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专题能力提升练 六 三角函数的概念、图象与性质
(45分钟 80分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.(2018漳州一模)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0≤φ<2π)的图象向右平移π3个单位长度后,得到函数g(x)=cos 2x的图象,则下列是函数y=f(x)的图象的对称轴方程的为 ( )
A.x=π6 B.x=π12 C.x=π3 D.x=0
【解析】选A.函数g(x)=cos 2x的图象的对称轴方程为x=kπ2(k∈Z),故函数y=f(x)的图象的对称轴方程为x=kπ2-π3 (k∈Z),当k=1时,x=π6,故选A.
2.动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,其初始位置为A012,32,12秒旋转一周. 则动点A的纵坐标y关于t(单位:秒)的函数解析式为 ( )
A.y=sinπ3t+π6 B.y=cosπ6t+π3
C.y=sinπ6t+π3 D.y=cosπ3t+π6
【解析】选C.因为动点初始位置为A012,32,所以t=0 时, y=32 ,可排除A,B;又因为动点12秒旋转一周,所以函数周期为12 ,可排除D.
3.(2018唐山一模)已知函数f(x)=3sin2x+π3的最小正周期为T,则将函数f(x)的图象向左平移T4个单位后,所得图象对应的函数为 ( )
A.y=-3sin2x+π3 B.y=-3cos2x+π3
C.y=3sin2x+7π12 D.y=3cos2x+π3
【解析】选D.T=2π2=π,y=3sin2x+π4+π3=3sin2x+π2+π3 =3cos2x+π3,故选D.
4.将函数y=sin2x-π3图象上的点Pπ4,t向左平移s(s>0) 个单位长度得到点P′,若P′位于函数y=sin 2x的图象上,则 ( )
A.t=12,s的最小值为π6 B.t=32,s的最小值为π6
C.t=12,s的最小值为π3 D.t=32,s的最小值为π3
【解析】选A.由题意得,t=sin2π4-π3=12,当s最小时,P′所对应的点为π12,12,此时smin=π4-π12=π6,故选A.
【加固训练】
已知函数f(x)=sinωx+π6,其中ω>0.若f(x)≤fπ12对x∈R恒成立,则ω的最小值为 ( )
A.2 B.4 C.10 D.16
【解析】选B.由三角函数的性质可知,当x=π12时,ωx+π6=2kπ+π2,所以ω=24k+4(k∈Z),
取k=0 可得ω 的最小值为4.
5.(2018烟台一模)若函数f(x)=4sin ωxsin2ωx2+π4+cos2ωx-1(ω>0)在-π3,2π3上是增函数,则ω的取值范围是 ( )
A.[0,1) B.34,+∞
C.[1,+∞) D.0,34
【解析】选D.因为f(x)=4sin ωxsin2ωx2+π4+cos 2ωx-1
=4sin ωx1-cosωx+π22+cos 2ωx-1
=2sin ωx(1+sin ωx)+cos 2ωx-1=2sin ωx,
所以-π2w,π2w是函数含原点的递增区间,
又因为函数在-π3,2π3上是增函数,
所以-π3,2π3⊆-π2w,π2w
即-π2ω≤-π3,π2ω≥2π3⇒w≤32,w≤34,
又w>0,
所以0
0),函数f(x)=mn+3,直线x=x1,x=x2是函数y=f(x)的图象的任意两条对称轴,且|x1-x2|的最小值为π2.
(1)求ω的值.
(2)求函数f(x)的单调递增区间.
(3)若f(α)=23,求sin4α+π6的值.
【解析】(1)已知向量m=(2sin ωx,sin ωx),n=(cos ωx,-23sin ωx)(ω>0),所以函数f(x)=mn+3=2sin ωxcos ωx+sin ωx(-23sin ωx)+3
=sin 2ωx-23sin2ωx+3=sin 2ωx+3cos 2ωx=2sin2ωx+π3.
因为直线x=x1,x=x2是函数y=f(x)的图象的任意两条对称轴,且|x1-x2|的最小值为π2,
所以函数f(x)的最小正周期为π22=π,即2π2ω=π,得ω=1;
(2)由(1)知,f(x)=2sin2x+π3,
令2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2(k∈Z),解得kπ-5π12≤x≤kπ+π12(k∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间为kπ-5π12,kπ+π12,k∈Z;
(3)由已知条件,得f(α)=2sin2α+π3=23,
所以sin2α+π3=13,cos22α+π3=89,
所以cos 22α+π3=79,
所以sin4α+π6=sin4α+2π3-π2
=-cos 22α+π3=-79.
11.已知函数f(x)=sin xcosx+π6,x∈R.
(1)将f(x)的图象向右平移π6个单位,得到g(x)的图象,求g(x)的单调递增区间.
(2)若f(α)=-512,且0<α<π2,求sin 2α的值.
【解析】(1)f(x)=sin x32cosx-12sinx
=32sin xcos x-12sin2x=34sin 2x-1-cos2x4
=1232sin2x+12cos2x-14
=12sin2x+π6-14,
所以g(x)=12sin2x-π6-14,
所以-π2+2kπ<2x-π6<π2+2kπ
⇒-π6+kπ0)个单位长度,若所得图象过点π3,12,则φ的最小值为 ( )
A.π12 B.π6 C.π4 D.π3
【解析】选C.移动后y=sin 2(x-φ)=sin(2x-2φ)经过点π3,12,则sin2π3-2φ=12,解之得2π3-2φ=π6+2kπ或2π3-2φ=5π6+2kπ,k∈Z,
所以φ=π4-kπ或φ=-π12-kπ,k∈Z
因为φ>0,所以φ的最小值为π4.
【加固训练】
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)|φ|<π2,ω>0的图象在y轴右侧的第一个最高点为Pπ6,1,在原点右侧与x轴的第一个交点为Q5π12,0,则fπ6的值为________.
【解析】f(x)=sin(ωx+φ),由题意得T4=5π12-π6,所以T=π,所以ω=2,将点Pπ6,1代入f(x)=sin(2x+φ),得sin2π6+φ=1,所以φ=π6+2kπ(k∈Z).
又|φ|<π2,所以φ=π6,即f(x)=sin2x+π6(x∈R),所以fπ6=sin2π6+π6=1.
答案:1
2.函数f(x)=Asinωx+π6(ω>0)的图象与x轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列,若要得到函数g(x)=Asin ωx的图象,只要将f(x)的图象
( )
A.向左平移π6个单位 B.向右平移π6个单位
C.向左平移π12个单位 D.向右平移π12个单位
【解析】选D.正弦函数图象与x轴相邻交点横坐标相差为半个周期,即d=T2=πω,又因为d=π2,所以ω=2,则f(x)=Asinωx+π6=Asin2x+π12,所以只要将函数f(x)的图象向右平移π12个单位就能得到g(x)=sin ωx的图象.
3.(2018濮阳一模) 先将函数f(x)=sin x的图象上的各点向左平移π6个单位,再将各点的横坐标变为原来的1ω倍(其中ω∈N*),得到函数g(x)的图象,若g(x)在区间π6,π4上单调递增,则ω的最大值为__________.
【解题指南】当图象是先平移再伸缩时,注意是x前的系数改变,与φ无关,函数在π6,π4上单调递增,即先求ωx+π6的范围,其是函数y=sin x单调递增区间的子集,求出ω的范围,确定最大值.
【解析】g(x)=sinωx+π6在区间π6,π4上单调递增,
所以有π6ω+π6≥2kπ-π2,π4ω+π6≤2kπ+π2,即12k-4≤ω≤8k+43,k∈Z,
由12k-4≤8k+43可得k≤43,
当k=1时,ω∈8,283,所以正整数ω的最大值是9.
答案:9
4.如图,M(xM,yM),N(xN,yN)分别是函数f(x)=Asin(2x+φ)(A>0)的图象与两条直线l1:y=m(A≥m≥0),l2:y=-m的两个交点,|xM-xN|=________.
【解题指南】设出另外两个交点和对称轴,根据对称性求解.
【解析】如图所示,作曲线y=f(x)的对称轴x=x1,x=x2,点M与点D关于直线x=x1对称,点N与点C关于直线x=x2对称,
所以xM+xD=2x1,xC+xN=2x2 ,所以xD=2x1-xM,xC=2x2-xN,又点M与点C,点D与点N都关于点B对称,
所以xM+2x2-xN=2xB,2x1-xM+xN=2xB,
所以xM-xN=2(xB-x2)=-T2,
所以|xM-xN|=T2=π2.
答案:π2
5.已知函数f(x)=cos x(sin x+cos x)-12.
(1)若0<α<π2,且sin α=22,求f(α)的值.
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.
【解析】(1)因为0<α<π2,sin α=22,所以cos α=22,
所以f(α)=2222+22-12=12.
(2)因为f(x)=sin xcos x+cos2x-12
=12sin 2x+1+cos2x2-12
=12sin 2x+12cos 2x
=22sin2x+π4,
所以T=2π2=π.
由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2,k∈Z,
得kπ-3π8≤x≤kπ+π8,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为kπ-3π8,kπ+π8,k∈Z.
6.已知函数f(x)=sinωx+φω>0,0≤φ≤π2图象的相邻两对称轴之间的距离为π2,且在x=π8时取得最大值1.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)当x∈0,98π时,若方程f(x)=a恰好有三个根,分别为x1,x2,x3,求x1+x2+x3的取值范围.
【解析】(1)T2=π2⇒T=π⇒2πω=π⇒ω=2,
所以sin2π8+φ=sinπ4+φ=1,
所以π4+φ=2kπ+π2,k∈Z,
所以φ=2kπ+π4,k∈Z,
因为0≤φ≤π2,所以φ=π4,
所以f(x)=sin2x+π4.
(2)画出该函数的图象如图,
当22≤a<1时,方程f(x)=a恰好有三个根,且点(x1,a)和(x2,a)关于直线x=π8对称,点(x2,a)和(x3,a)关于直线x=5π8对称,所以x1+x2=π4,π≤x3<9π8,所以5π4≤x1+x2+ x3<11π8.
7.已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos x的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移π2个单位长度.
(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程.
(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)内有两个不同的解α,β.
①求实数m的取值范围;
②证明:cos(α-β)=2m25-1.
【解析】(1)将g(x)=cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cos x的图象,再将y=2cos x的图象向右平移π2个单位长度后得到y=2cosx-π2的图象,故f(x)=2sin x,
从而函数f(x)=2sin x图象的对称轴方程为x=kπ+π2(k∈Z).
(2)①f(x)+g(x)=2sin x+cos x
=525sinx+15cosx
=5sin(x+φ)其中sinφ=15,cosφ=25
依题意,sin(x+φ)=m5在区间[0,2π)内有两个不同的解α,β,当且仅当m5<1,故m的取值范围是(-5,5).
② 因为α,β是方程5sin(x+φ)=m在区间[0,2π)内有两个不同的解,所以sin(α+φ)=m5,sin(β+φ)=m5.
当1≤m<5时,α+β=2π2-φ,
即α+φ=π-(β+φ);
当-5
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