（浙江专版）2017-2018学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数学案 新人教A版必修1.doc

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2.1　 2．1.1　指数与指数幂的运算 预习课本P48～53，思考并完成以下问题 (1)n次方根是怎样定义的？ (2)根式的定义是什么？它有哪些性质？ (3)有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？ (4)根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？ (5)如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？ 1．n次方根 定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N* 个数 n是奇数 a＞0 x＞0 x仅有一个值，记为 a＜0 x＜0 n是偶数 a＞0 x有两个值，且互为相反数，记为 a＜0 x不存在 [点睛]　根式的概念中要求n＞1，且n∈N*. 2．根式 (1)定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)性质：(n＞1，且n∈N*) ①()n＝a.　②＝ [点睛]　 ()n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而中a∈R. 3．分数指数幂的意义 分数指幂 正分数 指数幂 规定：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1) 负分数 指数幂 规定：a＝＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1) 0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 [点睛]　分数指数幂a不可以理解为个a相乘． 4．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 5．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 1．判断(正确的打“√”，错误的打“”) (1)任意实数的奇次方根只有一个．(　　) (2)正数的偶次方根有两个且互为相反数．(　　) (3) ＝4－π.(　　) (4)分数指数幂a可以理解为个a相乘．(　　) (5)0的任何指数幂都等于0.(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)　(5) 2.可化为(　　) A．a　　　 B．a　　　C．a　　　 D．.－a 答案：A 3．化简25的结果是(　　) A．5 B．15 C．25 D．.125 答案：D 4．计算：π0＋2－2＝________. 答案： 根式的化简与求值 [例1]　化简： (1)(x＜π，n∈N*)； (2). [解]　(1)∵x＜π，∴x－π＜0. 当n为偶数时， ＝|x－π|＝π－x； 当n为奇数时， ＝x－π. 综上可知，＝ (2)∵a≤，∴1－2a≥0， ∴＝＝＝. 根式化简应遵循的3个原则 (1)被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式． (2)被开方数是带分数的要化成假分数． (3)被开方数中不能含有分母；使用＝(a≥0，b≥0)化简时，被开方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式．　　　　 [活学活用] 1．若xy≠0，则使＝－2xy成立的条件可能是(　　) A．x＞0，y＞0　　　　　　　 B．x＞0，y＜0 C．x≥0，y≥0 D．x＜0，y＜0 解析：选B　∵＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0. 又∵xy≠0，∴xy＜0，故选B. 2．若＝，则实数a的取值范围为________． 解析： ＝|2a－1|， ＝1－2a. 因为|2a－1|＝1－2a， 故2a－1≤0，所以a≤. 根式与分数指数幂的互化 答案： [例2]　用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)： (1)；(2)a3；(3) . [解]　(1)＝＝a. (2)a3＝a3a＝a3＋＝a. (3) ＝＝b＝b(－a－2) ＝－ba 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数 化为 分数指数的分母，被开方数(式)的指数 化为 分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．　　　　 [活学活用] 3．下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　) A．－＝(－x) (x＞0) B.＝y(y＜0) C．x－＝ (x＞0) D．x－＝－(x≠0) 解析：选C　－＝－x (x＞0)； ＝[(y)2]＝－y (y＜0)； x－＝(x－3)＝ (x＞0)； x＝＝(x≠0)． 4．将下列根式与分数指数幂进行互化： ①a；② (a＞0)；③(a＞0)． 解：①a＝. ② ＝aa＝a. 指数幂的运算 ③原式＝a3aa＝a＝a. [例3]　计算下列各式： (1)0＋2－2－－0.010.5； (2)0.064－0＋[(－2)3] ＋16－0.75； (3) (a>0，b>0)． [解]　(1)原式＝1＋－＝1＋－＝. (2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝－1＋＋＝. (3)原式＝aabb＝a0b0＝. 利用指数幂的运算性质化简求值的方法 (1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序． (2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算． (3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．　　　　 [活学活用] 5．计算： (1)0.027－＋256＋(2)－3－1＋π0； (2)(a－2b－3)(－4a－1b)(12a－4b－2c)； (3)243. 解：(1)原式＝(0.33) －＋(44) ＋(2)－＋1＝0.3－＋43＋2－＋1＝64. (2)原式＝－4a－2－1b－3＋1(12a－4b－2c) ＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1 ＝－ac－1＝－. (3)原式＝2a(4ab)(3b) ＝ab3b＝ab. 条件求值问题 [例4]　已知a＋a＝，求下列各式的值： (1)a＋a－1；(2)a2＋a－2. [解]　(1)将a＋a＝两边平方，得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3. (2)将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，∴a2＋a－2＝7. [一题多变] 1．[变结论]在本例条件下，则a2－a－2＝________. 解析：令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，∴y＝3，即a2－a－2＝3. 答案：3 2．[变条件]若本例变为：已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求 值． 解：＝＝. ① ∵a＋b＝12，ab＝9， ② ∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－49＝108. ∵a＜b，∴a－b＝－6. ③ 将②③代入①，得＝＝－. 条件求值的步骤 层级一　学业水平达标 1．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是(　　) A．(－1)和(－1)　　　　 B．0－2和0 C．2和4 D． 4和－3 解析：选C　选项A中，(－1) 和(－1) 均符合分数指数幂的定义，但(－1) ＝－1，(－1)＝＝1，故A不满足题意；选项B中，0的负分数指数幂没有意义，故B不满足题意；选项D中，4和－3虽符合分数指数幂的定义，但值不相等，故D不满足题意；选项C中，2＝，4＝＝2＝，满足题意．故选C. 2．已知：n∈N，n＞1，那么等于(　　) A．5 B．－5 C．－5或5 D．不能确定 解析：选A　＝＝5. 3．计算－的结果为(　　) A.　　 　 B.　　 　C．－　　 　 D．－ 解析：选A　－＝－＝－1＝. 4．化简[]的结果为(　　) A．5 B. C．－ D．.－5 解析：选B　[]＝[(－5) ] ＝5＝. 5．计算(2a－3b－)(－3a－1b)(4a－4b－)得(　　) A．－b2 B.b2 C．－b D.b 解析：选A　原式＝＝－b2. 6．若x≠0，则|x|－＋＝________. 解析：∵x≠0，∴原式＝|x|－|x|＋＝1. 答案：1 7．若＋＝0，则(x2 017)y＝________. 解析：因为 ＋ ＝0， 所以 ＋ ＝|x＋1|＋|y＋3|＝0， 所以x＝－1，y＝－3. ∴(x2 017)y＝[(－1)2 017]－3＝(－1)－3＝－1. 答案：－1 8. － ＋ 的值为________． 解析：原式＝ － ＋ ＝－＋＝. 答案： 9．计算下列各式(式中字母都是正数)： (1)) ； (2)(mn－)8. 解：(1)原式＝[2(－6)(－3)]a＋－b＋－ ＝4ab0＝4a. (2)原式＝(m)8(n)8＝m2n－3＝. 10．已知＋＝－a－b，求＋的值． 解：因为＋＝－a－B. 所以＝－a，＝－b， 所以a≤0，b≤0，所以a＋b≤0， 所以原式＝|a＋b|＋a＋b＝－(a＋b)＋a＋b＝0. 层级二　应试能力达标 1．计算(n∈N*)的结果为(　　) A.　　　　　　　　　　 B．22n＋5 C．2n2－2n＋6 D.2n－7 解析：选D　原式＝＝＝27－2n＝2n－7. 2. 0－(1－0.5－2)的值为(　　) A．－ B.　 　　C.　 　　D. 解析：选D　原式＝1－(1－22)2＝1－(－3)＝.故选D. 3．设a＞0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是(　　) A．a B．a C．a D．.a 解析：选C　＝＝＝＝a2a－＝a2－＝a. 4．设x，y是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为(　　) A. B. C．1 D. 解析：选B　∵x9x＝(9x)x，(x9)x＝(9x)x，∴x9＝9x. ∴x8＝9.∴x＝＝. 5．如果a＝3，b＝384，那么an－3＝________. 解析：an－3＝3n－3＝3[(128)]n－3＝32n－3. 答案：32n－3 6．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α2β＝________，(2α)β＝________. 解析：由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝. 则2α2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝2. 答案：　2 7．化简求值： (1) 0.5＋0.1－2＋－－3π0＋； (2)8－(0.5)－3＋－6； (3)－＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0. 解：(1)原式＝＋＋－3＋＝＋100＋－3＋＝100. (2)8－(0.5)－3＋－6＝(23)－(2－1)－3＋(3－)－6＝22－23＋33－3＝4－8＋27＝4. (3)原式＝(－1)－－＋－－＋1 ＝－＋(500) －10(＋2)＋1 ＝＋10－10－20＋1＝－. 8．已知a＝3，求＋＋＋的值． 解：＋＋＋ ＝＋＋ ＝＋＋ ＝＋ ＝＋＝＝－1. 2．1.2　指数函数及其性质 第一课时　指数函数及其性质 预习课本P54～58，思考并完成以下问题 (1)指数函数的概念是什么？ 　 (2)结合指数函数的图象，可归纳出指数函数具有哪些性质？ (3)指数函数的图象过哪个定点？如何求指数型函数的定义域和值域问题？ 　 1．指数函数的定义 函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R. [点睛]　指数函数解析式的3个特征 (1)底数a为大于0且不等于1的常数． (2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1. (3)ax的系数是1. 2．指数函数的图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图　象 a＞1 0＜a＜1 性　　质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过点(0,1)即x＝0时，y＝1 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 [点睛]　底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a＞1时，指数函数的图象是“上升”的；当0＜a＜1时，指数函数的图象是“下降”的． 1．判断(正确的打“√”，错误的打“”) (1)y＝x2是指数函数． (　　) (2)指数函数y＝ax中，a可以为负数． (　　) (3)指数函数的图象一定在x轴的上方． (　　) 答案：(1)　(2)　(3)√ 2．函数y＝(－1)x在R上是(　　) A．增函数　　　　　　　　 B．奇函数 C．偶函数 D．.减函数 答案：D 3．函数y＝2－x的图象是(　　) 答案：B 4．函数f(x)＝2x＋3的值域为________．答案：(3∞) 指数函数的概念 [例1]　(1)下列函数： ①y＝23x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3. 其中，指数函数的个数是(　　) A．0　　　　 B．1　　　 　 C．2　　　　 D．3 (2)函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则(　　) A．a＝1或a＝3　　　　　　　　 B．a＝1 C．a＝3 D． a>0且a≠1 [解析]　(1)①中，3x的系数是2，故①不是指数函数； ②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数； ③中，y＝3x,3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数； ④中，y＝x3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．所以只有③是指数函数． (2)由指数函数定义知所以解得a＝3. [答案]　(1)B　(2)C 判断一个函数是指数函数的方法 (1)需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征． (2)看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．　　　　 [活学活用] 1．若函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则a＝________. 解析：由y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数， 可得解得∴a＝2. 指数型函数的定义域和值域 答案：2 [例2]　求下列函数的定义域和值域： (1)y＝2；(2)y＝－|x|；(3)y＝ . [解]　(1)x应满足x－4≠0，∴x≠4，∴定义域为{x|x≠4，x∈R}．∵≠0，∴2≠1，∴y＝2的值域为{y|y＞0，且y≠1}． (2)定义域为R. ∵|x|≥0，∴y＝－|x|＝|x|≥0＝1，∴此函数的值域为[1，＋∞)． (3)由题意知1－x≥0，∴x≤1＝0，∴x≥0，∴定义域为{x|x≥0，x∈R}．∵x≥0∴x≤1. 又∵x＞0，∴0＜x≤1.∴0≤1－x＜1，∴0≤y＜1，∴此函数的值域为[0,1)． 指数型函数的定义域、值域的求法 (1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y＝ax型还是y＝af(x)型，前者的定义域是R，后者的定义域与f(x)的定义域一致，而求y＝型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)． (2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．　　　　 [活学活用] 2．求下列函数的定义域、值域： (1)y＝3；(2)y＝. 解：(1)由5x－1≥0，得x≥， 所以所求函数的定义域为.由≥0，得y≥1， 所以所求函数的值域为[1，＋∞)． (2)定义域为R. ∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，∴x2－2x－3≤－4＝16.又∵＞0， ∴函数y＝的值域为(0,16]. 指数型函数图象 题点一：指数型函数过定点问题 1．函数y＝ax－3＋3(a＞0，且a≠1)的图象过定点________． 解析：因为指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝ax－3＋3的图象过定点(3,4)． 答案：(3,4) 题点二：指数型函数图象中数据判断 2．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D． 0＜a＜1，b＜0 解析：选D　从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0＜a＜1；从曲线位置看，是由函数y＝ax(0＜a＜1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b＞0，即b＜0. 题点三：作指数型函数的图象 3．画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的． (1)y＝2x＋1；(2)y＝－2x. 解：如图． (1)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位长度得到的； (2)y＝－2x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称． 指数函数图象问题的处理技巧 (1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点． (2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的奇偶性与单调性．奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势．　　　　 层级一　学业水平达标 1．下列函数中，指数函数的个数为(　　) ①y＝x－1；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x； ④y＝ 2x－1. A．0个　　　　　　　　　　 B．1个 C．3个 D．4个 解析：选B　由指数函数的定义可判定，只有②正确． 2．函数y＝的定义域是(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，0] C．[0，＋∞) D. (0，＋∞) 解析：选C　由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0. 3．当a＞0，且a≠1时，函数f(x)＝ax＋1－1的图象一定过点(　　) A．(0,1) B．(0，－1) C．(－1,0) D. (1,0) 解析：选C　当x＝－1时，显然f(x)＝0，因此图象必过点(－1,0)． 4．函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是(　　) 解析：选A　当a＞1时，函数f(x)＝ax单调递增，当x＝0时，g(0)＝a＞1，此时两函数的图象大致为选项A. 5．指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图，则(　　) A．a＜0，b＜0 B．a＜0，b＞0 C．0＜a＜1，b＞1 D.0＜a＜1,0＜b＜1 解析：选C　由图象知，函数y＝ax在R上单调递减，故0＜a＜1；函数y＝bx在R上单调递增，故b＞1. 6．若函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则a＝______. 解析：由指数函数的定义得解得a＝1. 答案：1 7．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f(－2)的值为______． 解析：由已知得解得 所以f(x)＝x＋3，所以f(－2)＝－2＋3＝4＋3＝7. 答案：7 8．若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是________． 解析：由x＜0，得0＜2x＜1；由x＞0，∴－x＜0,0＜2－x＜1，∴－1＜－2－x＜0.∴函数f(x)的值域为(－1,0)∪(0,1)． 答案：(－1,0)∪(0,1) 9．求下列函数的定义域和值域： (1)y＝2－1.(2)y＝2x2－2. 解：(1)要使y＝2－1有意义，需x≠0，则2＞0且2≠1，故2－1＞－1且2－1≠0，故函数y＝2－1的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为(－1,0)∪(0，＋∞)． (2)函数y＝的定义域为实数集R，由于2x2≥0，则2x2－2≥－2，故0＜2x2－2≤9，所以函数y＝的值域为(0,9]． 10．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a＞0且a≠1. (1)求a的值． (2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域． 解：(1)函数图象经过点，所以a2－1＝，则a＝. (2)由(1)知函数为f(x)＝x－1(x≥0)，由x≥0，得x－1≥－1.于是0＜x－1≤－1＝2，所以函数的值域为(0,2]． 层级二　应试能力达标 1．函数y＝的值域是(　　) A．[0，＋∞)　　　　　　　　 B．[0,4] C．[0,4) D．(0,4) 解析：选C　要使函数式有意义，则16－4x≥0.又因为4x＞0，∴0≤16－4x＜16，即函数y＝ 的值域为[0,4)． 2．函数y＝2－1的定义域、值域分别是(　　) A．R，(0，＋∞) B．{x|x≠0}，{y|y＞－1} C．{x|x≠0}，{y|y＞－1，且y≠1} D．{x|x≠0}，{y|y＞－1，且y≠0} 解析：选C　要使y＝2－1有意义，只需有意义，即x≠0.若令u＝＝1－，则可知u≠1，∴y≠21－1＝1.又∵y＝2－1＞0－1＝－1，∴函数y＝2－1的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y＞－1，且y≠1}． 3．函数f(x)＝πx与g(x)＝x的图象关于(　　) A．原点对称 B．x轴对称 C．y轴对称 D．.直线y＝－x对称 解析：选C　设点(x，y)为函数f(x)＝πx的图象上任意一点，则点(－x，y)为g(x)＝π－x＝x的图象上的点．因为点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)＝πx与g(x)＝x的图象关于y轴对称，选C. 4．已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　　) 解析：选C　由于0＜m＜n＜1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A、B，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C. 5．已知函数f(x)是指数函数，且f＝，则f(x)＝________. 解析：设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)， 由f ＝得，a＝5－2＝5，∴a＝5，∴f(x)＝5x. 答案：5x 6．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________． 解析：作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0. 答案：[1，＋∞)∪{0} 7．已知函数f(x)＝|x|－1. (1)作出f(x)的简图； (2)若关于x的方程f(x)＝3m有两个解，求m的取值范围． 解：(1)f(x)＝如图所示． (2)作出直线y＝3m，当－1＜3m＜0时，即－＜m＜0时，函数y＝f(x)与y＝3m有两个交点，即关于x的方程f(x)＝3m有两个解． 8．已知－1≤x≤2，求函数f(x)＝3＋23x＋1－9x的最大值和最小值． 解：设t＝3x，∵－1≤x≤2，∴≤t≤9，则f(x)＝g(t)＝－(t－3)2＋12，故当t＝3，即x＝1时，f(x)取得最大值12；当t＝9，即x＝2时，f(x)取得最小值－24. 第二课时　指数函数及其性质的应用(习题课) 利用指数函数的单调性比较大小 [例1]　比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6－1.2和0.6－1.5； (3)1.50.3和0.81.2. [解]　(1)∵函数y＝1.5x在R上是增函数，2.5＜3.2，∴1.52.5＜1.53.2. (2)∵函数y＝0.6x在R上是减函数，－1.2＞－1.5，∴0.6－1.2＜0.6－1.5. (3)由指数函数的性质知1.50.3＞1.50＝1，而0.81.2＜0.80＝1，∴1.50.3＞0.81.2. 比较指数式大小的三种类型及处理方法 [活学活用] 1．比较下列各题中两个值的大小． (1)0.8－0.1,1.250.2； (2)1.70.3,0.93.1. 解：(1)∵0＜0.8＜1，∴y＝0.8x在R上是减函数．∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1，即0.8－0.1＜1.250.2. 解简单的指数不等式 (2)∵1.70.3＞1.70＝1,0.93.1＜0.90＝1，∴1.70.3＞0.93.1. [例2]　求解下列不等式： (1)已知3x≥－0.5，求实数x的取值范围． (2)若a－5x＞ax＋7(a＞0且a≠1)，求x的取值范围． [解]　(1)因为－0.5＝30.5，所以由3x≥－0.5可得：3x≥30.5，因为y＝3x为增函数，故x≥0.5. (2)①当0＜a＜1时，函数y＝ax是减函数，则由a－5x＞ax＋7可得－5x＜x＋7，解得x＞－. ②当a＞1时，函数y＝ax是增函数，则由a－5x＞ax＋7可得－5x＞x＋7，解得x＜－.综上， 当0＜a＜1时，x＞－；当a＞1时，x＜－. 指数型不等式的解法 (1)指数型不等式af(x)＞ag(x)(a＞0，且a≠1)的解法： 当a＞1时，f(x)＞g(x)； 当0＜a＜1时，f(x)＜g(x)． (2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a＞0，且a≠1)，a－x＝x(a＞0，且a≠1)等．　　　　 [活学活用] 2．解不等式：≤2. 解：∵＝(2－1)＝2，∴原不等式等价于2≤21.∵y＝2x是R上的增函数，∴2－x2≤1，∴x2≥1，即x≥1或x≤－1.∴原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－1}. 指数型函数的单调性 　 　[例3]　判断f(x)＝x2－2x的单调性，并求其值域． [解]　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝u. ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝u在(－∞，＋∞)上递减， ∴y＝在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减． ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， ∴y＝u，u∈[－1，＋∞)， ∴0＜u≤－1＝3， ∴原函数的值域为(0,3]． [一题多变] 1．[变条件]本例中“x∈R”变为“x∈[－1,2]”．判断f(x)的单调性，并求其值域． 解：由本例解析知，又x∈[－1,2]， ∴f(x)＝x2－2x(x∈[－1,2])在[－1,1]上是增函数，在(1,2]上是减函数． ∵u＝x2－2x(x∈[－1,2])的最小值、最大值分别为umin＝－1，umax＝3，∴f(x)的最大值、最小值分别为f(1)＝－1＝3，f(－1)＝3＝.∴函数f(x)的值域为. 2．[变设问]在本例条件下，解不等式f(x)＜f(1)． 解：∵f(x)＜f(1)，即x2－2x＜－1，∴x2－2x＞－1，∴(x－1)2＞0，∴x≠1， ∴不等式的解集为{x|x≠1}． 函数y＝af(x)(a＞0，a≠1)的单调性的处理技巧 (1)关于指数型函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． (2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性．　　　　 指数函数的实际应用 [例4]　某林区2016年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并写出此函数的定义域． [解]　现有木材的蓄积量为200万立方米，经过1年后木材的蓄积量为200＋2005%＝200(1＋5%)； 经过2年后木材的蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)5%＝200(1＋5%)2万立方米； … 经过x年后木材的蓄积量为200(1＋5%)x万立方米． 故y＝f(x)＝200(1＋5%)x，x∈N*. 解决指数函数应用题的流程 (1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息． (2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式． (3)解模：运用数学知识解决问题． (4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．　　　　 [活学活用] 3．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天． 解析：假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半． 答案：19 层级一　学业水平达标 1．下列判断正确的是(　　) A．2.52.5＞2.53　　　　　　　　 B．0.82＜0.83 C．π2＜π D．0.90.3＞0.90.5 解析：选D　∵y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.3， ∴0.90.3＞0.90.5. 2．若函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 解析：选B　由已知，得0＜1－2a＜1，解得0＜a＜，即实数a的取值范围是. 3．若2a＋1＜3－2a，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B. C．(－∞，1) D. 解析：选B　∵函数y＝x在R上为减函数， ∴2a＋1＞3－2a，∴a＞. 4．设函数f(x)＝a－|x|(a＞0，且a≠1)，若f(2)＝4，则(　　) A．f(－2)＞f(－1) B．f(－1)＞f(－2) C．f(1)＞f(2) D. f(－2)＞f(2) 解析：选A　f(2)＝a－2＝4，a＝，f(x)＝－|x|＝2|x|，则f(－2)＞f(－1)． 5．函数y＝1－x的单调递增区间为(　　) A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D. (0,1) 解析：选A　定义域为R. 设u＝1－x，y＝u， ∵u＝1－x在R上为减函数， y＝u在(－∞，＋∞)上为减函数， ∴y＝1－x在(－∞，＋∞)上是增函数，故选A. 6．若－1＜x＜0，a＝2－x，b＝2x，c＝0.2x，则a，b，c的大小关系是________． 解析：因为－1＜x＜0，所以由指数函数的图象和性质可得：2x＜1,2－x＞1,0.2x＞1，又因为0.5x＜0.2x，所以b＜a＜c. 答案：b＜a＜c 7．满足方程4x＋2x－2＝0的x值为________． 解析：设t＝2x(t＞0)，则原方程化为t2＋t－2＝0， ∴t＝1或t＝－2. ∵t＞0，∴t＝－2舍去． ∴t＝1，即2x＝1，∴x＝0. 答案：0 8．函数y＝3x的值域为________． 解析：设u＝x2－2x，则y＝3u， u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， 所以y＝3u≥3－1＝， 所以函数y＝3的值域是. 答案： 9．已知指数函数f(x)的图象过点P(3,8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，又g(2x－1)＜g(3x)，求x的取值范围． 解：设f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，因为f(3)＝8，所以a3＝8，即a＝2，又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称，所以g(x)＝x，因此g(2x－1)＜g(3x)，即2x－1＜3x，所以2x－1＞3x，解得x＜－1. 10．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0且a≠1)在[－1,1]上的最大值为14，求a的值． 解：函数y＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，x∈[－1,1]．若a＞1，则x＝1时，函数取最大值a2＋2a－1＝14，解得a＝3.若0＜a＜1，则x＝－1时，函数取最大值a－2＋2a－1－1＝14，解得a＝.综上所述，a＝3或. 层级二　应试能力达标 1．已知f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a的取值范围是(　　) A．a＞0　　　　　　　　 B．a＞1 C．a＜1 D．0＜a＜1 解析：选D　∵－2＞－3，f(－2)＞f(－3)， 又f(x)＝a－x＝x， ∴－2＞－3， ∴＞1，∴0＜a＜1. 2．已知函数f(x)＝a2－x(a＞0且a≠1)，当x＞2时，f(x)＞1，则f(x)在R上(　　) A．是增函数 B．是减函数 C．当x＞2时是增函数，当x＜2时是减函数 D．.当x＞2时是减函数，当x＜2时是增函数 解析：选A　令2－x＝t，则t＝2－x是减函数，因为当x＞2时，f(x)＞1，所以当t＜0时，at＞1.所以0＜a＜1，所以f(x)在R上是增函数，故选A. 3．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是(　　) A．6　　　 B．1　　　　 C．3　 　　　D. 解析：选C　函数y＝ax在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是单调递增函数，当x＝1时，ymax＝3. 4．函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是(　　) A．(0,1) B. C. D. 解析：选B　由单调性定义，f(x)为减函数应满足： 即≤a＜1，故选 B. 5．函数f(x)＝的单调递增区间为________． 解析：由于底数∈(0,1)，所以函数f(x)＝的单调性与y＝1－x2的单调性相反，f(x)＝的单调递增区间就是y＝1－x2的单调递减区间．由y＝1－x2的图象(图略)可知：当x≤0时，y＝1－x2是增函数；当x≥0时，y＝1－x2是减函数．所以函数f(x)＝的单调递增区间为[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞) 6．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________． 解析：∵a2＋a＋2＝2＋>1， ∴y＝(a2＋a＋2)x为R上的增函数． ∴x>1－x.即x>. 答案： 7．某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题： (1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)． (参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127) 解：(1)1年后该城市人口总数为： y＝100＋1001.2%＝100(1＋1.2%)； 2年后该城市人口总数为： y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)1.2% ＝100(1＋1.2%)2； 3年后该城市人口总数为：y＝100(1＋1.2%)3； … x年后该城市人口总数为：y＝100(1＋1.2%)x. (2)10年后该城市人口总数为：y＝100(1＋1.2%)10 ＝1001.01210≈112.7(万人)． 8．设函数f(x)＝－， (1)证明函数f(x)是奇函数； (2)证明函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数； (3)求函数f(x)在[1,2]上的值域． 解：(1)证明：函数的定义域为R，关于原点对称． f(－x)＝－＝－＝＝－＋＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数． (2)证明：设x1，x2是(－∞，＋∞)内任意两实数，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝－－＋＝. 因为x1＜x2，所以2x1－2x2＜0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 所以函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数． (3)因为函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数， 所以函数f(x)在[1,2]上也是增函数， 所以f(x)min＝f(1)＝， f(x)max＝f(2)＝. 所以函数f(x)在[1,2]上的值域为.