《2018-2019版高中数学 第四章 用数学归纳法证明不等式 4.2 用数学归纳法证明不等式举例试题 新人教A版选修4-5.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019版高中数学 第四章 用数学归纳法证明不等式 4.2 用数学归纳法证明不等式举例试题 新人教A版选修4-5.doc（6页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
二 用数学归纳法证明不等式举例
课后篇巩固探究
1.用数学归纳法证明1+12+13+…+12n-1
1)时,第一步是证下述哪个不等式成立( )
A.1<2 B.1+12<2
C.1+12+13<2 D.1+13<2
解析当n=2时,左边=1+12+13,右边=2,所以应证1+12+13<2.
答案C
2.若x>-1,x≠0,则下列不等式正确的是( )
A.(1+x)3<1+3x
B.(1+x)32<1+32x
C.(1+x)-2<1-2x
D.(1+x)13<1+13x
解析由贝努利不等式可得选项D正确.
答案D
3.用数学归纳法证明Cn1+Cn2+…+Cnn>nn-12(n≥n0,且n∈N+),则n的最小值n0为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析当n=1时,左边=C11=1,右边=10=1,1>1,不成立;当n=2时,左边=C21+C22=2+1=3,右边=212=2,3>2,成立;当n=3时,左边=C31+C32+C33=3+3+1=7,右边=31=3,7>3,成立.
所以n的最小值n0为2.
答案B
4.导学号26394067某同学回答“用数学归纳法证明n2+nn2时,f(2k+1)比f(2k)多的项为 .
解析f(2k+1)-f(2k)=1+12+13+…+12k+1-1+12+13+…+12k=12k+1+12k+2+…+12k+1.
答案12k+1+12k+2+…+12k+1
6.已知x>0,观察下列几个不等式:x+1x≥2;x+4x2≥3;x+27x3≥4;x+256x4≥5…归纳猜想一般的不等式为 .
答案x+nnxn≥n+1(n为正整数)
7.用数学归纳法证明an+bn2≥a+b2n(a,b是非负实数,n∈N+)时,假设当n=k时不等式ak+bk2≥a+b2k(*)成立,再推证当n=k+1时不等式也成立的关键是将(*)式两边同乘 .
解析对比k与k+1时的结论可知,两边只需同乘a+b2即可.
答案a+b2
8.用数学归纳法证明1+12+13+…+1n<2n(n∈N+).
证明(1)当n=1时,左边=1,右边=2.左边<右边,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时不等式成立,
即1+12+13+…+1k<2k.
当n=k+1时,1+12+13+…+1k+1k+1<2k+1k+1=2kk+1+1k+1<(k)2+(k+1)2+1k+1=2(k+1)k+1=2k+1.
所以当n=k+1时,不等式成立.
由(1)(2)可知,原不等式对任意n∈N+都成立.
9.导学号26394068若不等式1n+1+1n+2+1n+3+…+13n+1>a24对一切正整数n都成立,求正整数a的最大值,并证明你的结论.
解取n=1,则有12+13+14>a24成立,
所以2624>a24,因此a<26,取a=25,
即正整数a的最大值为25.
以下用数学归纳法证明.
1n+1+1n+2+1n+3+…+13n+1>2524对一切正整数n都成立.
(1)当n=1时不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时不等式成立,
即1k+1+1k+2+1k+3+…+13k+1>2524,
当n=k+1时,
1(k+1)+1+1(k+1)+2+1(k+1)+3+…+13(k+1)+1
=1k+1+1k+2+1k+3+…+13k+1+13k+2+13k+3+13k+4-1k+1>2524+13k+2+13k+4-23(k+1).
因为13k+2+13k+4=6(k+1)9k2+18k+8>6(k+1)9k2+18k+9=6(k+1)9(k+1)2=23(k+1),
所以13k+2+13k+4-23(k+1)>0,
于是1(k+1)+1+1(k+1)+2+1(k+1)+3+…+13(k+1)+1>2524,
即当n=k+1时不等式成立.
由(1)(2)知,对一切正整数n,都有1n+1+1n+2+1n+3+…+13n+1>2524,且正整数a的最大值等于25.
10.导学号26394069已知数列{an}满足:a1=32,且an=3nan-12an-1+n-1(n≥2,n∈N+).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证对一切正整数n,不等式a1a2…an<2n!恒成立.
(1)解将条件变为1-nan=131-n-1an-1,
因此数列1-nan为一个等比数列,其首项为1-1a1=13,公比为13,
从而1-nan=13n,
因此得an=n3n3n-1(n≥1). ①
(2)证明由①得
a1a2…an=n!1-131-132…1-13n.
为证a1a2…an<2n!,只要证当n∈N+时,有1-131-132…1-13n>12. ②
显然,左端每个因式皆为正数,先证明对n∈N+,有
1-131-132…1-13n
≥1-13+132+…+13n. ③
下面用数学归纳法证明③式:
ⅰ当n=1时,显然③式成立,
ⅱ假设当n=k(k≥1)时,③式成立,
即1-131-132…1-13k≥
1-13+132+…+13k.
当n=k+1时,
1-131-132…1-13k1-13k+1
≥1-13+132+…+13k1-13k+1
=1-13+132+…+13k-13k+1+13k+113+132+…+13k
>1-13+132+…+13k+13k+1.
即当n=k+1时,③式也成立.
故对一切n∈N+,③式都成立.
利用③,得1-131-132…1-13n
≥1-13+132+…+13n
=1-131-13n1-13
=1-121-13n=12+1213n>12.
故原不等式成立.
2018-2019版高中数学 第四章 用数学归纳法证明不等式 4.2 用数学归纳法证明不等式举例试题 新人教A版选修4-5.doc
装配图网所有资源均是用户自行上传分享，仅供网友学习交流，未经上传用户书面授权，请勿作他用。
链接地址：https://www.zhuangpeitu.com/p-6298454.html