比数列． 2．(变条件变结论)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝1，an＋1＝2an＋1”证明数列{an＋1}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式． [解]　因为an＋1＝2an＋1， 所以an＋1＋1＝2(an＋1)． 由a1＝1，知a1＋1≠0， 从而an＋1≠0. 所以＝2(n∈N＋)，所以数列{an＋1}是等比数列． 所以{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝22n－1＝2n，即an＝2n－1. [规律方法]　判断一个数列{an}是等比数列的方法： (1))定义法：若数列{an}满足＝q(q为常数且不为零)或＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列. (2))等比中项法：对于数列{an}，若＝anan＋2且an≠0，则数列{an}是等比数列. (3))通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列. [当 堂 达 标固 双 基] 1．下列数列是等比数列的是(　　) 【导学号：91432193】 A．2,2，－2，－2,2,2，－2，－2，… B．－1,1，－1,1，－1，… C．0,2,4,6,8,10，… D．a1，a2，a3，a4，… B　[A.从第2项起，每一项与前一项的比不是同一常数，故不选A. B．由等比数列定义知该数列为等比数列． C．等比数列各项均不为0，故该数列不是等比数列． D．当a＝0时，该数列不是等比数列；当a≠0时，该数列为等比数列．] 2．若2a，b,2c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点个数是(　　) A．0　　　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．0或2 B　[由题意，得b2＝4ac，故函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相切．] 3．在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q应为(　　) 【导学号：91432194】 A． B．2 C. D．－2 D　[因为＝q3＝－8，故q＝－2.] 4．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________. 4n－1　[由题意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1，所以通项公式an＝4n－1.] 5．已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式. 【导学号：91432195】 [解]　依题意an＝2＋(n－1)(－1)＝3－n， 于是bn＝3－n.而＝＝－1＝2. ∴数列{bn}是公比为2的等比数列，通项公式为bn＝2n－3.