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第20讲 概率与统计
1.[2018全国卷Ⅰ]某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0
0;
当p∈(0.1,1)时,f(p)<0.
所以f(p)的最大值点为p0=0.1.
(2)由(1)知,p=0.1.
(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=202+25Y,即X=40+25Y,
所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.
(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费用为400元.
由于EX>400,故应该对余下的产品作检验.
2.解:(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=-30.4+13.519=226.1(亿元).
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=99+17.59=256.5(亿元).
(2)利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下:
(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.
(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.
(以上给出了2种理由,答出其中任意一种或其他合理理由均可)
3.解:(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”,C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”.
由题意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C).
旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为
(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)5=0.62,
故P(B)的估计值为0.62.
新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为
(0.068+0.046+0.010+0.008)5=0.66,
故P(C)的估计值为0.66.
因此,事件A的概率估计值为0.620.66=0.409 2.
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表:
箱产量<50 kg
箱产量≥50 kg
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
K2=200(6266-3438)210010096104≈15.705.
由于15.705>6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50 kg的直方图面积为
(0.004+0.020+0.044)5=0.34<0.5,
箱产量低于55 kg的直方图面积为
(0.004+0.020+0.044+0.068)5=0.68>0.5,
故新养殖法箱产量的中位数的估计值为
50+0.5-0.340.068≈52.35(kg).
考点考法探究
解答1
例1 解:(1)由题意,甲、乙、丙三人在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为14,13,12.
设“甲、乙两人所付费用之和等于丙所付费用”为事件M,
则P(M)=342312+141312=724.
(2)随机变量ξ的所有可能取值为2,2.5,3,3.5,4.
由题意知P(ξ=2)=342312=14,P(ξ=2.5)=341312+142312=524,
P(ξ=3)=342312+141312=724,P(ξ=3.5)=341312+142312=524,
P(ξ=4)=141312=124,
所以甲、乙、丙三人所付费用之和ξ的分布列为
ξ
2
2.5
3
3.5
4
P
14
524
724
524
124
所以E(ξ)=214+2.5524+3724+3.5524+4124=6724.
【自我检测】
解:(1)由题可知:
商品单价/元
a
0.9a
0.85a
0.8a
0.75a
0.7a
频率
0.2
0.3
0.24
0.12
0.1
0.04
所以估计X的平均值h=a0.2+0.9a0.3+0.85a0.24+0.8a0.12+0.75a0.1+0.7a0.04=0.873a.
(2)经销商购买单价不高于h的概率为0.24+0.12+0.1+0.04=12,高于h的概率为0.2+0.3=12.
Y的可能取值为5000,10 000,15 000,20 000.
则P(Y=5000)=1234=38,
P(Y=10 000)=1214+123434=1332,
P(Y=15 000)=12C211434=316,
P(Y=20 000)=121414=132.
所以Y的分布列为
Y
5000
10 000
15 000
20 000
P
38
1332
316
132
E(Y)=500038+10 0001332+15 000316+20 000132=9375.
解答2
例2解:(1)由题意可知,样本平均值x=561+584+6012+6220+648+66550=61.8.
(2)①由题意得,校园某天出现重度噪音污染的概率为110,出现轻度噪音污染的概率为110.
设事件A为“周一至周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染”,
则P(A)=C5211021103=110 000.
②由题意得X~B3,110,
则P(X=k)=C3k110k9103-k,k=0,1,2,3.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
7291000
2431000
271000
11000
D(X)=np(1-p)=27100.
【自我检测】
解:(1)完整的22联表如下:
文科生
理科生
总计
获奖
5
35
40
不获奖
45
115
160
总计
50
150
200
由表中数据可得K2的观测值k=200(5115-3545)24016050150=256≈4.167>3.841,
所以有超过95%的把握认为是否获奖与学生的文理科有关.
(2)由表中数据可知,抽到获奖学生的概率为15,
将频率视为概率,所以X可取0,1,2,3且X~B3,15,
则P(X=k)=C3k15k1-153-k(k=0,1,2,3),
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
64125
48125
12125
1125
E(X)=np=315=35.
解答3
例3 解:(1)设该班男生人数为x,则女生人数为x+4,由条件可得x2x+4=511,
解得x=20,故该班男生有20人,女生有24人.
(2)由条件知在该班随机抽取一名学生,估计该同学持满意态度的概率为611.
(3)由题意知ξ的可能取值为0,1,2,ξ服从超几何分布,
则P(ξ=0)=C60C52C112=211,P(ξ=1)=C61C51C112=611,P(ξ=2)=C62C50C112=311,
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
211
611
311
E(ξ)=0211+1611+2311=1211.
解答4
例4 解:(1)剩下的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率是1-4C52=35.
(2)由已知数据得∑i=13xiyi=1126+1332+1226=1014,x=13(11+13+12)=12,y=13(26+32+26)=28,3xy=31228=1008,∴∑i=13xiyi-3xy=1014-1008=6.∵∑i=13xi2=112+132+122=434,3x2=3122=432,∴∑i=13xi2-3x2=434-432=2,∴b=∑i=13xiyi-3xy∑i=13xi2-3x2=62=3,∴a=y-bx=28-312=-8.故y关于x的线性回归方程为y=3x-8.
(3)当x=10时,y =3x-8=310-8=22,|22-23|≤1;
当x=8时,y =3x-8=38-8=16,|16-16|≤1.故(2)中得到的线性回归方程是可靠的.
例5 解:(1)22列联表如下:
甲班
乙班
总计
成绩优良
9
16
25
成绩不优良
11
4
15
总计
20
20
40
根据表中的数据,得K2的观测值k=40(94-1611)225152020≈5.227>5.024,
∴在犯错的概率不超过0.025的前提下认为“成绩是否优良与教学方式有关”.
(2)由表可知在8人中成绩不优良的人数约为15408=3,则X的可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=C53C83=528,P(X=1)=C31C52C83=1528,
P(X=2)=C32C51C83=1556,P(X=3)=C33C83=156.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
528
1528
1556
156
E(X)=0528+11528+21556+3156=98.
【自我检测】
解:(1)甲班学生数学成绩的中位数为122+1142=118,
乙班学生数学成绩的中位数为128+1282=128.
补充完整的乙班学生数学成绩的频率分布直方图如图所示.
(2)由茎叶图可知,乙班学生数学成绩的平均水平高于甲班学生数学成绩的平均水平.甲班学生数学成绩的分散程度高于乙班学生数学成绩的分散程度.
(3)由茎叶图可知,甲、乙两班数学成绩为优秀的人数分别为10,14.若从中用分层抽样的方法选出12人,则应从甲、乙两班分别选出5人、7人.设“选出的12人中恰含有甲、乙两班所有140分以上的学生”为事件A,
则P(A)=C22C83C105C33C114C147=29552=5234.
所以选出的12人中恰含有甲、乙两班所有140分以上的学生的概率为5234.
[备选理由] 所给3个例题分别围绕二项分布的期望,超几何分布的期望,统计与概率的综合等知识展开,旨在强化解题训练,熟悉试题题型与处理方法.
例1 [配例1使用] [2018北京卷] 电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
假设所有电影是否获得好评相互独立.
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;
(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;
(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等,用“ξk=1”表示第k类电影得到人们喜欢,“ξk=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小关系.
解:(1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000,
第四类电影中获得好评的电影部数是2000.25=50.
故所求概率为502000=0.025.
(2)设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”,
事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”.
故所求概率为P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)
=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B).
由题意知:P(A)估计为0.25,P(B)估计为0.2.
故所求概率估计为0.250.8+0.750.2=0.35.
(3)Dξ1>Dξ4>Dξ2=Dξ5>Dξ3>Dξ6.
例2 [配例3使用] 为发展业务,某公司市场部准备从国内n(n∈N*)个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行调查统计.若一次抽取2个城市,则全是小城市的概率为415.
(1)求n的值.
(2)若一次抽取4个城市,
①假设取出小城市的个数为X,求X的分布列和期望;
②求取出的4个城市是同一类城市且全为超大城市的概率.
解:(1)从n+8个城市中取出2个城市,共有Cn+82种情况,其中全是小城市的情况有C82种,
故全是小城市的概率是C82Cn+82=87(n+8)(n+7)=415,
∴(n+8)(n+7)=210=1514,∴n+7=14,故n=7.
(2)①X的可能取值为0,1,2,3,4.
则P(X=0)=C80C74C154=139,P(X=1)=C81C73C154=839,P(X=2)=C82C72C154=2865,P(X=3)=C83C71C154=56195,P(X=4)=C84C70C154=239.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
139
839
2865
56195
239
E(X)=0139+1839+22865+356195+4239=3215.
②若4个城市全是超大城市,共有C74=35(种)情况;若4个城市全是小城市,共有C84=70(种)情况.
故所求概率为C74C84+C74=3570+35=13.
例3 [配例4使用] 某市气象站观测点记录的连续4天AQI指数(空气质量指数)M与当天的水平能见度y(单位:km)的情况如表1:
表1
M
400
300
200
100
y
0.5
3.5
6.5
9.5
该市某月AQI指数的频数分布表如表2:
表2
M
[0,100]
(100,200]
(200,300]
(300,400]
(400,500]
频数
3
6
12
6
3
(1)设x=M100,根据表1的数据,求出y关于x的回归方程;
(参考公式:y=bx+a,其中b=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1nxi2-nx2,a=y-bx)
(2)小张开了一家洗车店,经统计,当M不大于200时,洗车店平均每天亏损约2000元;当M大于200不大于400时,洗车店平均每天收入约4000元;当M大于400时,洗车店平均每天收入约7000元.根据表2估计小张的洗车店该月平均每天的收入.
解:(1)x=14(4+3+2+1)=2.5,
y=14(0.5+3.5+6.5+9.5)=5,
则b=40.5+33.5+26.5+19.5-42.5542+32+22+1-42.52=-3,
a=5-(-3)2.5=12.5,
故y=-3x+12.5.
(2)由表2知AQI指数不大于200的频率为930=0.3,
AQI指数大于200不大于400的频率为1830=0.6,
AQI指数大于400的频率为0.1,
设洗车店每天的收入为X,则X的分布列为
X
-2000
4000
7000
P
0.3
0.6
0.1
则E(X)=-20000.3+40000.6+70000.1=2500.
故小张的洗车店该月平均每天的收入为2500元.
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