2018年秋高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭圆 2.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质学案 新人教A版选修1 -1.doc

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第1课时　椭圆的简单几何性质 学习目标：1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点)2.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线．(重点，难点) [自 主 预 习探 新 知] 1．椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 2.离心率 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率． (2)性质：离心率e的范围是(0,1)．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆． 思考：(1)离心率e能否用表示？ (2)离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？ [提示]　(1)e2＝＝＝1－，所以e＝. (2)不是．离心率相同的椭圆焦距与长轴的长的比值相同． [基础自测] 1．思考辨析 (1)椭圆＋＝1(a>b)的长轴长为a，短轴长为b. (　　) (2)椭圆的离心率越大，则椭圆越接近于圆． (　　) (3)若一个矩形的四个顶点都在椭圆上，则这四个顶点关于椭圆的中心对称． (　　) [答案]　(1)　(2)　(3)√ 2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是(　　) A．(－1,0)，(1,0) B．(－6,0)，(6,0) C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，) D　[椭圆方程可化为x2＋＝1，则长轴的端点坐标为(0，)．] 3．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　) 【导学号：97792060】 A．5,3,0.8　　　　 B．10,6,0.8 C．5,3,0.6 D．10,6,0.6 B　[椭圆方程可化为＋＝1，则a＝5，b＝3，c＝＝4，e＝＝，故B.] [合 作 探 究攻 重 难] 根据椭圆的方程研究其几何性质 　设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标． [解]　椭圆方程可化为＋＝1. (1)当0＜m＜4时，a＝2，b＝，c＝，∴e＝＝＝，∴m＝3，∴b＝，c＝1，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别是4,2，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(0，－)，B2(0，)． (2)当m＞4时，a＝，b＝2，∴c＝，∴e＝＝＝，解得m＝，∴a＝，c＝，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2,0)，B2(2,0)． [规律方法]　用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质． 提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍． [跟踪训练] 1．已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质． [解]　(1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e＝. (2)椭圆C2：＋＝1. 性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10； ②对称性：关于x轴、y轴、原点对称； ③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)； ④离心率：e＝. 利用几何性质求椭圆的标准方程 　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8； (3)求经过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆的标准方程. 【导学号：97792061】 [思路探究]　(1)焦点位置不确定，分两种情况求解． (2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解． (3)法一：先求离心率，根据离心率找到a与b的关系．再用待定系数法求解． 法二：设与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0) [解]　(1)若焦点在x轴上，则a＝3， ∵e＝＝，∴c＝， ∴b2＝a2－c2＝9－6＝3. ∴椭圆的方程为＋＝1. 若焦点在y轴上，则b＝3， ∵e＝＝＝＝，解得a2＝27. ∴椭圆的方程为＋＝1. ∴所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1. (2)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)． 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形， OF为斜边A1A2的中线(高)， 且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， ∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32， 故所求椭圆的方程为＋＝1. (3)法一：由题意知e2＝1－＝，所以＝，即a2＝2b2 设所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1. 将点M(1,2)代入椭圆方程得 ＋＝1或＋＝1 解得b2＝或b2＝3. 故所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1. 法二：设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝，即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. [规律方法]　 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 1．利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (1)确定焦点位置； (2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等． 2．在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个． 提醒：与椭圆＋＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为＋＝k1(k1>0，焦点在x轴上)或＋＝k2(k2>0，焦点在y轴上)． [跟踪训练] 2．(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为(　　) A.＋＝1　　　　 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 B　[由题意，得 解得 因为椭圆的焦点在x轴上， 所以椭圆的标准方程为＋＝1.] (2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程是________． ＋＝1或＋＝1　[因为椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)． 所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3， 所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5， 所以椭圆的方程是＋＝1或＋＝1.] 求椭圆的离心率 [探究问题] 1．已知F是椭圆的左焦点，A，B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴上的顶点，P是椭圆上的一点，且PF⊥x轴，OP∥AB，怎样求椭圆的离心率？ 提示：如图，设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，P(－c，m)． ∵OP∥AB， ∴△PFO∽△BOA， ∴＝，① 又P(－c，m)在椭圆上， ∴＋＝1.② 将①代入②，得＝1， 即e2＝，∴e＝. 2．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－c,0)，A(－a，0)，B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为，求椭圆的离心率e. 提示：由A(－a,0)，B(0，b)，得直线AB的斜率为kAB＝， 故AB所在的直线方程为y－b＝x， 即bx－ay＋ab＝0. 又F1(－c,0)，由点到直线的距离公式可得d＝＝， ∴(a－c)＝. 又b2＝a2－c2， 整理，得8c2－14ac＋5a2＝0， 即8－14＋5＝0. ∴8e2－14e＋5＝0，∴e＝或e＝(舍去)． 综上可知，椭圆的离心率e＝. 　已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则该椭圆的离心率是________. 【导学号：97792062】 [思路探究]　△ABF2为正三角形⇒∠AF2F1＝30⇒把|AF1|，|AF2|用C表示． [解析]　不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30，令|AF1|＝x，则|AF2|＝2x，所以|F1F2|＝＝x＝2c，再由椭圆的定义，可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝3x， 所以e＝＝＝. [答案]　 [规律方法]　求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围． [跟踪训练] 3．(1)椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率是(　　) A.－1　　B．2－　　C.－1　　D．2－ (2)椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________． (1)A　(2)－1　[(1)如图，设F(c,0)，由△OAF是等边三角形， 得A，因为点A在椭圆上，所以有＋＝1　①，在椭圆中有a2＝b2＋c2　②，联立①②，得c2＝(4－2)a2，即c＝(－1)a，则其离心率e＝＝－1. (2)法一　如图，∵△DF1F2为正三角形，N为DF2的中点，∴F1N⊥F2N， ∵|NF2|＝c， ∴|NF1|＝＝＝c， 由椭圆的定义可知|NF1|＋|NF2|＝2a， ∴c＋c＝2a， ∴e＝＝＝－1. 法二　注意到焦点三角形NF1F2中，∠NF1F2＝30，∠NF2F1＝60，∠F1NF2＝90，则由离心率的三角形式，可得e＝＝＝＝－1.] [当 堂 达 标固 双 基] 1．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的短轴长与＋＝1的短轴长相等，则(　　) A．a2＝15，b2＝16 B．a2＝9，b2＝25 C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25 D．a2＝25，b2＝9 D　[由题意得，椭圆＋＝1的焦点在x轴上，且a2＝25，b2＝9.] 2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是(　　) A.＋＝1　　　 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 D　[右焦点为F(1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x轴上，c＝1.又离心率为＝，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，故椭圆的方程为＋＝1.] 3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　) A.　　　B.　　　C.　 　　D. B　[由题意得：2b＝a＋c， ∴4b2＝(a＋c)2， 又∵a2＝b2＋c2， ∴4(a2－c2)＝a2＋2ac＋c2， 即3a2－2ac－5c2＝0， ∴3－2－5＝0， 即5＋2－3＝0， ∴e＝＝.] 4．若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为________． 　[由题意知0b>0)的两焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)(c>0)，离心率e＝，焦点到椭圆上点的最短距离为2－，求椭圆的方程. [解]　由题意知解得 所以b2＝a2－c2＝1， 所以所求椭圆的方程为＋x2＝1.