2018年秋高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念学案 新人教A版选修2-2.doc

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1.1　变化率与导数 1.1.1　变化率问题 1.1.2 导数的概念 学习目标：1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)4.理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念．(易混点) [自 主 预 习探 新 知] 1．函数的平均变化率 (1)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为＝，其中Δx＝x2－x1是相对于x1的一个“增量”，Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)是相对于f(x1)的一个“增量”． (2)平均变化率的几何意义 设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率＝＝为割线AB的斜率，如图111所示． 图111 思考：Δx，Δy的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？ [提示] Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零．平均变化率可正、可负、可为零． 2．瞬时速度与瞬时变化率 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． (2)函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限即 ＝ . 3．导数的概念 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，记作f′(x0)或y′| x＝x0，即f′(x0)＝ . [基础自测] 1．思考辨析 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．(　　) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．(　　) (3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．(　　) 提示：(1)由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关，故正确． (2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量，故错误． (3)在导数的定义中，Δy可以为零，故错误． [答案]　(1)√　(2)　(3) 2．函数y＝f(x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为(　　) 【导学号：31062000】 A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx C．f(x0)Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0) D　[Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故选D.] 3．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度是 (　　) A．4　　　 B．4.1 C．0.41　　　 D．－1.1 B　[＝＝＝＝4.1，故选B.] 4．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________． [解析]　∵f(x)＝x2.∴在x＝1处的瞬时变化率是 ＝ ＝ ＝ (2＋Δx)＝2. [答案]　2 5．函数f(x)＝2在x＝6处的导数等于________． [解析]　f′(6)＝ ＝ ＝0. [答案]　0 [合 作 探 究攻 重 难] 求函数的平均变化率 　已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)： (1)从0.1到0.2的平均变化率； (2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率. 【导学号：31062001】 [解]　(1)因为f(x)＝3x2＋5， 所以从0.1到0.2的平均变化率为 ＝0.9. (2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x＋5) ＝3x＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x－5＝6x0Δx＋3(Δx)2. 函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝6x0＋3Δx. [规律方法]　1.求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1； 第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)； 第三步，求平均变化率＝. 2.求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用的形式. [跟踪训练] 1．如图112，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于(　　) 图112 A．1　　　 B．－1 C．2 D．－2 B　[平均变化率为＝－1.故选B.] 2．已知函数y＝f(x)＝2x2的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则的值为(　　) 【导学号：31062002】 A．4 B．4x C．4＋2Δx2 D．4＋2Δx D　[＝＝4＋2Δx.故选D.] 求瞬时速度 [探究问题] 1．物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2，如何计算物体在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度？ 提示：Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2，＝＝10＋5Δt. 2．当Δt趋近于0时，探究1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？ 提示：当Δt趋近于0时，趋近于10，这时的平均速度即为当t＝1时的瞬时速度． 　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度． [思路探究]　 ―→ [解]　∵＝ ＝＝3＋Δt， ∴ ＝ (3＋Δt)＝3. ∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3. 即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s. 母题探究：1.(变结论)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度． [解]　求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度． ∵＝ ＝＝1＋Δt， ∴ (1＋Δt)＝1. ∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s. 2．(变结论)在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. [解]　设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 又＝ ＝(2t0＋1)＋Δt. ＝ (2t0＋1＋Δt) ＝2t0＋1. 则2t0＋1＝9， ∴t0＝4. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s. [规律方法]　求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0). (2)求平均速度＝. (3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，\f(Δs,Δt)无限趋近于常数v，即为瞬时速度. 求函数在某一点处的导数 　(1)设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且 ＝1，则f′(x0)等于(　　) A．1 B．－1 C．－ D． (2)求函数f(x)＝x－在x＝1处的导数． [思路探究]　(1)类比f′(x0)＝ 求解． (2)―→―→ (1)C　[∵ ＝ ＝－3f′(x0)＝1， ∴f′(x0)＝－，故选C.] (2)∵Δy＝(1＋Δx)－－ ＝Δx＋1－＝Δx＋， ∴＝＝1＋， ∴f′(1)＝ ＝ ＝2. [规律方法]　求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤 简称：一差、二比、三极限． [跟踪训练] 3．已知f′(1)＝－2，则 ＝________. 【导学号：31062003】 [解析]　∵f′(1)＝－2， ∴ ＝ ＝－2 ＝－2f′(1)＝－2(－2)＝4. [答案]　4 4．求函数y＝3x2在x＝1处的导数． [解]　∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，∴＝6＋3Δx， ∴f′(1)＝ ＝ (6＋3Δx)＝6. [当 堂 达 标固 双 基] 1．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是 (　　) A．0.4 B．2 C．0.3 D．0.2 B　[＝＝＝2.] 2．物体自由落体的运动方程为s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝＝＝9.8 m/s，那么下列说法中正确的是(　　) 【导学号：31062004】 A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率 B．9.8 m/s是1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速率 C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速率 D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率 C　[结合平均变化率与瞬时变化率可知选项C正确．] 3．函数f(x)＝在x＝1处的导数为________． [解析]　∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1， ∴＝＝， ∴f′(1)＝ ＝ ＝. [答案]　 4．设f(x)在x0处可导，若 ＝A，则f′(x0)＝________. [解析]　 ＝3 ＝3f′(x0)＝A. 故f′(x0)＝A. [答案]　 5．在曲线y＝f(x)＝x2＋3上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，求：(1)；(2)f′(1). 【导学号：31062005】 [解]　(1)＝ ＝＝2＋Δx. (2)f′(1)＝ ＝ (2＋Δx)＝2.