2019-2020学年高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.2 用二分法求方程的近似解课后篇巩固提升（含解析）新人教A版必修1.docx

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3.1.2　用二分法求方程的近似解 课后篇巩固提升 基础巩固 1.以下每个图象表示的函数都有零点,但不能用二分法求函数零点的是(　　) 解析根据二分法的思想,函数f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断,且f(a)f(b)<0,即函数的零点是变号零点,才能将区间(a,b)一分为二,逐步得到零点的近似值,对各图象分析可知,A,B,D都符合条件,而选项C不符合,因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化,因此不能用二分法求函数零点. 答案C 2.若函数f(x)=x2-4x+m存在零点,且不能用二分法求该函数的零点,则m的取值范围是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.(4,+∞) B.(-∞,4) C.{4} D.[4,+∞) 解析易知方程x2-4x+m=0有根,且Δ=16-4m=0,知m=4. 答案C 3.用二分法求函数f(x)=2x-3的零点时,初始区间可选为(　　) A.[-1,0] B.[0,1] C.[1,2] D.[2,3] 解析f(-1)=-52<0,f(0)=-2<0,f(1)=-1<0,f(2)=1>0,f(3)=5>0,则f(1)f(2)<0,即初始区间可选[1,2]. 答案C 4.用二分法求方程f(x)在区间[1,2]内的唯一实数解x0时,经计算得f(1)=2,f(2)=-2,f32=6,则下列结论正确的是(　　) A.x0∈1,32 B.x0=32 C.x0∈32,2 D.x0∈1,32或x0∈32,2 解析∵f(1)=2>0,f(2)=-2<0,f32=6>0,可得方程的根落在区间32,2内.故选C. 答案C 5.在用二分法求函数f(x)零点的近似值时,第一次取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是(　　) A.[1,4] B.[-2,1] C.[-2,2.5] D.[-0.5,1] 解析第二次取区间的中点x1=-2+42=1,故零点所在区间为[-2,1]或[1,4]; 第三次取中点x1=-2+12=-0.5,或x2=1+42=2.5.所以零点所在区间为[-2,-0.5]或[-0.5,1]或[1,2.5]或[2.5,4],故选D. 答案D 6.某方程在区间(2,4)内有一个实根,若用二分法求此根的精确度为0.1的近似值,则应将此区间二等分的次数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析等分1次,区间长度为1;等分2次,区间长度变为0.5;…;等分4次,区间长度变为0.125;等分5次,区间长度为0.062 5<0.1,符合题意,故选D. 答案D 7.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根,取区间中点x0=2.5,那么下一个有根区间为　. 解析因为f(2)<0,f(2.5)>0,f(3)>0, 所以f(2)f(2.5)<0,f(2.5)f(3)>0. 所以下一个有根区间应为[2,2.5]. 答案[2,2.5] 8.在用二分法求方程f(x)=0在(0,1)内的近似解时,经计算f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.687 5)<0,则可得出方程的一个近似解为　　　　　　　　　　　　(精确度0.1). 解析因为|0.75-0.687 5|=0.062 5<0.1, 所以(0.687 5,0.75)内的任意一个值都可作为方程的近似解. 答案0.75(答案不唯一) 9.已知方程2x+2x=5. (1)判断该方程解的个数以及所在区间; (2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1). 参考数值: x 1.187 5 1.125 1.25 1.312 5 1.375 1.5 2x 2.278 2.181 2.378 2.484 2.594 2.83 解(1)令f(x)=2x+2x-5. 因为函数f(x)=2x+2x-5在R上是增函数, 所以函数f(x)=2x+2x-5至多有一个零点. 因为f(1)=21+21-5=-1<0,f(2)=22+22-5=3>0, 所以函数f(x)=2x+2x-5的零点在(1,2)内. (2)用二分法逐次计算,列表如下: 区间 中点的值 中点函数值符号 (1,2) 1.5 f(1.5)>0 (1,1.5) 1.25 f(1.25)<0 (1.25,1.5) 1.375 f(1.375)>0 (1.25,1.375) 1.312 5 f(1.312 5)>0 (1.25,1.312 5) 因为|1.375-1.25|=0.125>0.1,且|1.312 5-1.25|=0.062 5<0.1, 所以函数的零点近似值为1.312 5, 即方程2x+2x=5的近似解为1.312 5. 能力提升 1.已知函数f(x)在区间[0,a]中有唯一的零点(a>0),在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为0,a2、0,a4、0,a8,则下列说法正确的是 (　　) A.函数f(x)在区间0,a16中有零点 B.函数f(x)在区间0,a16或a16,a8中有零点 C.函数f(x)在区间a16,a中无零点 D.函数f(x)在区间0,a16或a16,a8中有零点,或零点是a16 答案D 2.已知函数f(x)=ln(x+1)+2x-m(m∈R)的一个零点附近的函数值的参考数据如表: x 0 0.5 0.531 25 0.562 5 0.625 0.75 1 f(x) -1.307 -0.084 -0.009 0.066 0.215 0.512 1.099 由二分法求得方程ln(x+1)+2x-m=0的近似解(精确度0.05)可能是(　　) A.0.625 B.-0.009 C.0.562 5 D.0.066 解析设近似解为x0, 因为f(0.531 25)<0,f(0.562 5)>0, 所以x0∈(0.531 25,0.562 5). 因为0.562 5-0.531 25=0.031 25<0.05, 所以方程的近似解可取为0.562 5,故选C. 答案C 3.已知f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在区间(1,2)内的近似解的过程中得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间(　　) A.(1,1.25) B.(1.25,1.5) C.(1.5,2) D.不能确定 解析∵f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0, ∴f(1.25)f(1.5)<0,因此方程的根落在区间(1.25,1.5)内,故选B. 答案B 4.工作人员不慎将63枚真纪念币和一枚假纪念币混在了一起,从其外形无法分辨,仅仅知道假纪念币的质量要比真纪念币稍轻一点点,现用一台天平,通过比较质量的方法来找出那枚假纪念币,则最多只需称量(　　) A.4次 B.5次 C.6次 D.7次 解析利用二分法的思想将这些纪念币不断地分成两组,根据这两组的质量确定出假的在哪里,直至找出那枚假的为止.求解时需将64枚纪念币均分为两组,分别称其质量,假的一定在轻的那一组,再将这一组(共32枚)均分为两组,称其质量,这样一直均分下去,6次就能找出那枚假的,即最多只需称量6次. 答案C 5.若函数f(x)的图象是连续不断的,根据下面的表格,可以断定f(x)的零点所在的区间为　　　　　　.(只填序号) ①(-∞,1]　②[1,2]　③[2,3]　④[3,4]　⑤[4,5]　⑥[5,6]　⑦[6,+∞) x 1 2 3 4 5 6 f(x) 136.123 15.542 -3.930 10.678 -50.667 -305.678 解析根据零点存在定理,f(x)在[2,3],[3,4],[4,5]内都有零点. 答案③④⑤ 6.如图,一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A,B),如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致,要想检验出哪一处的焊口脱落,则至多需要检测　　　　　次. 解析第1次取中点把焊点数减半为642=32,第2次取中点把焊点数减半为322=16,第3次取中点把焊点数减半为162=8,第4次取中点把焊点数减半为82=4,第5次取中点把焊点数减半为42=2,第6次取中点把焊点数减半为22=1,所以至多需要检测的次数是6. 答案6 7.用二分法求函数f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1在区间(-1,0)内的零点的近似值(精确到0.1). 解f(-1)=-1<0,f(0)=5>0,可取区间[-1,0]作为计算的初始区间. 用二分法逐步计算,列表如下: 端点或中点横坐标 计算端点或中 点的函数值 定区间 a0=-1,b0=0 f(-1)=-1,f(0)=5 [-1,0] x1=-1+02=-0.5 f(x1)=3.375>0 [-1,-0.5] x2=-1-0.52=-0.75 f(x2)=1.578 125>0 [-1,-0.75] x3=-1-0.752=-0.875 f(x3)≈0.392 6>0 [-1, -0.875] x4=-1-0.8752=-0.937 5 f(x4)≈-0.277 1<0 [-0.937 5, -0.875] 由上表可知,区间[-0.937 5,-0.875]的长度不大于0.1,因此可取-0.9为所求函数在区间(-1,0)内的零点的近似值. 8.求方程3x+xx+1=0的近似解(精确度0.1). 解原方程可化为3x-1x+1+1=0,即3x=1x+1-1. 令g(x)=3x,h(x)=1x+1-1, 在同一平面直角坐标系中,分别画出函数g(x)=3x与h(x)=1x+1-1的简图. g(x)与h(x)图象的交点的横坐标位于区间(-1,0),且只有一交点, ∴原方程只有一个解x=x0. 令f(x)=3x+xx+1=3x-1x+1+1, ∵f(0)=1-1+1=1>0,f(-0.5)=13-2+1=1-33<0,∴x0∈(-0.5,0). 用二分法求解列表如下: 中点值 中点(端点)函数值及符号 选取区间 f(-0.5)<0,f(0)>0 (-0.5,0) -0.25 f(-0.25)≈0.426 5>0 (-0.5,-0.25) -0.375 f(-0.375)≈0.062 3>0 (-0.5,-0.375) -0.437 5 f(-0.437 5)≈-0.159 3<0 (-0.437 5,-0.375) ∵|-0.437 5-(-0.375)|=0.062 5<0.1, ∴原方程的近似解可取为-0.437 5.