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课时跟踪训练(三十五) 一元二次不等式及其解法
一、选择题
1．(2017河北重点中学一模)设集合M＝{x|x2－2x－3<0}，N＝{x|log2x>0}，则M∩N等于( )
A．(－1,1) B．(1,3) C．(0,1) D．(－1,0)
[解析] 解x2－2x－3<0，得－1
0，得x>1.所以M＝{x|－11}，所以M∩N＝{x|1x2－2x＋5，设f(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，x∈[2,4]，当x＝2时f(x)min＝5，∃x∈[2,4]使x2－2x＋5－m<0成立，即m>f(x)min，∴m>5.故选B.
[答案] B
5．不等式(ax－2)(x－1)≥0(a<0)的解集为( )
A.
B.
C.∪[1，＋∞)
D．(－∞，1]∪
[解析] 因为a<0，所以<0，所以原不等式的解集为，故选A.
[答案] A
6．(2018河北邯郸一中等校期中)若不等式ax2－bx＋c>0的解集是，则以下结论中：①a>0；②b<0；③c>0；④a＋b＋c>0；⑤a－b＋c>0，正确的是( )
A．①②⑤ B．①③⑤
C．②③⑤ D．③④⑤
[解析] ax2－bx＋c>0的解集是，故a<0，且ax2－bx＋c＝0的两根为－，2.由根与系数的关系得2－＝>0,2＝<0，故b<0，c>0.因此，②③正确，①错误．设f(x)＝ax2－bx＋c，根据f(－1)<0，f(1)>0，可知a＋b＋c<0，a－b＋c>0，故④错误，⑤正确．
[答案] C
二、填空题
7．(2017山东烟台联考)不等式x>的解集为________．
[解析] 当x>0时，原不等式等价于x2>1，解得x>1；当x<0时，原不等式等价于x2<1，解得－1的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．
[答案] (－1,0)∪(1，＋∞)
8．函数y＝的定义域为________．
[解析] 函数y＝的定义域应保证满足0<4x2－3x≤1，解得－≤x<0或0；
(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．
[解] (1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，
∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3，
∴原不等式可化为a2－6a－3<0，
解得3－2b的解集为(－1,3)等价于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，
等价于解得
[能力提升]
11．(2017广东惠州调研)关于x的不等式ax－b>0的解集是，则关于x的不等式>0的解集是( )
A．(1,5) B．(1，＋∞)
C．(－∞，5) D．(－∞，1)∪(5，＋∞)
[解析] 因为不等式ax－b>0的解集是，所以a>0，且a－2b＝0，所以不等式>0等价于>0，等价于(x－1)(x－5)<0，解得10在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是( )
A. B.
C．(1，＋∞) D.
[解析] 由Δ＝a2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x1x2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图象的示意图如图．所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0，解得a>－，故选A.
[答案] A
13．(2017重庆凤鸣山中学月考)若不存在整数x满足不等式(kx－k2－4)(x－4)<0，则实数k的取值范围是________．
[解析] 容易判断k＝0或k<0时，均不符合题意，所以k>0.所以原不等式即为k(x－4)<0，等价于(x－4)<0依题意应有3≤≤5且k>0，所以1≤k≤4.
[答案] [1,4]
14．若不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0，|a|≤1恒成立，则x的取值范围是________．
[解析] 将原不等式整理为形式上是关于a的不等式
(x－3)a＋x2－6x＋9>0.
令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9.
因为f(a)>0在|a|≤1时恒成立，所以
①若x＝3，则f(a)＝0，不符合题意，应舍去．
②若x≠3，则由一次函数的单调性，可得
即解得x<2或x>4.
[答案] (－∞，2)∪(4，＋∞)
15．(2017黑龙江虎林一中期中)已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若对于任意的x∈[－1,1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范围．
[解] (1)f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，即2x2＋bx＋c<0的解集是(0,5)，∴0和5是方程2x2＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系知，－＝5，＝0，∴b＝－10，c＝0，f(x)＝2x2－10x.
(2)f(x)＋t≤2恒成立等价于2x2－10x＋t－2≤0恒成立，∴2x2－10x＋t－2的最大值小于或等于0.设g(x)＝2x2－10x＋t－2，则由二次函数的图象可知g(x)＝2x2－10x＋t－2在区间[－1,1]上为减函数，∴g(x)max＝g(－1)＝10＋t，∴10＋t≤0，即t≤－10.
16．(1)对任意m∈[－1,1]函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．
(2)求不等式ax2－3x＋2>5－ax(a∈R)的解集．
[解] (1)由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.
由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，
∴
解得x<1或x>3.
故当x<1或x>3时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．
(2)不等式为ax2＋(a－3)x－3>0，即(ax－3)(x＋1)>0，
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x<－1}．
当a≠0时，方程(ax－3)(x＋1)＝0的根为x1＝，x2＝－1，
①当a>0时，>－1，∴不等式的解集为；
②当－3－1
∴不等式的解集为.
综上，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x<－1}；
当a>0时，不等式解集为；
当－3
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