山东省齐河县高考数学三轮冲刺 专题 直线的方程练习（含解析）.doc

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直线的方程 一、选择题（本大题共12小题，共60分） 1. 若直线l1：(m-2)x-y-1=0，与直线l2：3x-my=0互相平行，则m的值等于( ) A. 0或-1或3 B. 0或3 C. 0或-1 D. -1或3 （正确答案）D 解：m=0时，两条直线方程分别化为：-2x-y-1=0，x=0，此时两条直线不平行，舍去． m≠0，由于l1//l2，则m-23=-1-m，解得m=-1或3，经过验证满足条件． 综上可得：m=-1或3． 故选：D． 对m分类讨论，利用两条直线相互平行的条件即可得出． 本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题． 2. 已知直线l1：x+my+7=0和l2：(m-2)x+3y+2m=0互相平行，则实数m=( ) A. m=-1或3 B. m=-1 C. m=-3 D. m=1或m=-3 （正确答案）A 解：由m(m-2)-3=0，解得m=3或-1． 经过验证都满足两条直线平行，∴m=3或-1． 故选：A． 由m(m-2)-3=0，解得m.经过验证即可得出． 本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3. 已知直线ax+3y-1=0与直线3x-y+2=0互相垂直，则a=( ) A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 （正确答案）C 解：∵直线ax+3y-1=0与直线3x-y+2=0互相垂直， ∴a⋅3+3⋅(-1)=0，解得a=1 故选：C 由直线的垂直关系可得a的方程，解方程可得a值． 本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题． 4. 在直角坐标平面内，过定点P的直线l：ax+y-1=0与过定点Q的直线m：x-ay+3=0相交于点M，则|MP|2+|MQ|2的值为( ) A. 102 B. 10 C. 5 D. 10 （正确答案）D 【分析】 由已知得P(0,1)，Q(-3,0)，过定点P的直线ax+y-1=0与过定点Q的直线x-ay+3=0垂直，M位于以PQ为直径的圆上，由此能求出|MP|2+|MQ|2的值． 【解答】 解：∵在平面内，过定点P的直线ax+y-1=0与过定点Q的直线x-ay+3=0相交于点M， ∴P(0,1)，Q(-3,0)， ∵过定点P的直线ax+y-1=0与过定点Q的直线x-ay+3=0垂直， ∴M位于以PQ为直径的圆上， ∵|PQ|=9+1=10， ∴|MP|2+|MQ|2=10， 故选D． 5. 如果直线l1：2x-y-1=0与直线l2：2x+(a+1)y+2=0平行，那么a等于( ) A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 （正确答案）A 解：∵直线l1：2x-y-1=0与直线l2：2x+(a+1)y+2=0平行， ∴a+1=-1，解得a=-2． 故选：A． 直接由两直线平行的条件列式求解a的值． 本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，关键是熟记由直线的一般式方程得到直线平行的条件，是基础题． 6. 已知直线l1：(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2：2(k-3)x-2y+3=0平行，则k的值是( ) A. 1或3 B. 1或5 C. 3或5 D. 1或2 （正确答案）C 解：由两直线平行得，当k-3=0时，两直线的方程分别为 y=-1 和y=32，显然两直线平行． 当k-3≠0时，由 k-32(k-3)=4-k-2≠13，可得k=5.综上，k的值是3或5， 故选C． 当k-3=0时，求出两直线的方程，检验是否平行；当k-3≠0时，由一次项系数之比相等且不等于常数项之比，求出k的值． 本题考查由直线的一般方程求两直线平行时的性质，体现了分类讨论的数学思想． 7. 直线x+2ay-1=0与(a-1)x-ay+1=0平行，则a的值为( ) A. 12 B. 12或0 C. 0 D. -2或0 （正确答案）A 解：当a=0时，两直线重合； 当a≠0时，由a-11=-a2a≠1-1，解得a=12， 综合可得，a=12， 故选：A． 当a=0时，检验两直线是否平行，当a≠0时，由一次项系数之比相等但不等于常数项之比，求出a的值． 本题考查两直线平行的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题． 8. 过点(1,2)且与直线y=2x+1垂直的直线的方程为( ) A. x+2y-3=0 B. 2x-y+4=0 C. x+2y+3=0 D. x+2y-5=0 （正确答案）D 解：与直线y=2x+1垂直的直线方程的斜率k=-12， ∵直线过点(1,2)， ∴所求直线的方程为y-2=-12(x-1)， 整理，得x+2y-5=0． 故选：D． 与直线y=2x垂直的直线方程的斜率k=-12，直线过点(1,2)，由此能求出直线方程． 本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线间位置关系的合理运用． 9. 过点P(-2,2)作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l一共有( ) A. 3条 B. 2条 C. 1条 D. 0条 （正确答案）C 解：假设存在过点P(-2,2)的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8， 设直线l的方程为：xa+yb=1， 则-2a+2b=1． 即2a-2b=ab 直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积S=-12ab=8， 即ab=-16， 联立2a-2b=abab=-16， 解得：a=-4，b=4． ∴直线l的方程为：x-4+y4=1， 即x-y+4=0， 即这样的直线有且只有一条， 故选：C 设直线l的方程为：xa+yb=1，结合直线过点P(-2,2)且在第二象限内围成的三角形面积为8，构造方程组，解得直线方程，可得答案． 本题考查了直线的截距式、三角形的面积计算公式，属于基础题． 10. 直线x+(l-m)y+3=0(m为实数)恒过定点( ) A. (3,0) B. (0,-3) C. (-3,0) D. (-3,1) （正确答案）C 解：令x+3=0(1-m)y=0， 解得：x=-3y=0， 故直线恒过定点(-3,0)， 故选：C． 令x+3=0(1-m)y=0，可得直线恒过定点的坐标． 本题考查了直线系的应用，属于基础题． 11. 过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( ) A. 2x+y-3=0 B. 2x-y-3=0 C. 4x-y-3=0 D. 4x+y-3=0 （正确答案）A 解：因为过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为(1,1)，显然B、D选项不过(1,1)，B、D不满足题意；另一个切点的坐标在(1,-1)的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足． 故选A． 由题意判断出切点(1,1)代入选项排除B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可． 本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学习． 12. 已知三条直线2x-3y+1=0，4x+3y+5=0，mx-y-1=0不能构成三角形，则实数m的取值集合为( ) A. {-43,23} B. {43,-23} C. {-43,23,43} D. {-43,-23,23} （正确答案）C 解：∵三条直线不能围成一个三角形， ∴(1)l1//l3，此时m=23； l2//l3，此时m=-43； (2)三点共线时也不能围成一个三角形 2x-3y+1=0与4x+3y+5=0交点是(-1,-13) 代入mx-y-1=0，则m=43． 故选：C． 三条直线若两两相交围成一个三角形，则斜率必不相同；否则，只要有两条直线平行，或三点共线时不能构成三角形． 本题考查两直线平行的条件，当斜率相等且截距不相等时两直线平行.属于基础题． 二、填空题（本大题共4小题，共20分） 13. 若k，-1，b三个数成等差数列，则直线y=kx+b必经过定点______ ． （正确答案）(1,-2) 解：若k，-1，b三个数成等差数列，则有k+b=-2，即-2=k1+b，故直线y=kx+b必经过定点(1,-2)， 故答案为(1,-2)． 由条件可得 k+b=-2，即-2=k1+b，故直线y=kx+b必经过定点(1,-2)． 本题主要考查等差数列的定义和性质，直线过定点问题，属于基础题． 14. 若直线(m-1)x-y+2=0与直线3x+my+3=0垂直，则实数m的值等于______． （正确答案）32 解：直线(m-1)x-y+2=0的斜率为k1=m-1，直线3x+my+3=0的斜率为k2=-3m ∵直线(m-1)x-y+2=0与直线3x+my+3=0垂直， ∴(m-1)(-3m)，解得m=32， 故答案为32． 根据两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0，解方程求得m的值． 本题主要考查两直线垂直的性质，两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0，属于基础题． 15. 已知直线l1：2x-2y+1=0，直线l2：x+by-3=0，若l1⊥l2，则b= ______ ；若l1//l2，则两直线间的距离为______ ． （正确答案）1；724 解：①∵l1⊥l2，则-2-2(-1b)=-1，解得b=1． ②若l1//l2，则-2-2=-1b，解得b=-1.∴两条直线方程分别为：x-y+12=0，x-y-3=0． 则两直线间的距离=|-3-12|2=724． 故答案为：1，724． ①由l1⊥l2，则-2-2(-1b)=-1，解得b． ②若l1//l2，则-2-2=-1b，解得b.利用平行线之间的距离公式即可得出． 本题考查了平行与相互垂直的充要条件和平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 16. 如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=a-7平行，则a=______． （正确答案）3 解：∵直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=a-7平行， ∴a3=2a-1≠-3aa-7， 解得a=3． 故答案为：3． 利用直线与直线平行的性质直接求解． 本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 三、解答题（本大题共3小题，共30分） 17. △ABC的三个顶点为A(-3,0)，B(2,1)，C(-2,3)，求： (1)BC所在直线的方程； (2)BC边上中线AD所在直线的方程； (3)BC边上的垂直平分线DE的方程． （正确答案）解：(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(-2,3)两点，由两点式得BC的方程为y-1=3-1-2-2(x-2)，即x+2y-4=0． (2)设BC中点D的坐标为(x,y)，则x=2-22=0，y=1+32=2． BC边的中线AD过点A(-3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为x-3+y2=1，即2x-3y+6=0． (3)BC的斜率k1=-12，则BC的垂直平分线DE的斜率k2=2，由斜截式得直线DE的方程为y=2x+2． (1)利用B和C的坐标直接求出直线方程即可；(2)根据中点坐标公式求出B与C的中点D的坐标，利用A和D的坐标写出中线方程即可；(3)求出直线BC的斜率，然后根据两直线垂直时斜率乘积为-1求出BC垂直平分线的斜率，由(2)中D的坐标，写出直线DE的方程即可． 18. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x-3y-6=0点T(-1,1)在AD边所在直线上． (Ⅰ)求AD边所在直线的方程； (Ⅱ)求矩形ABCD外接圆的方程； (Ⅲ)若动圆P过点N(-2,0)，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程． （正确答案）解：(I)因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为-3 又因为点T(-1,1)在直线AD上， 所以AD边所在直线的方程为y-1=-3(x+1)． 3x+y+2=0． (II)由3x+y+2=0x-3y-6=0解得点A的坐标为(0,-2)， 因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)． 所以M为矩形ABCD外接圆的圆心． 又|AM|=(2-0)2+(0+2)2=22． 从而矩形ABCD外接圆的方程为(x-2)2+y2=8． (III)因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切， 所以|PM|=|PN|+22， 即|PM|-|PN|=22． 故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为22的双曲线的左支． 因为实半轴长a=2，半焦距c=2． 所以虚半轴长b=c2-a2=2． 从而动圆P的圆心的轨迹方程为x22-y22=1(x≤-2)． (I)先由AD与AB垂直，求得AD的斜率，再由点斜式求得其直线方程； (II)先求得其圆心和半径，再由圆的标准方程求解； (III)由圆心距等于两半径之和，抽象出双曲线的定义从而求得轨迹方程． 本题主要考查直线方程的求法，平面图形外接圆的求法和轨迹方程的求法． 19. 已知直线l过点(1,2)且在x，y轴上的截距相等 (1)求直线l的一般方程； (2)若直线l在x，y轴上的截距不为0，点p(a,b)在直线l上，求3a+3b的最小值． （正确答案）解：(1)①当直线过原点时，直线的方程为y=2x， ②当直线不过原点时，设直线的方程为xa+ya=1， 代入点P(1,2)，解得：a=3， 则直线的方程为x+y-3=0， 综上，直线的方程为y=2x，或x+y-3=0； (2)由题意得l：x+y-3=0，∴a+b=3， ∴3a+3b≥23a⋅3b=23a+b=63， ∴3a+3b的最小值为63， 当a=b=32时，等号成立． (1)通过讨论直线过原点和直线不过原点时的情况，求出直线方程即可； (2)求出a+b=3，根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可． 本题考查了求直线方程以及基本不等式的性质的应用，考查转化思想，是一道中档题．