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课时跟踪训练(十七) 回归分析的基本思想及其初步应用
(时间45分钟)
题型对点练(时间20分钟)
题组一 求线性回归方程
1．已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归方程为＝x＋.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )
A.>b′，>a′ B.>b′，
a′ D.，a′＝－2<.
[答案] C
2．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)，由这两个散点图可以判断( )
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
[解析] 夹在带状区域内的点，总体呈上升趋势的属于正相关，总体呈下降趋势的属于负相关．由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关，故选C.
[答案] C
3．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程＝x＋，其中＝－20，＝－；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
[解] (1)由于＝(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，
＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.
所以＝－＝80＋208.5＝250，从而回归直线方程为＝－20x＋250.
(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1000＝－202＋361.25.
当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．
题组二 线性回归分析
4．对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是( )
[解析] 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．
[答案] A
5．在回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和( )
A．越大 B．越小
C．可能大也可能小 D．以上均错
[解析] 因为R2＝1－，所以当R2越大时，(yi－i)2越小，即残差平方和越小．
[答案] B
6．通过下面的残差图，我们发现在采集样本点的过程中，样本点数据不准确的为( )
A．第四个 B．第五个 C．第六个 D．第七个
[解析] 由题图可知第六个数据的偏差最大，故选C.
[答案] C
7．在一段时间内，某淘宝网店一种商品的销售价格x元和日销售量y件之间的一组数据为：
价格x元
22
20
18
16
14
日销售量y件
37
41
43
50
56
求出y关于x的回归方程，并说明该方程拟合效果的好坏．
参考数据：xiyi＝3992，x＝1660.
[解] 作出散点图(此处略)，观察散点图，可知这些点散布在一条直线的附近，故可用线性回归模型来拟合数据．
因为＝＝18，
＝＝45.4.
所以＝＝－2.35，
＝45.4－(－2.35)18＝87.7.
所以回归方程为＝－2.35x＋87.7.
yi－i与yi－的值如下表：
yi－i
1
0.3
－2.4
－0.1
1.2
yi－
－8.4
－4.4
－2.4
4.6
10.6
计算得(yi－i)2＝8.3，
(yi－)2＝229.2，
所以R2＝1－≈0.964.
因为0.964很接近于1，所以该模型的拟合效果比较好．
题组三 非线性回归分析
8．若一函数模型为y＝sin2α＋2sinα＋1，为将y转化为t的回归直线方程，则需做变换t＝( )
A．sin2α B．(sinα＋1)2
C.2 D．以上都不对
[解析] 因为y是关于t的回归直线方程，实际上就是y是关于t的一次函数，又因为y＝(sinα＋1)2，若令t＝(sinα＋1)2，则可得y与t的函数关系式为y＝t，此时变量y与变量t是线性相关关系．故选B.
[答案] B
9．在彩色显影中，由经验可知：形成染料光学密度y与析出银的光学密度x由公式y＝Ae (b<0)表示．现测得试验数据如下：
xi
0.05
0.06
0.25
0.31
0.07
0.10
yi
0.10
0.14
1.00
1.12
0.23
0.37
xi
0.38
0.43
0.14
0.20
0.47
yi
1.19
1.25
0.59
0.79
1.29
试求y对x的回归方程．
[解] 由题意知，对于给定的公式y＝Ae(b<0)两边取自然对数，得lny＝lnA＋，与线性回归方程相对照可以看出，只要取u＝，v＝lny，a＝lnA，就有v＝a＋bu.
这是v对u的线性回归直线方程，对此我们再套用相关性检验，求回归系数b和a.题目中所给的数据由变量置换u＝，v＝lny，变为如下表所示的数据.
ui
20.000
16.667
4.000
3.226
14.286
10.000
vi
－2.303
－1.966
0
0.113
－1.470
－0.994
ui
2.632
2.326
7.143
5.000
2.128
vi
0.174
0.223
－0.528
－0.236
0.255
可求得b≈－0.146，a≈0.548，
∴＝0.548－0.146u.
综合提升练(时间25分钟)
一、选择题
1．如图所示是四个残差图，其中回归模型的拟合效果最好的是( )
[解析] 选项A与B中的残差图都是水平带状分布，并且选项B的残差图散点分布集中，在更狭窄的范围内，所以B中回归模型的拟合效果最好，选B.
[答案] B
2．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元
[解析] 样本点的中心是(3.5,42)，则＝－＝42－9.43.5＝9.1，所以回归直线方程是＝9.4x＋9.1，把x＝6代入得＝65.5.
[答案] B
3．某饮料店的日销售收入y(单位：百元)与当天平均气温x(单位：度)之间有下列数据：
x
－2
－1
0
1
2
y
5
4
2
2
1
甲、乙、丙三位同学对上述数据进行了研究，分别得到了x与y之间的三个线性回归方程：①＝－x＋2.8，②＝－x＋3，③＝－1.2x＋2.6；其中正确的是( )
A．① B．② C．③ D．①③
[解析] 回归方程＝x＋表示的直线必过点(，)，即必过点(0,2.8)，而给出的三个线性回归方程中，只有①表示的直线过点(0,2.8)，故正确的是①，故选A.
[答案] A
二、填空题
4．在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得相关指数R2≈0.85，则表明气温解释了________的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余的________，所以气温对热茶销售杯数的效应比随机误差的效应大得多．
[解析] 由相关指数R2的意义可知，R2≈0.85表明气温解释了85%，而随机误差贡献了剩余的15%.
[答案] 85% 15%
5．某种商品的广告费支出x与销售额y之间有如下关系：(单位：万元)
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
y与x的线性回归方程为＝6.5x＋17.5，当广告费支出5万元时，残差为________．
[解析] 当广告费x＝5时，＝6.55＋17.5＝50，残差为60－50＝10.
[答案] 10
三、解答题
6．在一段时间内，某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据为：
价格x
1.4
1.6
1.8
2
2.2
需求量y
12
10
7
5
3
(1)画出散点图；
(2)求出y对x的线性回归方程；
(3)如果价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少．
[解] (1)散点图如图所示．
(2)采用列表的方法计算与.
＝9＝1.8，
＝37＝7.4，
＝＝＝－11.5，
＝－ ＝7.4＋11.51.8＝28.1，
所以y对x的线性回归方程为＝＋x＝28.1－11.5x.
(3)当x＝1.9时，＝28.1－11.51.9＝6.25(t)，
所以价格定为1.9万元时，需求量大约是6.25 t.
7．已知某种商品的价格x(单位：元/件)与需求量y(单位：件)之间的关系有如下一组数据：
x
14
16
18
20
22
y
12
10
7
5
3
求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏．
[解] ＝(14＋16＋18＋20＋22)＝18，＝(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，
x＝142＋162＋182＋202＋222＝1660，
y＝122＋102＋72＋52＋32＝327，
xiyi＝1412＋1610＋187＋205＋223＝620，
所以＝＝＝－1.15，
＝7.4＋1.1518＝28.1，
所以所求回归直线方程是＝－1.15x＋28.1.
列出残差表：
yi－i
0
0.3
－0.4
－0.1
0.2
yi－
4.6
2.6
－0.4
－2.4
－4.4
所以(yi－i)2＝0.3，
(yi－)2＝53.2，
R2＝1－≈0.994，
所以回归模型的拟合效果很好．
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