2018版高中数学 第一章 计数原理 课时作业6 组合的综合应用(习题课) 新人教A版选修2-3.doc

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课时作业 6　组合的综合应用(习题课) |基础巩固|(25分钟，60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数．则不同的取法共有(　　) A．60种　B．63种 C．65种 D．66种 解析：和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数有C＝1种取法，取2奇数2偶数有CC＝60种取法，取4个数均为奇数有C＝5种取法，故共有1＋60＋5＝66种不同的取法． 答案：D 2．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有(　　) A．12种 B．10种 C．9种 D．8种 解析：将4名学生均分为2个小组共有＝3种分法，将2个小组的同学分给两名教师共有A＝2种分法， 最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A＝2种分法，故不同的安排方案共有322＝12种． 答案：A 3．某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案共有(　　) A．16种 B．36种 C．42种 D．60种 解析：若选择了两个城市，则有CCA＝36种投资方案；若选择了三个城市，则有CA＝24种投资方案，因此共有36＋24＝60种投资方案． 答案：D 4．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为(　　) A．360 B．520 C．600 D．720 解析：分两类：第一类，甲、乙中只有一人参加，则有CCA＝21024＝480种选法． 第二类，甲、乙都参加时，则有C(A－AA)＝10(24－12)＝120种选法． ∴共有480＋120＝600种选法． 答案：C 5．登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是(　　) A．60 B．120 C．240 D．480 解析：先将4个熟悉道路的人平均分成两组有种．再将余下的6人平均分成两组有种．然后这四个组自由搭配还有A种，故最终分配方法有CC＝60(种)． 答案：A 二、填空题(每小题5分，共15分) 6．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案有________种(用数字作答)． 解析：先从7人中选6人参加公益活动有C种选法，再从6人中选3人在周六参加有C种选法，剩余3人在周日参加，因此有CC＝140种不同的安排方案． 答案：140 7．房间里有5个电灯，分别由5个开关控制，至少开一个灯用以照明，则不同的开灯方法种数为________． 解析：因为开灯照明只与开灯的多少有关，而与开灯的先后顺序无关，这是一个组合问题． 开1个灯有C种方法，开2个灯有C种方法……5个灯全开有C种方法，根据分类加法计数原理，不同的开灯方法有C＋C＋…＋C＝31种． 答案：31 8．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)． 解析：有CCA＝36种满足题意的分配方案．其中C表示从3个乡镇中任选定1个乡镇，且其中某2名大学生去的方法数；C表示从4名大学生中任选2名到上一步选定的乡镇的方法数；A表示将剩下的2名大学生分配到另两个乡镇去的方法数． 答案：36 三、解答题(每小题10分，共20分) 9．从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲，分别按下列要求，各有多少种不同选法？(用数字作答) (1)男、女同学各2名． (2)男、女同学分别至少有1名． (3)在(2)的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出． 解析：(1)(CC)A＝1 440， 所以男、女同学各2名共有1 440种选法． (2)(CC＋CC＋CC)A＝2 880， 所以男、女同学分别至少有1名共有2 880种选法， (3)[120－(C＋CC＋C)]A＝2 376， 所以在(2)的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出共有2 376种选法． 10．有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ 解析：方法一：(直接法)从0与1两个特殊值着眼，可分三类： (1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C种方法；0可在后两位，有C种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有CCC22个． (2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数有C22A个． (3)0和1都不取，有不同的三位数C23A个． 综上所述，共有不同的三位数： CCC22＋C22A＋C23A＝432(个)． 方法二：(间接法)任取三张卡片可以组成不同的三位数C23A个，其中0在百位的有C22A个，这是不合题意的，故共有不同的三位数：C23A－C22A＝432(个)． |能力提升|(20分钟，40分) 11．由两个1，两个2，两个3组成的6位数的个数为(　　) A．45 B．90 C．120 D．360 解析：问题等价于从6个位置中各选出2个位置填上相同的1,2,3，所以由分步计数原理有CCC＝90(个)不同的六位数，故选B. 答案：B 12. 如图所示的四棱锥中，顶点为P，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点P在同一平面内，不同的取法种数为________． 解析：满足要求的点的取法可分为三类： 第一类，在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点，有4C种取法； 第二类，在两条相对侧棱上除点P外任取3点，有2C种取法； 第三类，过点P的侧棱中，每一条上的三点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面，有4C种取法． 所以，满足题意的不同取法共有4C＋2C＋4C＝56(种)． 答案：56 13．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)只有一名女生； (2)两队长当选； (3)至少有一名队长当选； (4)至多有两名女生当选； (5)既要有队长，又要有女生当选． 解析：(1)一名女生，四名男生，故共有CC＝350(种)选法． (2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有CC＝165(种)选法． (3)至少有一名队长当选含有两类：有一名队长当选和两名队长都当选．故共有CC＋CC＝825(种)选法．或采用间接法：C－C＝825(种)． (4)至多有两名女生含有三类：有两名女生，只有一名女生，没有女生．故共有CC＋CC＋C＝966(种)选法． (5)分两类：第一类，女队长当选，有C种选法；第二类，女队长不当选，有CC＋CC＋CC＋C(种)选法，故选法共有C＋CC＋CC＋CC＋C＝790(种)． 14．已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点， (1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？ (2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？ (3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同体积的三棱锥？ 解析：(1)所作出的平面有三类： ①α内1点，β内2点确定的平面，有CC个． ②α内2点，β内1点确定的平面，有CC个． ③α，β本身． 故所作的平面最多有CC＋CC＋2＝98(个)． (2)所作的三棱锥有三类： ①α内1点，β内3点确定的三棱锥，有CC个． ②α内2点，β内2点确定的三棱锥，有CC个． ③α内3点，β内1点确定的三棱锥，有CC个． ∴最多可作出的三棱锥有： CC＋CC＋CC＝194(个)． (3)∵当等底面积，等高的情况下三棱锥体积才能相等， ∴体积不相同的三棱锥最多有C＋C＋CC＝114(个)．