2019版高考数学一轮复习 第一部分 基础与考点过关 第九章 平面解析几何学案.doc

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第九章　平面解析几何 第1课时　直线的倾斜角与斜率 了解确定直线位置的几何要素（两个定点、一个定点和斜率）.对直线的倾斜角、斜率的概念要理解，能牢记过两点的斜率公式并掌握斜率公式的推导，了解直线的倾斜角的范围.理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率. ① 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.② 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
1. （原创）设m为常数，则过点A（2，－1），B（2，m）的直线的倾斜角是　　　　Ｗ. 答案：90 解析：因为过点A（2，－1），B（2，m）的直线x＝2垂直于x轴，故其倾斜角为90. 2. （必修2P80练习1改编）若过点M（－2，m），N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为　　　　Ｗ. 答案：1 解析：由1＝，得m＋2＝4－m，解得m＝1. 3. （原创）若直线l的斜率k的变化范围是[－1，]，则它的倾斜角的变化范围是　　　　Ｗ. 答案：∪ 解析：由－1≤k≤，即－1≤tan α≤， ∴ α∈∪. 4. （必修2P80练习6改编）已知两点A（4，0），B（0，3），点C（8，a）在直线AB上，则a＝　　　　Ｗ. 答案：－3 解析：由kAB＝kBC得＝，解得a＝－3. 5. （必修2P80练习4改编）若直线l沿x轴的负方向平移2个单位，再沿y轴的正方向平移3个单位后，又回到原来的位置，则直线l的斜率为　　　　Ｗ. 答案：－ 解析：设直线上任一点为（x，y），平移后的点为（x－2，y＋3），利用斜率公式得直线l的斜率为－.
1. 直线倾斜角的定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转至和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角，并规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0；直线的倾斜角α的取值范围是[0，π）Ｗ. 2. 直线斜率的定义 倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示，即k＝tan α.由正切函数的单调性可知，倾斜角不同的直线其斜率也不同. 3. 过两点的斜率公式 过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线，当x1≠x2时，斜率公式为k＝tan α＝，该公式与两点的顺序无关；当x1＝x2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90Ｗ.[备课札记]


,　　　　　　　　　1　直线的倾斜角和斜率之间的关系)
,　　　　　1)　如果三条直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，其中l1：x－y＝0，l2：x＋2y＝0，l3：x＋3y＝0，则α1，α2，α3从小到大的排列顺序为　　　　　　Ｗ. 答案：α1＜α2＜α3 解析：由tan α1＝k1＝1>0，所以α1∈.tan α2＝k2＝－<0，所以α2∈，α2>α1.tan α3＝k3＝－<0， 所以α3∈，α3>α1，而－<－，正切函数在上单调递增，所以α3>α2. 综上，α1<α2<α3.

变式训练 已知经过两点A（4，2y＋1），B（2，－3）的直线的倾斜角为，则y的值为　　　　Ｗ. 答案：－3 解析：由＝＝y＋2＝tan ，得y＋2＝－1，所以y＝－3.
,　　　　　　　　　2　求直线的倾斜角和斜率)
,　　　　　2)　已知两点A（－1，－5），B（3，－2），直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求直线l的斜率. 解：设直线l的倾斜角为α，则直线AB的倾斜角为2α， 由题意可知tan 2α＝，∴ ＝. 整理得3tan2α＋8tan α－3＝0， 解得tan α＝或tan α＝－3. ∵ tan 2α＝>0， ∴ 0<2α<90，∴ 0<α<45，∴ tan α>0， 故直线l的斜率为.
变式训练
如图，已知直线l1的倾斜角α1＝30，直线l1⊥l2，求直线l1，l2的斜率. 解：直线l1的斜率k1＝tan α1＝tan 30＝. ∵ 直线l2的倾斜角α2＝90＋30＝120， ∴ 直线l2的斜率k2＝tan 120＝tan（180－60）＝－tan 60＝－.
,　　　　　　　　　3　求直线的倾斜角和斜率的取值范围)
,　　　　　3)　已知两点A（－3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB有公共点. （1） 求直线l的斜率k的取值范围； （2） 求直线l的倾斜角α的取值范围. 解：如图，
由题意可知，kPA＝＝－1，kPB＝＝1. （1） 要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞）. （2） 由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间. 又PB的倾斜角是45，PA的倾斜角是135， 所以α的取值范围是[45，135].
变式训练 若直线mx＋y＋1＝0与连结点A （－3，2），B （2，3）的线段相交，求实数m的取值范围. 解：直线的斜率为k＝－m，且直线经过定点P（0，－1），因为直线PA，PB的斜率分别为－1，2，所以斜率k的取值范围是（－∞，－1]∪[2，＋∞），即实数m的取值范围是（－∞，－2]∪[1，＋∞）.
1. 已知A（－1，2），B（0，a），C（a，0）三点共线，则此三点所在直线的倾斜角α的大小是　　　　Ｗ. 答案：120 解析：若a＝0，则点B，C重合，不合题意.由A，B，C三点共线得kAB＝kBC，即＝，解得a＝1，所以B（0，）.此三点所在直线的斜率kAB＝＝－，即tan α＝－.又0≤α＜180，所以α＝120. 2. 直线xcos α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是　　　　　.　 答案：∪ 解析：由直线的方程可知其斜率k＝－∈.设直线的倾斜角为θ，则tan θ∈，且θ∈[0，π），所以θ∈∪. 3. 已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值. 解：如图，
由于点（x，y）满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3可知，点P（x，y）在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别为A（2，4），B（3，2）. 由于的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝， 所以的最大值为2，最小值为. 4. 已知直线kx＋y－k＝0与射线3x－4y＋5＝0（x≥－1）有交点，求实数k的取值范围. 解：kx＋y－k＝0⇒k（x－1）＋y＝0，直线过定点（1，0）⇒由题意作图可得：
由题意可看出： k∈∪.（或者由两直线方程联立，消去y得x＝≥－1，即≥0⇒k≥或k＜－）
1. 已知x轴上的点P与点Q（－，1）连线所成直线的倾斜角为30，则点P的坐标为　　　　Ｗ. 答案：（－2，0） 解析：设P（x，0），由题意得kPQ＝tan 30＝，即＝，解得x＝－2，故点P的坐标为（－2，0）. 2. 如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则它们的大小关系为　　　　Ｗ.
答案：k1＜k3＜k2 解析：直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2. 3. 已知函数f（x）＝asin x－bcos x.若f＝f，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为　　　　Ｗ. 答案： 解析：由f＝f知，函数f（x）的图象关于直线x＝对称，所以f（0）＝f，所以－b＝a，所以直线ax－by＋c＝0的斜率为＝－1.设直线ax－by＋c＝0的倾斜角为α，则tan α＝－1，因为α∈[0，π），所以α＝，即直线ax－by＋c＝0的倾斜角为. 4. 若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是　　　　　Ｗ. 答案： 解析：如图，直线l：y＝kx－过定点P（0，－）.又A（3，0），所以kPA＝＝，所以直线l的斜率范围为，由于直线的倾斜角的取值范围为[0，π），所以满足条件的直线l的倾斜角的范围是.

1. 求斜率要熟记斜率公式：k＝，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标（x1≠x2）时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率.当x1＝x2，y1≠y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90. 2. 要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，倾斜角与斜率的关系是k＝tan α（α≠90），其中α为倾斜角，因此求倾斜角的取值范围通常需从斜率的范围入手，而求斜率的范围则常需考虑倾斜角的取值范围，但都需要利用正切函数的性质，借助图象或单位圆数形结合，注意直线倾斜角的范围是[0，π），而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论.由正切函数图象可以看出当α∈时，斜率k∈[0，＋∞）；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈（－∞，0）.  第2课时　直线的方程（对应学生用书（文）123～124页、（理）128～129页）

掌握直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式）的特点与适用范围；能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；了解直线方程的斜截式与一次函数的关系. ① 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.② 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系.
1. （必修2P82练习1（1）～（4）改编）过点P（－2，0），且斜率为3的直线的方程是　　　　　　Ｗ. 答案：y＝3x＋6 解析：设所求直线方程为y＝3x＋b，由题意可知3（－2）＋b＝0，∴ b＝6，故y＝3x＋6. 2. （必修2P87练习4改编）如果ax＋by＋c＝0表示的直线是y轴，则系数a，b，c满足条件　　　　　　　Ｗ. 答案：a≠0且b＝c＝0 解析：ax＋by＋c＝0表示的直线是y轴，即x＝0，∴ b＝c＝0，a≠0. 3. （必修2P87练习1改编）直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为　　　　Ｗ. 答案：－1 解析：令x＝0，得y＝－4；令y＝0，得x＝3. 故直线在两坐标轴上的截距之和为－4＋3＝－1. 4. （必修2P85练习4改编）下列说法中正确的是　　　Ｗ.（填序号） ① 经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0＝k（x－x0）表示； ② 经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y＝kx＋b表示； ③ 不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示；
④ 经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y－y1）（x2－x1）＝（x－x1）（y2－y1）表示. 答案：④ 解析：对于①②，斜率有可能不存在，对于③，截距也有可能为0. 5. （必修2P85练习2（2）（3）改编）若一直线经过点P（1，2），且在y轴上的截距与直线2x＋y＋1＝0在y轴上的截距相等，则该直线的方程是　　　　　　Ｗ. 答案：3x－y－1＝0 解析：直线2x＋y＋1＝0在y轴上的截距为－1，由题意，所求直线过点（0，－1），又所求直线过点P（1，2），故由两点式得直线方程为＝，即3x－y－1＝0.
1. 直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y1＝k（x－x1） 不含直线x＝x1 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1（x1＝x2）和直线y＝y1（y1＝y2） 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0） 平面直角坐标系内的直线都适用 2. 过P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线方程 （1） 当x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为x＝x1Ｗ.　 （2） 当x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为y＝y1Ｗ.　 （3） 当x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为x＝0Ｗ.　 （4） 当x1≠x2，且y1＝y2＝0时，直线即为x轴，方程为y＝0Ｗ.　 （5） 直线的斜率k与倾斜角α之间的关系如下表： α 0 （0，90） 90 （90，180） k 0 （0，＋∞） 不存在 （－∞，0） 3. 线段的中点坐标公式 若点P1，P2的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），且线段P1P2的中点M的坐标为（x，y），则 此公式为线段P1P2的中点坐标公式.


,　　　　　　　　　1　求直线方程)
,　　　　　1)　已知直线l过点P（5，2），分别求满足下列条件的直线方程. （1） 直线l在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍； （2） 直线l与两坐标轴围成的三角形面积为. 解：（1） 当直线l过原点时，直线l的斜率为，∴ 直线方程为y＝x，即2x－5y＝0； 当直线l不过原点时，设直线方程为＋＝1，将x＝5，y＝2代入得a＝，∴ 直线方程为x＋2y－9＝0. 综上，直线l的方程为2x－5y＝0或x＋2y－9＝0. （2） 显然直线与坐标轴不垂直. ∵ 直线l经过点P（5，2），且能与坐标轴围成三角形，∴ 可设直线l的方程为y－2＝k（x－5）（k≠0），则直线在x轴上的截距为5－，在y轴上的截距为2－5k， 由题意，得|5－||2－5k|＝，即（5k－2）2＝5|k|. 当k>0时，原方程可化为（5k－2）2＝5k，解得k＝或k＝； 当k<0时，原方程可化为（5k－2）2＝－5k，此方程无实数解； 故直线l的方程为y－2＝（x－5）或y－2＝（x－5），即x－5y＋5＝0或4x－5y－10＝0.
变式训练 求过点（－3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程. 解：由题设知截距不为0，设直线方程为＋＝1，又直线过点（－3，4），从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
,　　　　　　　　　2　含参直线方程问题)
,　　　　　2)　已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0 （k∈R）. （1） 求证：直线l过定点； （2） 若直线不经过第四象限，求k的取值范围； （3） 若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. （1） 证明：直线l的方程是k（x＋2）＋（1－y）＝0， 令解得 ∴ 无论k取何值，直线l总经过定点（－2，1）. （2） 解：由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k>0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0. （3） 解：由l的方程，得A，B（0，1＋2k）. 依题意得解得k>0. ∵ S＝OAOB＝|1＋2k|＝ ＝≥（22＋4）＝4， “＝”成立的条件是k>0且4k＝，即k＝， ∴ Smin＝4，此时l：x－2y＋4＝0.
变式训练 已知直线l的方程为（m2－2m－3）x＋（2m2＋m－1）y＋6－2m＝0. （1） 求实数m的取值范围； （2） 若直线l的斜率不存在，求实数m的值； （3） 若直线l在x轴上的截距为－3，求实数m的值； （4） 若直线l的倾斜角是45，求实数m的值. 解：（1） 当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线， 令m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3； 令2m2＋m－1＝0解得m＝－1或m＝. 所以实数m的取值范围是（－∞，－1）∪（－1，＋∞）. （2） 由（1）易知，当m＝时，方程表示的直线的斜率不存在. （3） 依题意，有＝－3，所以3m2－4m－15＝0， 所以m＝3或m＝－，由（1）知所求m＝－. （4） 因为直线l的倾斜角是45，所以斜率为1. 由－＝1，解得m＝或m＝－1（舍去）. 所以当直线l的倾斜角为45时，m＝.
,　　　　　　　　　3　直线方程的综合应用)
,　　　　　3)　为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪（如图），另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？
解：如图，建立平面直角坐标系，则E（30，0），F（0，20），
∴ 线段EF的方程为＋＝1（0≤x≤30）. 在线段EF上取点P（m，n）， 作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R， 设矩形PQCR的面积为S， 则S＝PQPR＝（100－m）（80－n）. 又＋＝1（0≤m≤30），∴ n＝20. ∴ S＝（100－m） ＝－（m－5）2＋（0≤m≤30）. ∴ 当m＝5时，S有最大值， ∴ 当矩形草坪的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点距AD边5 m时，草坪面积最大. 如图，互相垂直的两条道路l1，l2相交于点O，点P与l1，l2的距离分别为2千米、3千米，过点P建一条直线道路AB，与l1，l2分别交于A，B两点. （1） 当∠BAO＝45时，试求OA的长； （2） 若使△AOB的面积最小，试求OA，OB的长.
解：以l1为x轴，l2为y轴，建立平面直角坐标系，则O（0，0），P（3，2）. （1） 由∠BAO＝45知，OA＝OB，可设A（a，0），B（0，a）（a＞0）， 直线l的方程为＋＝1.∵ 直线l过点P（3，2）， ∴ ＋＝1⇒a＝5，即OA＝5千米. （2） 设A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0）， 则直线l的方程为＋＝1. ∵ 直线l过点P（3，2），∴ ＋＝1，b＝（a＞3）.从而 S△ABO＝ab＝a＝，令a－3＝t，t＞0，则a2＝（t＋3）2＝t2＋6t＋9， 故有S△ABO＝＝t＋＋6（t＞0）. 设f（t）＝t＋＋6，可证f（t）在（0，3）上单调递减，在（3，＋∞）上单调递增， ∴ 当t＝3时，f（t）min＝f（3）＝12， 此时a＝6，b＝4，直线l的方程为＋＝1， 即OA＝6千米，OB＝4千米.
1. 若直线（2m2＋m－3）x＋（m2－m）y＝4m－1 在x轴上的截距为1，则实数m的值是　　　　Ｗ. 答案：2或－ 解析：令y＝0，则（2m2＋m－3）x＝4m－1， ∴ x＝＝1，∴ m＝2或－. 2. 若方程（a2－a－2）x＋（a2＋a－6）y＋a＋1＝0表示垂直于y轴的直线，则a为　　　　Ｗ. 答案：－1 解析：因为方程表示垂直于y轴的直线，所以a2－a－2＝0且a2＋a－6≠0，解得a＝－1. 3. 已知直线l过点M（1，1），且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点.当OA＋OB取得最小值时，直线l的方程是　　　　　　Ｗ. 答案：x＋y－2＝0 解析：设A（a，0），B（0，b）（a>0，b>0），直线l的方程为＋＝1，已知直线l过点M（1，1），则OA＋OB＝a＋b＝（a＋b）＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0. 4. 已知直线l过点（0，5），且在两坐标轴上的截距之和为2，则直线l的方程为　　　　Ｗ. 答案：5x－3y＋15＝0 解析：∵ 直线过点（0，5），∴ 直线在y轴上的截距为5. ∵ 在两坐标轴上的截距之和为2， ∴ 直线在x轴上的截距为－3. ∴ 直线l的方程为＋＝1，即5x－3y＋15＝0. 5. 已知在△ABC中，A（1，－4），B（6，6），C（－2，0）. 求（1） △ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； （2） BC边的中线所在直线的一般式方程和截距式方程. 解：（1） 平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线.因为线段AB，AC中点坐标为，，所以这条直线的方程为＝，整理得6x－8y－13＝0， 化为截距式方程为－＝1. （2） 因为BC边上的中点为（2，3），所以BC边上的中线所在直线的方程为＝，即7x－y－11＝0，化为截距式方程为－＝1.
1. 若方程（2m2＋m－3）x＋（m2－m）y－4m＋1＝0表示一条直线，则实数m满足条件　　　　Ｗ. 答案：m≠1 解析：2m2＋m－3，m2－m不能同时为0. 2. 若直线（2t－3）x＋2y＋t＝0不经过第二象限，则t的取值范围是　　　　Ｗ. 答案： 解析：直线方程可化为y＝x－，由题意得解得0≤t≤. 3. 不论m取何值，直线（m－1）x－y＋2m＋1＝0恒过定点　　　　. 答案：（－2，3） 解析：把直线方程（m－1）x－y＋2m＋1＝0， 整理得（x＋2）m－（x＋y－1）＝0， 则解得 4. 已知直线x＋2y＝2与x轴、y轴分别相交于A，B两点.若动点P（a，b）在线段AB上，则ab的最大值为　　　　Ｗ.　 答案： 解析：由题意知A（2，0），B（0，1），所以线段AB的方程可表示为＋y＝1，x∈[0，2].又动点P（a，b）在线段AB上，所以＋b＝1，a∈[0，2].又＋b≥2，所以1≥2，解得0≤ab≤，当且仅当＝b＝，即P时，ab取得最大值. 5. 已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P（2，3），求过两点Q1（a1，b1），Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程. 解：由题意，知P（2，3）在已知直线上， ∴ ∴ 2（a1－a2）＋3（b1－b2）＝0，即＝－， ∴ 所求直线方程为y－b1＝－（x－a1）， ∴ 2x＋3y－（2a1＋3b1）＝0，即2x＋3y＋1＝0.
1. 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；而选用两点式时不要忽视与坐标轴垂直的情况. 2. 解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值.[备课札记]  第3课时　直线与直线的位置关系（对应学生用书（文）125～126页、（理）130～131页）

能熟练掌握两条直线平行和垂直的条件并灵活运用，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线斜率的关系问题；能判断两条直线是否相交并求出交点坐标，体会两条直线相交与二元一次方程组的关系；理解两点间距离公式的推导，并能应用两点间距离公式证明几何问题；点到直线距离公式的理解与应用. 1 能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直. ② 能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. ③ 掌握两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
1. （原创）“a＝3”是“直线ax＋3y＝1与直线x＋y＝1平行”的　　　　　条件. 答案：充要 解析：若a＝3，直线ax＋3y＝1与直线x＋y＝1显然平行；若直线ax＋3y＝1与直线x＋y＝1平行，由＝ ≠ ，易得a＝3. 2. （必修2P93练习6改编）过点P（－1，3）且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为　　　　　　　Ｗ. 答案：2x＋y－1＝0 解析：设直线方程为2x＋y＋c＝0，又直线过点P（－1，3），则－2＋3＋c＝0，c＝－1，即所求直线方程为2x＋y－1＝0. 3. （必修2P95练习3改编）若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k＝　　　　Ｗ. 答案：－ 解析：由解得 ∴ 点（－1，－2）在x＋ky＝0上， 即－1－2k＝0，∴ k＝－. 4. （必修2P105练习1改编）已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝　　　　Ｗ. 答案：－1 解析：由题意知＝1，∴ |a＋1|＝.又∵ a＞0，∴ a＝－1. 5. （必修2P106习题10改编）与直线7x＋24y＝5平行，并且距离等于3的直线方程是　　　　　　　　　　Ｗ. 答案：7x＋24y＋70＝0或7x＋24y－80＝0 解析：设直线方程为7x＋24y＋c＝0，则d＝＝3，∴ c＝70或－80.
1. 两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 y＝k1x＋b1 y＝k2x＋b2 A1x＋B1y＋C1＝0（A＋B≠0） A2x＋B2y＋C2＝0（A＋B≠0） 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0（当A2B2≠0时，≠） 垂直 k1＝－或k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0（当B1B2≠0时，＝－1） 平行 k1＝k2且b1≠b2 或（当A2B2C2≠0时，记为＝≠） 重合 k1＝k2且b1＝b2 A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2（λ≠0）（当A2B2C2≠0时，记为＝＝） 2. 两条直线的交点 设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组的解.若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标Ｗ.若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立.若方程组有无数组解，则两条直线重合Ｗ. 3. 几种距离 （1） 两点间的距离： 平面上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）间的距离公式： d（A，B）＝AB＝. （2） 点到直线的距离： 点P（x1，y1）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. （3） 两条平行线间的距离： 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. 4. 常见的三大直线系方程 （1） 与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0（m∈R且m≠C）. （2） 与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0（m∈R）. （3） 过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ∈R），但不包括l2. 5. 中心对称 （1） 点关于点对称：若点M（x1，y1）与N（x，y）关于P（a，b）对称，则由中点坐标公式得进而求解. （2） 直线关于点对称问题的主要解法：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l1∥l2，由点斜式得到所求的直线方程. 6. 轴对称 （1） 点关于直线的对称 若两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，且连结P1P2的直线垂直于对称轴l， 由方程组 可得到点P1关于l对称的点P2的坐标（x2，y2）（其中A≠0，x1≠x2）. 特别地，若直线l：Ax＋By＋C＝0满足|A|＝|B|，则P1（x1，y1）与P2（x2，y2）坐标关系为 （2） 直线关于直线的对称 此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行. [备课札记]


,　　　　　　　　　1　两直线的平行与垂直)
,　　　　　1)　已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：（a－1）x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值： （1） l1⊥l2，且直线l1过点（－3，－1）； （2） l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等. 解：（1） ∵ l1⊥l2，∴ a（a－1）－b＝0. ∵ 直线l1过点（－3，－1）， ∴ －3a＋b＋4＝0.故a＝2，b＝2. （2） ∵ 直线l2的斜率存在，l1∥l2， ∴ 直线l1的斜率存在.∴ k1＝k2，即＝1－a. ∵ 坐标原点到这两条直线的距离相等， ∴ l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b. 故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
变式训练 已知直线l1经过点A（3，a），B（a－1，2），直线l2经过点C（1，2），D（－2，a＋2），分别在下列条件下求a的值： （1） l1∥l2； （2） l1⊥l2. 解：设直线l2的斜率为k2，则k2＝＝－. （1） 若l1∥l2，则直线l1的斜率k1＝－. 又k1＝，则＝－，解得a＝1或a＝6. 经检验，当a＝1或a＝6时，l1∥l2. （2） 若l1⊥l2. ① 当k2＝0时，此时a＝0，k1＝－，不符合题意. ② 当k2≠0时，直线l2的斜率存在，此时k1＝. 由k2k1＝－1，得－＝－1，解得a＝3或a＝－4. 经检验，当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2.
,　　　　　　　　　2　两直线的交点)
,　　　　　2)　已知△ABC的顶点B（3，4），AB边上的高CE所在直线方程为2x＋3y－16＝0，BC边上的中线AD所在直线方程为2x－3y＋1＝0，求AC的长. 解：∵ kCE＝ －，AB⊥CE， ∴ kAB＝， ∴ 直线AB的方程为3x－2y－1＝0. 由解得A（1，1）， 设C（a，b）， 则D， ∵ C点在CE上，BC的中点D在AD上， ∴ 得C（5，2）， 由两点间距离公式得AC的长为.
变式训练 已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程. 解：依题意知：kAC＝－2，A（5，1），∴ lAC：2x＋y－11＝0. 联立lAC，lCM得∴ C（4，3）. 设B（x0，y0），则AB的中点M为， 代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0， ∴ ∴ B（－1，－3）， ∴ kBC＝， ∴ 直线BC的方程为y－3＝（x－4）， 即6x－5y－9＝0.
,　　　　　　　　　3　点到直线及两平行直线之间的距离)
,　　　　　3)　已知点P（2，－1）. （1） 求过P点且与原点距离为2的直线l的方程； （2） 求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ （3） 是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由. 解：（1） 过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为（2，－1）， 可见，过P（2，－1）且垂直于x轴的直线满足条件. 此时l的斜率不存在，其方程为x＝2. 若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k（x－2）， 即kx－y－2k－1＝0. 由已知，得＝2，解得k＝. 此时l的方程为3x－4y－10＝0. 综上，直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0. （2） 过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与OP垂直的直线， 由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－＝2. 由直线方程的点斜式得y＋1＝2（x－2）， 即2x－y－5＝0. 即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为＝. （3） 不存在.理由：由（2）可知，过P点不存在到原点距离大于的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线. 已知直线l经过直线l1：2x＋y－5＝0与l2：x－2y＝0的交点. （1） 若点A（5，0）到l的距离为3，求直线l的方程； （2） 求点A（5，0）到直线l的距离的最大值. 解：（1） 由直线l经过直线l1与l2交点知，其直线系方程为（2x＋y－5）＋λ（x－2y）＝0，即（2＋λ）x＋（1－2λ）y－5＝0. ∵ 点A（5，0）到直线l的距离为3， ∴ ＝3， 即2λ2－5λ＋2＝0，∴ λ＝2或λ＝， ∴ 直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0. （2） 设直线l1与l2的交为P，由解得P（2，1），如图，过点P作任一直线l，设d为点A到l的距离， 则d≤PA（当l⊥PA时等号成立）. ∴ dmax＝PA＝＝.

,　　　　　　　　　4　对称问题)
,　　　　　4)　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A（－1，－2）.求： （1） 点A关于直线l的对称点A′的坐标； （2） 直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程； （3） 直线l关于点A（－1，－2）对称的直线l′的方程. 解：（1） 设A′（x，y），由已知得 解得 ∴ A′. （2） 在直线m上任取一点，如M（2，0），则M（2，0）关于直线l的对称点必在m′上.设对称点为M′（a，b）， 则 解得M′. 设m与l的交点为N，则由解得N（4，3）. ∵ m′经过点N（4，3）， ∴ 由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0. （3） 设P（x，y）为l′上任意一点，则P（x，y）关于点A（－1，－2）的对称点为P′（－2－x，－4－y）. ∵ P′在直线l上，∴ 2（－2－x）－3（－4－y）＋1＝0，即2x－3y－9＝0. 光线通过点A（2，3），在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B（1，1），试求入射光线和反射光线所在直线的方程. 解：设点A（2，3）关于直线l的对称点为A′（x0，y0）， 则解得A′（－4，－3）. 由于反射光线经过点A′（－4，－3）和B（1，1）， 所以反射光线所在直线的方程为＝，即4x－5y＋1＝0. 解方程组得反射点P. 所以入射光线所在直线的方程为＝，即5x－4y＋2＝0.
1. （2016上海卷文）已知平行直线l1：2x＋y－1＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1，l2的距离为　　　　　Ｗ. 答案： 解析：利用两平行线间距离公式得d＝＝. 2. 将一张坐标纸折叠一次，使点（0，2）与点（4，0）重合，且点（7，3）与点（m，n）重合，则m＋n的值是　　　　Ｗ. 答案： 解析：点（0，2）与点（4，0）关于y－1＝2（x－2）对称，则点（7，3）与点（m，n）也关于y－1＝2（x－2）对称，则 解得∴ m＋n＝. 3. 已知l1，l2是分别经过A（1，1），B（0，－1）两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是　　　　. 答案：x＋2y－3＝0 解析：当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大.因为A（1，1），B（0，－1），所以kAB＝＝2，所以两平行直线的斜率为k＝－，所以直线l1的方程是y－1＝－（x－1），即x＋2y－3＝0. 4. 在平面直角坐标系中，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，－1）的距离之和最小的点的坐标是　　　　Ｗ. 答案：（2，4） 解析：设P为平面上一点，则由三角形两边之和大于第三边知PA＋PC≥AC，PB＋PD≥BD，所以四边形ABCD对角线的交点到四点距离之和最小，直线AC的方程为y－2＝2（x－1），直线BD的方程为y－5＝－（x－1），由得交点坐标为（2，4）. 5. △ABC的两条高所在直线的方程分别为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，顶点A的坐标为（1，2），求BC边所在直线的方程. 解：可以判断A不在所给的两条高所在的直线上，则可设AB，AC边上的高所在直线的方程分别为2x－3y＋1＝0，x＋y＝0， 则可求得AB，AC边所在直线的方程分别为 y－2＝－（x－1），y－2＝x－1， 即3x＋2y－7＝0，x－y＋1＝0. 由得B（7，－7）， 由得C（－2，－1）， 所以BC边所在直线的方程为2x＋3y＋7＝0.
1. 在平面直角坐标系xOy中，直线l：（2k－1）x＋ky＋1＝0，则当实数k变化时，原点O到直线l的距离的最大值为　　　　Ｗ. 答案： 解析：直线l过定点P（1，－2），原点O到直线l的距离的最大值即为OP＝＝. 2. 若过点P（1，2）作一直线l，使点M（2，3）和点N（4，－1）到直线l的距离相等，则直线l的方程为　　　　　　Ｗ. 答案：2x＋y－4＝0或x＋2y－5＝0 解析：当直线l经过MN的中点时，其方程为x＋2y－5＝0；当过M，N两点的直线平行于直线l时，直线l的方程为2x＋y－4＝0. 3. 已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是　　　　　　Ｗ. 答案： 解析：由方程组解得 （若2k＋1＝0，即k＝－，则两直线平行） ∴ 交点坐标为. ∵ 交点位于第一象限， ∴ 解得－＜k＜. ∴ 实数k的取值范围是. 4. 已知直线l1：2x－y－2＝0和直线l2：x＋2y－1＝0关于直线l对称，则直线l的斜率为　　　　Ｗ. 答案：－3或 解析：（解法1）在直线l上任取一点P（x，y），点P到直线l1和直线l2的距离相等.＝，整理得，直线l的方程为3x＋y－3＝0或x－3y－1＝0，所以直线l的斜率为－3或. （解法2）设l1的倾斜角为α.因为l1⊥l2，所以l的倾斜角为α， 所以直线l的斜率为tan. 因为tan α＝2，所以tan＝＝－3，tan＝＝， 所以直线l的斜率为－3或.
1. 在两条直线的位置关系中，讨论最多的还是平行与垂直，它们是两条直线的特殊位置关系.解题时认真画出图形，有助于快速准确地解决问题.判断两直线平行与垂直时，不要忘记考虑斜率不存在的情形，利用一般式则可避免分类讨论. 2. 运用公式d＝求两平行直线间的距离时，一定要把x，y项系数化为相等的系数. 3. 对称思想是高考热点，主要分为中心对称和轴对称两种，关键要把握对称问题的本质，必要情况下可与函数的对称轴建立联系.[备课札记]  第4课时　圆 的 方 程（对应学生用书（文）127～128页、（理）132～133页）

了解确定圆的几何要素（圆心、半径、不在同一直线上的三个点等）；掌握圆的标准方程与一般方程. 　　能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系并会进行互化.
1. （必修2P111练习4改编）圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是　　　　Ｗ. 答案：（2，－3） 解析：由（x－2）2＋（y＋3）2＝13知，圆心坐标为（2，－3）. 2. （必修2P111习题7改编）已知圆C经过A（5，1），B（1，3）两点，圆心在x轴上，则圆C的标准方程为　　　　　Ｗ. 答案：（x－2）2＋y2＝10 解析：设圆心坐标为（a，0），易知＝，解得a＝2，∴ 圆心为（2，0），半径为，∴ 圆C的标准方程为（x－2）2＋y2＝10. 3. （必修2P111练习6改编）经过三点A（1，－1），B（1，4），C（4，－2）的圆的一般方程为　　　　　　Ｗ. 答案：x2＋y2－7x－3y＋2＝0 解析：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.将A，B，C三点代入，整理得方程组 解得 ∴ 所求圆的一般方程为x2＋y2－7x－3y＋2＝0. 4. 已知点P（1，1）在圆x2＋y2－ax＋2ay－4＝0的内部，则a的取值范围是　　　　Ｗ. 答案：（－∞，2） 解析：由圆的一般方程知a∈R，因为点P在圆内，所以1＋1－a＋2a－4<0，解得a<2. 5. （原创）已知实数x，y满足x2＋（y＋3）2＝4，则（x－3）2＋（y－1）2的最大值为　　　　Ｗ. 答案：49 解析：（x－3）2＋（y－1）2表示圆x2＋（y＋3）2＝4上一动点P（x，y）到点（3，1）的距离d的平方，因为圆心（0，－3）到点（3，1）的距离为5，所以d的最大值为5＋2＝7，所以d2的最大值为49.
1. 圆的定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.确定一个圆最基本的要素是圆心和半径Ｗ. 2. 圆的标准方程 （1） 以（a，b）为圆心，r （r>0）为半径的圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2Ｗ. （2） 特殊的，x2＋y2＝r2（r>0）的圆心为（0，0），半径为rＷ. 3. 圆的一般方程 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0变形为 ＋＝. （1） 当D2＋E2－4F>0时，该方程表示以为圆心，为半径的圆； （2） 当D2＋E2－4F＝0时，该方程表示一个点； （3） 当D2＋E2－4F＜0时，该方程不表示任何图形. 4. 点与圆的位置关系 点M（x0，y0）与圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2的位置关系： （1） 若M（x0，y0）在圆外，则（x0－a）2＋（y0－b）2>r2Ｗ. （2） 若M（x0，y0）在圆上，则（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2Ｗ. （3） 若M（x0，y0）在圆内，则（x0－a）2＋（y0－b）20，圆M为△ABC的外接圆. （1） 求圆M的方程； （2） 当a变化时，圆M是否过某一定点，请说明理由. 解：（1） 设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. ∵ 圆M过点A（0，a），B（－，0），C（，0） ∴ 解得 ∴ 圆M的方程为x2＋y2＋（3－a）y－3a＝0. （2） 圆M的方程可化为（3＋y）a－（x2＋y2＋3y）＝0. 由解得 ∴ 圆M过定点（0，－3）.
,　　　　　　　　　3　圆方程的应用)
,　　　　　3)　如图，某市有一条东西走向的公路l，现欲经过公路l上的O处铺设一条南北走向的公路m.在施工过程中发现在O处的正北1百米的A处有一汉代古迹.为了保护古迹，该市决定以A为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区.为了连通公路l，m，欲再新建一条公路PQ，点P，Q分别在公路l，m上（点P，Q分别在点O的正东，正北方向上），且要求PQ与圆A相切. （1） 当点P距O处2百米时，求OQ的长； （2） 当公路PQ长最短时，求OQ的长.
解：如图，以O为原点，直线l，m分别为x，y轴建立平面直角坐标系. 设PQ与圆A相切于点B，连结AB，以1百米为单位长度，则圆A的方程为x2＋（y－1）2＝1.
（1） 由题意可设Q（0，q），则直线PQ的方程为＋＝1，即qx＋2y－2q＝0（q>2）. ∵ PQ与圆A相切， ∴ ＝1，解得q＝，故当P距O处2百米时，OQ的长为百米. 答：当P距O处2百米时，OQ的长为百米. （2） 设P（p，0），则直线PQ的方程为＋＝1，即qx＋py－pq＝0（p>1，q>2）. ∵ PQ与圆A相切，∴ ＝1，化简得p2＝，则PQ2＝p2＋q2＝＋q2. 令f（q）＝＋q2（q>2）， ∴ f′（q）＝2q－＝（q>2）. 当2时，f′（q）>0，即f（q）在上单调递增， ∴ f（q）在q＝时取得最小值，故当公路PQ长最短时，OQ的长为百米. 答：当公路PQ长最短时， OQ的长为百米.
变式训练 有一种大型商品，A，B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后，运回的费用是：每单位距离A地的运费是B地运费的3倍.已知A，B两地相距10 km，顾客选A或B地购买这件商品的标准：包括运费和价格的总费用较低.求A，B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点. 解：如图，以A，B所确定的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A（－5，0），B（5，0）.
设某地P的坐标为（x，y），且P地居民选择A地购买商品便宜， 并设A地运费为3a元/km，B地运费为a元/km， 价格＋QA地运费≤价格＋QB地运费， ∴ 3a≤a. ∵ a>0，∴ 3≤， 两边平方得9（x＋5）2＋9y2≤（x－5）2＋y2