2018-2019学年高中物理 第六章 万有引力与航天 4 万有引力理论的成就学案 新人教版必修2.doc

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4　万有引力理论的成就 [学习目标]　1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用.2.了解“称量地球质量”“计算太阳质量”的基本思路，会用万有引力定律计算天体的质量.3.理解运用万有引力定律处理天体运动问题的思路和方法. 一、计算天体的质量 1.称量地球的质量 (1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力. (2)关系式：mg＝G. (3)结果：M＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量. 2.太阳质量的计算 (1)思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力. (2)关系式：＝mr. (3)结论：M＝，只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r就可以计算出太阳的质量. (4)推广：若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r，可计算行星的质量M. 二、发现未知天体 1.海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星. 2.其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体. 1.判断下列说法的正误. (1)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力.(　　) (2)若只知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的半径，则可以求出太阳的质量.(　　) (3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量.(　　) (4)海王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的.(　√　) (5)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道.(　　) (6)海王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性.(　√　) 2.已知引力常量G＝6.6710－11Nm2/kg2，重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半径R＝6.4106m，则可知地球的质量约为(　　) A.21018kg B.21020kg C.61022kg D.61024kg 答案　D 【考点】计算天体的质量 【题点】已知重力加速度求质量 一、天体质量和密度的计算 1.卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”. (1)他“称量”的依据是什么？ (2)若还已知地球表面重力加速度g，地球半径R，求地球的质量和密度. 答案　(1)若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力. (2)由mg＝G得，M＝ ρ＝＝＝. 2.如果知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳的距离r，能求出太阳的质量吗？若要求太阳的密度，还需要哪些量？ 答案　由＝m地r知M太＝，可以求出太阳的质量.由密度公式ρ＝可知，若要求太阳的密度还需要知道太阳的半径. 天体质量和密度的计算方法 重力加速度法 环绕法 情景 已知天体(如地球)的半径R和天体(如地球)表面的重力加速度g 行星或卫星绕中心 天体做匀速圆周运动 思路 物体在表面的重力近似等于天体(如地球)与物体间的万有引力：mg＝G 行星或卫星受到的万有 引力充当向心力： G＝m()2r (G＝m 或G＝mω2r) 天体质量 天体(如地球)质量： M＝ 中心天体质量： M＝(M＝ 或M＝) 天体密度 ρ＝＝ ρ＝＝(以T为例) 说明 利用mg＝求M是忽略了天体自转，且g为天体表面的重力加速度 由F引＝F向求M，求得的是中心天体的质量，而不是做圆周运动的天体质量 例1　假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星.若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知引力常量为G，忽略该天体的自转. (1)则该天体的密度是多少？ (2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？ 答案　(1)　(2) 解析　设卫星的质量为m，天体的质量为M. (1)卫星贴近天体表面运动时有G＝mR，M＝ 根据几何知识可知天体的体积为V＝πR3 故该天体的密度为ρ＝＝＝. (2)卫星距天体表面的高度为h时，忽略自转有 G＝m(R＋h) M＝ ρ＝＝＝ 【考点】天体密度的计算 【题点】已知周期、半径求密度 求解天体质量和密度时的两种常见错误 1.根据轨道半径r和运行周期T，求得M＝是中心天体的质量，而不是行星(或卫星)的质量. 2.混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免如ρ＝误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R. 针对训练1　过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51pegb”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕.“51pegb”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的.该中心恒星与太阳的质量的比值约为(　　) A.B.1C.5D.10 答案　B 解析　由G＝mr得M∝ 已知＝，＝，则＝()3()2≈1，B项正确. 【考点】计算天体的质量 【题点】已知周期、半径求质量 例2　有一星球的密度与地球相同，但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍，求： (1)星球半径与地球半径之比； (2)星球质量与地球质量之比. 答案　(1)4∶1　(2)64∶1 解析　(1)由＝mg得M＝，所以ρ＝＝＝，R＝，＝＝＝4. (2)由(1)可知该星球半径是地球半径的4倍.根据M＝得＝＝64. 【考点】计算天体的质量 【题点】已知重力加速度求质量 二、天体运动的分析与计算 1.基本思路：一般行星(或卫星)的运动可看做匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供，即F引＝F向. 2.常用关系： (1)G＝man＝m＝mω2r＝mr. (2)忽略自转时，mg＝G(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：gR2＝GM，该公式通常被称为“黄金代换式”. 3.天体运动的物理量与轨道半径的关系 (1)由G＝m得v＝，r越大，v越小. (2)由G＝mω2r得ω＝，r越大，ω越小. (3)由G＝m2r得T＝2π，r越大，T越大. (4)由G＝man得an＝，r越大，an越小. 例3　2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙－2251”卫星和美国的“铱－33”卫星在西伯利亚上空约805km处发生碰撞，这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件.碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境.假定有甲、乙两块碎片绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是(　　) A.甲的运行周期一定比乙的长 B.甲距地面的高度一定比乙的高 C.甲的向心力一定比乙的小 D.甲的向心加速度一定比乙的大 答案　D 解析　甲的运行速率大，由G＝m，得v＝，由此可知，甲碎片的轨道半径小，故B错；由G＝mr，得T＝，可知甲的周期小，故A错；由于未知两碎片的质量，无法判断向心力的大小，故C错；由＝man得an＝，可知甲的向心加速度比乙的大，故D对. 【考点】人造卫星各物理量与半径的关系 【题点】人造卫星各物理量与半径的关系 针对训练2　如图1所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径).下列说法中正确的是(　　) 图1 A.a、b的线速度大小之比是∶1 B.a、b的周期之比是1∶2 C.a、b的角速度大小之比是3∶4 D.a、b的向心加速度大小之比是9∶2 答案　C 解析　两卫星均做匀速圆周运动，F万＝F向. 由＝m得，＝＝＝，故A错误. 由＝mr2得＝＝，故B错误. 由＝mrω2得＝＝，故C正确. 由＝man得＝＝，故D错误. 【考点】人造卫星各物理量与半径的关系 【题点】人造卫星各物理量与半径的关系 1.(天体质量的估算)土星最大的卫星叫“泰坦”(如图2所示)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2106km，已知引力常量G＝6.6710－11Nm2/kg2，则土星的质量约为(　　) 图2 A.51017kg B.51026kg C.71033kg D.41036kg 答案　B 解析　“泰坦”围绕土星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力.G＝mr，其中T＝16243600s≈1.4106s 代入数据解得M≈51026kg. 【考点】计算天体的质量 【题点】天体质量的综合问题 2.(天体密度的计算)一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要(　　) A.测定飞船的运行周期 B.测定飞船的环绕半径 C.测定行星的体积 D.测定飞船的运行速度 答案　A 解析　取飞船为研究对象，由G＝mR及M＝πR3ρ，知ρ＝，故选A. 【考点】天体密度的计算 【题点】已知周期、半径求密度 3.(卫星各运动参量与轨道半径的关系)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高.2018年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36000km，它们都绕地球做圆周运动.与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是(　　) A.周期 B.角速度 C.线速度 D.向心加速度 答案　A 解析　“高分五号”的运动半径小于“高分四号”的运动半径，即r五ω四，故B错； v＝∝，v五>v四，故C错； an＝∝，an五>an四，故D错. 【考点】天体运动规律分析 【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律 4.(天体运动各参量的比较)如图3所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　) 图3 A.甲的向心加速度比乙的小 B.甲的运行周期比乙的小 C.甲的角速度比乙的大 D.甲的线速度比乙的大 答案　A 解析　甲、乙两卫星分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力.由牛顿第二定律G＝man＝mr＝mω2r＝m，可得an＝，T＝2π，ω＝，v＝.由已知条件可得a甲＜a乙，T甲＞T乙，ω甲＜ω乙，v甲＜v乙，故正确选项为A. 【考点】天体运动规律分析 【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律 5.(天体运动的分析与计算)如图4所示，A、B为地球周围的两颗卫星，它们离地面的高度分别为h1、h2，已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，求： 图4 (1)A的线速度大小v1； (2)A、B的角速度大小之比ω1∶ω2. 答案　(1)　(2) 解析　(1)设地球质量为M，A卫星质量为m1， 由万有引力提供向心力，对A有：＝m1① 在地球表面对质量为m′的物体有：m′g＝G② 由①②得v1＝ (2)由G＝mω2(R＋h)得，ω＝ 所以A、B的角速度大小之比＝. 【考点】天体运动规律分析 【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律 一、选择题 考点一　天体质量和密度的计算 1.已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有(　　) A.月球的质量 B.地球的质量 C.地球的半径 D.地球的密度 答案　B 解析　由天体运动规律知G＝mR可得，地球质量M＝，由于不知地球的半径，无法求地球的密度，故选项B正确. 【考点】计算天体的质量 【题点】已知周期、半径求质量 2.若地球绕太阳的公转周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球的公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由万有引力提供向心力得＝m，即M∝，所以＝. 【考点】计算天体的质量 【题点】已知周期、半径求质量 3.如图1所示是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道.若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是(　　) 图1 A.M＝，ρ＝ B.M＝，ρ＝ C.M＝，ρ＝ D.M＝，ρ＝ 答案　D 解析　设“卡西尼”号的质量为m，它围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，G＝m(R＋h)()2，其中T＝，解得M＝.又土星体积V＝πR3，所以ρ＝＝. 【考点】天体密度的计算 【题点】已知周期、半径求密度 4.2015年7月23日，美国宇航局通过开普勒太空望远镜发现了迄今“最接近另一个地球”的系外行星开普勒－452b，开普勒－452b围绕一颗类似太阳的恒星做匀速圆周运动，公转周期约为385天(约3.3107s)，轨道半径约为1.51011m，已知引力常量G＝6.6710－11Nm2/kg2，利用以上数据可以估算出类似太阳的恒星的质量约为(　　) A.1.81030kg B.1.81027kg C.1.81024kg D.1.81021kg 答案　A 解析　根据万有引力充当向心力，有G＝mr，则中心天体的质量M＝≈ kg≈1.81030 kg，故A正确. 【考点】计算天体的质量 【题点】已知周期、半径求质量 5.2018年2月，我国500m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为6.6710－11Nm2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　) A.5109 kg/m3 B.51012 kg/m3 C.51015 kg/m3 D.51018 kg/m3 答案　C 解析　脉冲星自转，边缘物体m恰对星体无压力时万有引力提供向心力，则有G＝mr， 又知M＝ρπr3 整理得密度ρ＝＝kg/m3≈51015 kg/m3. 【考点】天体密度的计算 【题点】已知周期、半径求密度 6.已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T，则太阳的质量为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　对地球绕太阳的圆周运动有＝mr 对地球表面的物体有m′g＝ 联立两式可得太阳质量M＝，B正确. 考点二　天体的运动规律 7.(多选)如图2所示，飞船从轨道1变轨至轨道2.若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的(　　) 图2 A.速度大 B.向心加速度大 C.运行周期长 D.角速度小 答案　CD 解析　飞船绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即F引＝Fn， 所以G＝man＝＝＝mrω2， 即an＝，v＝，T＝，ω＝. 因为r1v2，an1>an2，T1ω2，选项C、D正确. 【考点】人造卫星各物理量与半径的关系 【题点】人造卫星各物理量与半径的关系 8.a、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星.其中a、c的轨道相交于P，b、d在同一个圆轨道上，b、c轨道在同一平面上.某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图3所示，下列说法中正确的是(　　) 图3 A.a、c的加速度大小相等，且大于b的加速度 B.b、c的角速度大小相等，且小于a的角速度 C.a、c的线速度大小相等，且小于d的线速度 D.a、c存在在P点相撞的危险 答案　A 解析　由G＝m＝mω2r＝mr＝man可知，选项B、C错误，A正确；因a、c轨道半径相同，周期相同，由题图可知当C运动到P点不相撞，以后就不可能相撞了，选项D错误. 【考点】人造卫星各物理量与半径的关系 【题点】人造卫星各物理量与半径的关系 9.伽利略用他自制的望远镜发现了围绕木星的四颗卫星，假定四颗卫星均绕木星做匀速圆周运动，它们的转动周期如表所示，关于这四颗卫星，下列说法中正确的是(　　) 名称 周期/天 木卫一 1.77 木卫二 3.65 木卫三 7.16 木卫四 16.7 A.木卫一角速度最小 B.木卫四线速度最大 C.木卫四轨道半径最大 D.木卫一受到的木星的万有引力最大 答案　C 10.(多选)地球半径为R0，地面重力加速度为g，若卫星在距地面R0处做匀速圆周运动，则(　　) A.卫星的线速度为 B.卫星的角速度为 C.卫星的加速度为 D.卫星的加速度为 答案　ABD 解析　由＝man＝m＝mω2(2R0)及GM＝gR，可得卫星的向心加速度an＝，角速度ω＝，线速度v＝，所以A、B、D正确，C错误. 【考点】天体运动规律分析 【题点】应用重力等于万有引力分析天体运动规律 11.两颗行星A和B各有一颗卫星a和b，卫星轨道接近各自行星的表面，如果两行星的质量之比为＝p，两行星的半径之比为＝q，则两个卫星的周期之比为(　　) A. B.q C.p D.q 答案　D 解析　卫星做匀速圆周运动时，万有引力提供做匀速圆周运动的向心力，则有：G＝mR()2，得T＝，解得：＝q，故D正确，A、B、C错误. 【考点】天体运动规律分析 【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律 二、非选择题 12.(天体质量、密度的计算)若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地.若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面.已知引力常量为G，月球的半径为R.求：(不考虑月球自转的影响) (1)月球表面的自由落体加速度大小g月. (2)月球的质量M. (3)月球的密度ρ. 答案　(1)　(2)　(3) 解析　(1)月球表面附近的物体做自由落体运动h＝g月t2，月球表面自由落体的加速度大小g月＝. (2)因不考虑月球自转的影响，则有G＝mg月，月球的质量M＝. (3)月球的密度ρ＝＝＝. 【考点】万有引力定律和力学其他问题的综合应用 【题点】重力加速度和抛体运动的综合问题 13.(天体运动规律)我国在酒泉卫星发射中心用“长征二号丁”运载火箭，将“高分一号”卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，这是我国重大科技专项高分辨率对地观测系统的首发星.设“高分一号”轨道的离地高度为h，地球半径为R，地面重力加速度为g，求“高分一号”在时间t内，绕地球运转多少圈？(忽略地球的自转) 答案　 解析　在地球表面的物体m′g＝ “高分一号”在轨道上＝m(R＋h) 所以T＝2π＝2π 故n＝＝. 【考点】天体运动规律分析 【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律 一、选择题 考点一　天体的运动规律 1.把太阳系各行星的运动近似看成匀速圆周运动，则离太阳越远的行星(　　) A.周期越大 B.线速度越大 C.角速度越大 D.向心加速度越大 答案　A 解析　行星绕太阳做匀速圆周运动，所需的向心力由太阳对行星的引力提供，由G＝m得v＝，可知r越大，线速度越小，B错误.由G＝mω2r得ω＝，可知r越大，角速度越小，C错误.由＝k知，r越大，周期越大，A对.由G＝man得an＝，可知r越大，向心加速度越小，D错误. 【考点】天体运动规律分析 【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律 2.据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行的圆形工作轨道距月球表面分别约为200km和100km，运行速率分别为v1和v2.那么，v1和v2的比值为(月球半径取1700km)(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　根据卫星运动的向心力由万有引力提供，有G＝m，那么卫星的线速度跟其轨道半径的平方根成反比，则有＝＝. 【考点】人造卫星各物理量与半径的关系 【题点】人造卫星的线速度与半径的关系 3.(多选)火星直径约为地球直径的一半，质量约为地球质量的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球绕太阳公转的轨道半径的1.5倍.根据以上数据，下列说法中正确的是(　　) A.火星表面重力加速度的数值比地球表面的小 B.火星公转的周期比地球的长 C.火星公转的线速度比地球的大 D.火星公转的向心加速度比地球的大 答案　AB 解析　由G＝m′g得g＝G，计算得A对；由G＝m()2r得T＝2π，计算得B对；周期长的线速度小(或由v＝判断轨道半径大的线速度小)，C错；公转的向心加速度an＝G，计算得D错. 【考点】天体运动规律分析 【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律 4.(多选)土星外层有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系，则下列判断正确的是(　　) A.若v2∝R，则该层是土星的卫星群 B.若v∝R，则该层是土星的一部分 C.若v∝，则该层是土星的一部分 D.若v2∝，则该层是土星的卫星群 答案　BD 解析　若外层的环为土星的一部分，则它们各部分转动的角速度ω相等，由v＝ωR知v∝R，B正确，C错误；若是土星的卫星群，则由G＝m，得v2∝，故A错误，D正确. 【考点】天体运动规律分析 【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律 5.(多选)如图1所示，a、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等，且小于c的质量，则(　　) 图1 A.b所需向心力最小 B.b、c的周期相同且大于a的周期 C.b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度 D.b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度 答案　ABD 解析　因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供，由F向＝知b所受的引力最小，故A对.由＝mrω2＝mr()2得T＝2π，即r越大，T越大，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B对.由＝man，得an＝，即an∝，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C错.由＝，得v＝，即v∝，所以b、c的线速度大小相等且小于a的线速度，D对. 【考点】人造卫星各物理量与半径的关系 【题点】人造卫星各物理量与半径的关系 6.(多选)如图2所示，2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一.通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度.若将卫星绕地球的运动看做是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的(　　) 图2 A.密度 B.向心力的大小 C.离地高度 D.线速度的大小 答案　CD 解析　设卫星的周期为T，轨道半径为r，地球质量和半径分别为M、R，则在地球表面的物体：G＝m′g，GM＝gR2① 对卫星：根据万有引力提供向心力，有 G＝m2r② 联立①②式可求轨道半径r，而r＝R＋h，故可求得卫星离地高度. 由v＝rω＝r，从而可求得卫星的线速度. 卫星的质量未知，故卫星的密度不能求出，万有引力即向心力Fn＝G也不能求出.故选项C、D正确. 7.(多选)科学探测表明，月球上至少存在丰富的氧、硅、铝、铁等资源，设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经长期的开采后月球与地球仍可看成均匀球体，月球仍沿开采前的轨道运动，则与开采前相比(提示：a＋b＝常量，则当a＝b时，ab乘积最大)(　　) A.地球与月球间的万有引力将变大 B.地球与月球间的万有引力将变小 C.月球绕地球运行的周期将变大 D.月球绕地球运行的周期将变小 答案　BD 解析　万有引力公式F＝中，G和r不变，因地球和月球的总质量不变，当M增大而m减小时，两者的乘积减小，万有引力减小，故选项A错误，B正确；又＝mr，T＝，M增大，则T减小，故选项C错误，D正确. 【考点】天体运动规律分析 【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律 8.如图3所示，甲、乙两颗卫星在同一平面上绕地球做匀速圆周运动，公转方向相同.已知卫星甲的公转周期为T，每经过最短时间9T，卫星乙都要运动到与卫星甲在地球同一侧且三者共线的位置上，则卫星乙的公转周期为(　　) 图3 A.T B.T C.T D.T 答案　A 解析　由题意得， (－)t＝2π① t＝9T② 联立①②得T乙＝T，选项A正确. 【考点】卫星的“追赶”问题 【题点】卫星的“追赶”问题 考点二　天体质量和密度的计算 9.(多选)2016年10月19日凌晨，“神舟十一号”飞船与“天宫二号”成功实施自动交会对接.如图4所示，已知“神舟十一号”与“天宫二号”对接后，组合体在时间t内沿圆周轨道绕地球转过的角度为θ，组合体轨道半径为r，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑地球自转.则(　　) 图4 A.可求出地球的质量 B.可求出地球的平均密度 C.可求出组合体做圆周运动的线速度 D.可求出组合体受到的地球的万有引力 答案　ABC 解析　组合体在时间t内沿圆周轨道绕地球转过的角度为θ，则角速度ω＝，万有引力提供组合体做圆周运动的向心力，则＝mω2r，所以M＝＝①，A正确.不考虑地球的自转时，组合体在地球表面的重力等于地球对组合体的万有引力，则mg＝G，解得R＝，地球的密度ρ＝＝＝()，将①式代入即可求出平均密度，B正确.根据线速度与角速度的关系v＝ωr可知v＝，C正确.由于不知道组合体的质量，所以不能求出组合体受到的万有引力，D错误. 【考点】天体质量和密度的计算 【题点】天体质量和密度的计算 10.(多选)若宇航员在月球表面附近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L.已知月球半径为R，引力常量为G.则下列说法中正确的是(　　) A.月球表面的重力加速度g月＝ B.月球的质量m月＝ C.月球的自转周期T＝ D.月球的平均密度ρ＝ 答案　AB 解析　根据平抛运动规律，L＝v0t，h＝g月t2，联立解得g月＝，选项A正确；由mg月＝G解得m月＝，选项B正确；根据题目条件无法求出月球的自转周期，选项C错误；月球的平均密度ρ＝＝，选项D错误. 【考点】天体质量和密度的计算 【题点】天体质量和密度的计算 11.“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图5所示.已知引力常量为G，由此可推导出月球的质量为(　　) 图5 A. B. C. D. 答案　A 解析　根据弧长及对应的圆心角，可得“嫦娥三号”的轨道半径r＝，根据转过的角度和时间，可得ω＝，由于月球对“嫦娥三号”的万有引力提供“嫦娥三号”做圆周运动的向心力，可得G＝mω2r，由以上三式可得M＝. 【考点】计算天体的质量 【题点】天体质量的综合问题 二、非选择题 12.(物体的运动与万有引力的结合)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处.(取地球表面重力加速度g＝10m/s2，空气阻力不计) (1)求该星球表面附近的重力加速度g星的大小； (2)已知该星球的半径与地球半径之比为＝，求该星球的质量与地球质量之比. 答案　(1)2m/s2　(2)1∶80 解析　(1)在地球表面以一定的初速度v0竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处， 根据运动学公式可知t＝. 同理，在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，经过时间5t小球落回原处，则5t＝ 根据以上两式，解得g星＝g＝2m/s2 (2)在天体表面时，物体的重力近似等于万有引力，即 mg＝，所以M＝ 由此可得，＝＝＝. 【考点】万有引力定律和力学其他问题的综合应用 【题点】重力加速度和抛体运动的综合问题 13.(天体运动规律分析)某课外科技小组长期进行天文观测，发现某行星周围有众多小卫星，这些小卫星靠近行星且分布相当均匀，经查对相关资料，该行星的质量为M.现假设所有卫星绕该行星的运动都是匀速圆周运动，已知引力常量为G. (1)若测得离行星最近的一颗卫星的运动轨道半径为R1，忽略其他小卫星对该卫星的影响，求该卫星的运行速度v1为多大？ (2)在进一步的观测中，发现离行星很远处还有一颗卫星，其运动轨道半径为R2，周期为T2，试估算靠近行星周围众多小卫星的总质量m卫为多大？ 答案　(1)　(2)－M 解析　(1)设离行星最近的一颗卫星的质量为m1， 有G＝m1，解得v1＝. (2)由于靠近行星周围的众多卫星分布均匀，可以把行星及靠近行星的小卫星看做一星体，其质量中心在行星的中心，设离行星很远的卫星质量为m2，则有 G＝m2R2 解得m卫＝－M. 【考点】天体运动规律分析 【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律