2019届高考数学一轮复习 第七章 立体几何与空间向量 第7节 立体几何中的向量方法 第一课时练习 理 新人教A版.doc

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第七章 第7节 立体几何中的向量方法 第一课时 [基础训练组] 1．(导学号14577704)若直线l的一个方向向量为a＝(2,5,7)，平面α的一个法向量为u＝(1,1，－1)，则(　　) A．l∥α或l⊂α　　　　　　 B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交 解析：A　[由条件知au＝21＋51＋7(－1)＝0，所以a⊥u，故l∥α或l⊂α.故选A.] 2．(导学号14577705)若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则(　　) A．α∥β B．α⊥β C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确 解析：C　[∵n1n2＝2(－3)＋(－3)1＋5(－4)≠0，∴n1与n2不垂直，∴α与β相交但不垂直．] 3．(导学号14577706)设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于(　　) A．2 B．－4 C．4 D．－2 解析：C　[因为α∥β，所以＝＝，所以k＝4.] 4．(导学号14577707)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO、AM的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．异面垂直 D．异面不垂直 解析：C　[建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2,1,2)，＝(－1,0，－2)，＝(－2,0,1)，＝0，则直线NO、AM的位置关系是异面垂直．] 5．(导学号14577708)已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为(　　) A.，－，4 B.，－，4 C.，－2,4 D．4，，－15 解析：B　[∵⊥，∴＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4. BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC， 又＝(3,1,4)，则解得] 6．(导学号14577709)已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x，－2,3)，且α⊥β，则x＝　________　. 解析：由α⊥β知ab＝0，即x＋1(－2)＋23＝0，解得x＝－4. 答案：－4 7．(导学号14577710)在空间直角坐标系中，点P(1，，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为　________　. 解析：由题意知，点Q即为点P在平面yOz内的射影， 所以垂足Q的坐标为(0，，)． 答案：(0，，) 8．(导学号14577711)(2018武汉市调研)已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是　________　. 解析：设平面α的法向量为m＝(x，y，z)， 由m＝0，得x0＋y－z＝0⇒y＝z， 由m＝0，得x－z＝0⇒x＝z，取x＝1， ∴m＝(1,1,1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β. 答案：α∥β 9．(导学号14577712)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30的角．求证： (1)CM∥平面PAD； (2)平面PAB⊥平面PAD. 证明：(1)以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz. ∵PC⊥平面ABCD， ∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角， ∴∠PBC＝30， ∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4， ∴D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)， M， ∴＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)， ＝. (1)设n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量， 由即 令y＝2，得n＝(－，2,1)． ∴n＝－＋20＋1＝0， ∴n⊥.又CM⊄平面PAD， ∴CM∥平面PAD. (2)如图，取AP的中点E，连接BE， 则E(，2,1)，＝(－，2,1)． ∵PB＝AB，∴BE⊥PA. 又∵＝(－，2,1)(2，3,0)＝0， ∴⊥，∴BE⊥DA. 又PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD. 又∵BE⊂平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PAD. 10．(导学号14577713)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1. (1)求证：E，B，F，D1四点共面； (2)若点G在BC上，BG＝，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥平面BCC1B1. 证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，E(3,0,1)，F(0,3,2)，D1(3,3,3)， 则＝(3,0,1)，＝(0,3,2)，＝(3,3,3)． 所以＝＋.故，，共面． 又它们有公共点B，所以E，B，F，D1四点共面． (2)设M(0,0，z0)，G， 则＝， 而＝(0,3,2)， 由题设得＝－3＋z02＝0， 得z0＝1.故M(0,0,1)， 有＝(3,0,0)． 又＝(0,0,3)，＝(0,3,0)， 所以＝0，＝0， 从而ME⊥BB1，ME⊥BC.又BB1∩BC＝B. 故ME⊥平面BCC1B1. [能力提升组] 11．(导学号14577714)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点．则AM与PM的位置关系为(　　) A．平行 B．异面 C．垂直 D．以上都不对 解析：C　[以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，依题意，可得，D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)． ∴＝(，2,0)－(0,1，)＝(，1，－)，＝(，2,0)－(2，0,0)＝(－，2,0)，∴＝(，1，－)(－，2,0)＝0，即⊥，∴AM⊥PM.] 12．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上且AM∥平面BDE，则M点的坐标为(　　) A．(1,1,1) B. C. D. 解析：C　[由选项特点，设M(λ，λ，1)，又A(，，0)，D(，0,0)，B(0，，0)，E(0,0,1)，则＝(－，0,1)，＝(0，－，1)，＝(λ－，λ－，1)． 设平面BDE的法向量n＝(x，y，z)，则 即 不妨取z＝，则n＝(1,1，)， 由于AM∥平面BDE，所以⊥n， 即n＝0，所以λ－＋λ－＋＝0，解得λ＝， 即M点坐标为.故选C.] 13．(导学号14577715)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是　________　. 解析：∵正方体棱长为a，A1M＝AN＝， ∴＝，＝， ∴＝＋＋ ＝＋＋ ＝(＋)＋＋(＋) ＝＋. 又∵是平面B1BCC1的法向量， ∴＝＝0， ∴⊥.又∵MN⊄平面B1BCC1，∴MN∥平面B1BCC1. 答案：平行 14．(导学号14577716)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点． (1)求证：EF⊥CD； (2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：如图，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设AD＝a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)，F， ＝，＝(0，a,0)． ∵＝0，∴⊥，即EF⊥CD. (2)假设存在满足条件的点G， 设G(x,0，z)，则＝， 若使GF⊥平面PCB， 则由＝(a,0,0) ＝a＝0，得x＝； 由＝(0，－a，a) ＝＋a＝0，得z＝0. ∴点G的坐标为， 即存在满足条件的点G，且点G为AD的中点．