2018-2019学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.4.2 空间图形的公理（二）训练案 北师大版必修2.doc

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1.4.2 空间图形的公理（二） [A.基础达标] 1．下列命题中，真命题的个数是(　　) ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等； ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； ④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行． A．1　　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：选B.①这两个角也可能互补，故①是错误的；②是正确的，它是等角定理的推广和延伸．③空间两条直线的垂直包括异面垂直，此时两个角有可能不相等且不互补，故③是错误的．④是公理4，是正确的．所以结论正确的个数为2. 2．已知直线a，b，c，下列说法正确的是(　　) A．a∥b，b∥c，则a∥c B．a与b异面，b与c异面，则a与c异面 C．a与b相交，b与c相交，则a与c相交 D．a与b所成的角与b与c所成的角相等，则a∥c 解析：选A.A是公理4的内容．如图正方体中，AB，A1B1都与CC1异面，但AB与A1B1不异面，B错，AB，A1B1都与BB1相交，但AB与A1B1不相交，C错；AB，BC都与DD1成90角，但AB与BC不平行，D错． 3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别为边B1C1，C1C，A1A，AD的中点，则EF与GH(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．不能确定 解析：选A.连接A1D，B1C，由三角形的中位线性质可得 GH∥A1D，EF∥B1C， 又因为在正方体中A1D∥B1C， 所以GH∥EF. 4．一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条(　　) A．相交 B．异面 C．相交或异面 D．平行 解析：选C.如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1相交，与BC异面． 5．已知空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列判断正确的是(　　) A．MN≥(AC＋BD) B．MN≤(AC＋BD) C．MN＝(AC＋BD) D．MN＜(AC＋BD) 解析：选D.如图，取BC的中点H，连接MH，HN，MN，据题意有MH＝AC，MH∥AC，HN＝BD，HN∥BD.在△MNH中，由两边之和大于第三边知，MN＜MH＋HN＝(AC＋BD)． 6．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线， (1)∠DBC的两边与∠________的两边分别平行且方向相同； (2)∠DBC的两边与∠________的两边分别平行且方向相反． 答案：(1)D1B1C1　(2)A1D1B1 7．如图所示是正方体的平面展开图，则在这个正方体中， ①BM与ED是异面直线； ②CN与BE是异面直线． 以上两个结论中，正确的是________(填序号)． 解析：在正方体中，直线间的关系比较清楚，所以可以把原图还原为正方体，找出相应直线间的关系． 答案：① 8．如图，在正方体AC1中，AA1与B1D所成角的余弦值是________． 解析：因为B1B∥A1A，所以∠BB1D就是异面直线AA1与B1D所成的角，连接BD. 在Rt△B1BD中，设棱长为1，则B1D＝. cos ∠BB1D＝＝＝. 所以AA1与B1D所成的角的余弦值为. 答案： 9．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点． 求证：(1)D1E∥BF； (2)∠B1BF＝∠D1EA1. 证明：(1)取BB1的中点M，连接EM，C1M. 在矩形ABB1A1中，易得EM＝A1B1，EM∥A1B1. 因为A1B1＝C1D1，且A1B1∥C1D1， 所以EM＝C1D1，且EM∥C1D1. 所以四边形EMC1D1为平行四边形． 所以D1E∥C1M. 在矩形BCC1B1中，易得MB＝C1F，且MB∥C1F. 所以四边形BFC1M为平行四边形，所以BF∥C1M， 所以D1E∥BF. (2)由(1)知，ED1∥BF，BB1∥EA1，又∠B1BF与∠D1EA1的对应边方向相同， 所以∠B1BF＝∠D1EA1. 10．如图，ABEDFC为多面体，点O在棱AD上，OA＝1，OD＝2，在侧面ACFD中，△OAC和△ODF为正三角形，在底面ABED中，△OAB和△ODE也都是正三角形，求证：直线BC∥EF. 证明：设G是线段DA与线段EB延长线的交点，由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以OB∥DE，OB＝DE，所以OG＝OD＝2.同理，设G′是线段DA与线段FC延长线的交点，有OG′＝OD＝2，又由于G与G′都在线段DA的延长线上，所以G与G′重合，在△GED和△GFD中，由OB∥DE，OB＝DE和OC∥DF，OC＝DF，可知B，C分别是GE，GF的中点，所以BC是△GFE的中位线，故BC∥EF. [B.能力提升] 1．已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF和CD所成的角是(　　) A．90 B．45 C．60 D．30 解析：选D.如图，作FG∥CD交BC于G，连接EG，则EG∥AB，故∠EFG(或其补角)为EF和CD所成的角． 因为EF⊥AB，所以EF⊥EG. 又因为AB＝2，CD＝4，所以EG＝1，FG＝2. 所以sin∠EFG＝. 所以∠EFG＝30. 2．正方体的一条体对角线与正方体的棱可组成n对异面直线，则n等于(　　) A．2 B．3 C．6 D．12 解析：选C.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，与AC1异面的棱有BC，CD，A1D1，A1B1，BB1和DD1.故选C. 3．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下结论： ①直线AM与CC1是相交直线； ②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线； ④直线AM与DD1是异面直线． 其中正确的结论为________(把你认为正确的结论的序号都填上)． 解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，直线BN与MB1是异面直线，直线AM与DD1是异面直线，故①②错误，③④正确． 答案：③④ 4．下列命题中正确的是________． ①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内； ②若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线； ③如果两条异面直线中一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交； ④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面； ⑤若平面α∥平面β，直线aα，直线bβ，则直线a∥b. 解析：①是公理1，所以①是正确的；②中，直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面，所以②是错误的；③中，异面直线中的另一条和该平面的关系不能具体确定，它们可以相交，可以平行，还可以在该平面内，所以③是错误的；④中，直线l与平面α没有公共点，所以直线l与平面α内的直线平行或异面，所以④是正确的；⑤中，分别在两个平行平面内的直线可以平行，也可以异面，所以⑤是错误的． 答案：①④ 5．如图所示，设E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且＝＝λ，＝＝μ，求证： (1)当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形； (2)当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形． 证明：在△ABD中，＝＝λ. 所以EH∥BD，且EH＝λBD. 在△CBD中，＝＝μ， 所以FG∥BD，且FG＝μBD，所以EH∥FG， 所以顶点E，F，G，H在由EH和FG确定的平面内． (1)当λ＝μ时，EH＝FG，故四边形EFGH为平行四边形； (2)当λ≠μ时，EH≠FG，故四边形EFGH是梯形． 6．(选做题)如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点． (1)求证：四边形BCHG是平行四边形； (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？ 解：(1)证明：因为G，F分别为FA，FD的中点， 所以GH綊AD. 又BC綊AD，所以GH綊BC， 所以四边形BCHG为平行四边形． (2)由BE綊AF，G为FA的中点知，BE綊FG， 所以四边形BEFG为平行四边形， 所以EF∥BG. 由(1)知BG綊CH，所以EF∥CH， 所以EF与CH共面． 又D∈FH，所以C，D，F，E四点共面．