2019高考数学二轮复习 第一篇 微型专题 微专题15 随机变量及其应用练习 理.docx
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15 随机变量及其应用 1.一个盒子中装有12个乒乓球,其中9个没有使用过的、3个已经使用过的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中已经使用过的球个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为( ). A.1220 B.2755 C.27220 D.2155 解析▶ “X=4”表示从盒中取了2个已经使用过的球,1个没有使用过的球,故P(X=4)=C32C91C123=27220. 答案▶ C 2.已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 35 310 110 则X的数学期望E(X)=( ). A.32 B.2 C.52 D.3 解析▶ 由数学期望公式可得E(X)=135+2310+3110=32. 答案▶ A 3.已知随机变量X服从正态分布N(0,82),若P(X>2)=0.023,则P(-2≤X≤2)= . 解析▶ 因为μ=0,所以P(X>2)=P(X<-2)=0.023,所以P(-2≤X≤2)=1-20.023=0.954. 答案▶ 0.954 4.若随机变量X~B(n,p),且E(X)=7,D(X)=6,则p= . 解析▶ 因为随机变量X~B(n,p),且E(X)=7,D(X)=6,所以np=7,np(1-p)=6,解得p=17. 答案▶ 17 能力1 ▶ 求离散型随机变量的分布列 【例1】 私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一,因此在生活中我们应该提倡低碳生活,少开私家车,尽量选择绿色出行方式,为预防雾霾出一份力.为此,很多城市实施了机动车尾号限行,我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了50人,将调查结果进行整理后制成下表: 年龄/岁 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75] 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数 4 6 9 6 3 4 (1)若从年龄在[15,25)和[25,35)这两组的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查,求恰有2人不赞成的概率; (2)在(1)的条件下,令选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列. 解析▶ (1)由表知,年龄在[15,25)内的有5人,不赞成的有1人,年龄在[25,35)内的有10人,不赞成的有4人,则恰有2人不赞成的概率为 P=C41C52C41C61C102+C42C52C42C102=4102445+610645=2275. (2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3. P(ξ=0)=C42C52C62C102=6101545=15, P(ξ=1)=C41C52C62C102+C42C52C41C61C102=4101545+6102445=3475, P(ξ=2)=2275, P(ξ=3)=C41C52C42C102=410645=475, ∴ξ的分布列是 ξ 0 1 2 3 P 15 3475 2275 475 离散型随机变量分布列的求解步骤 (1)明取值:明确随机变量的可能取值有哪些,且每一个取值所表示的意义. (2)求概率:要弄清楚随机变量的概率类型,利用相关公式求出变量所对应的概率. (3)画表格:按规范要求写出分布列. (4)做检验:利用分布列的性质检验分布列是否正确. 已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率; (2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列. 解析▶ (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,则P(A)=A21A31A52=310. (2)X的可能取值为200,300,400. P(X=200)=A22A52=110, P(X=300)=A33+C21C31A22A53=310, P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300) =1-110-310=35. 故X的分布列为 X 200 300 400 P 110 310 35 能力2 ▶ 相互独立事件同时发生的概率 【例2】 某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B,设甲、乙两组的研发相互独立. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率. (2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列. 解析▶ 记E={甲组研发新产品成功},F={乙组研发新产品成功},由题设知P(E)=23,P(E)=13,P(F)=35,P(F)=25,且事件E与F,E与F,E与F,E与F都相互独立. (1)记H={至少有一种新产品研发成功},则H=EF, 于是P(H)=P(E)P(F)=1325=215, 故所求的概率P(H)=1-P(H)=1-215=1315. (2)设企业可获利润为X(万元),则X的可能取值为0,100,120,220, 因为P(X=0)=P(EF)=1325=215, P(X=100)=P(EF)=1335=15, P(X=120)=P(EF)=2325=415, P(X=220)=P(EF)=2335=25. 故所求的分布列为 X 0 100 120 220 P 215 15 415 25 (1)求解该类问题在于正确分析所求事件的构成,将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积,然后利用相关公式进行计算. (2)求相互独立事件同时发生的概率的主要方法 ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. ②正面计算较烦琐(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时,可从其对立事件入手计算. 某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试,“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会,先进行“立定投篮”测试,如果合格才有机会进行“三步上篮”测试,为了节约时间,每项只需且必须投中一次即为合格.小明同学“立定投篮”的命中率为12,“三步上篮”的命中率为34,假设小明不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响. (1)求小明同学两项测试合格的概率; (2)设测试过程中小明投篮的次数为ξ,求ξ的分布列. 解析▶ 设小明第i次“立定投篮”命中为事件Ai(i=1,2),第j次“三步上篮”命中为事件Bj(j=1,2), 依题意有P(Ai)=12(i=1,2),P(Bj)=34(j=1,2),“小明同学两项测试合格”为事件C. (1)P(C)=P(A1A2)+P(A1A2B1B2)+P(A1B1B2) =P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)+P(A1)P(B1)P(B2) =1-122+1-12121-342+121-342=1964. ∴P(C)=1-1964=4564. (2)依题意知ξ=2,3,4, P(ξ=2)=P(A1B1)+P(A1A2)=P(A1)P(B1)+P(A1)P(A2)=58, P(ξ=3)=P(A1B1B2)+P(A1A2B1)+P(A1B1B2) =P(A1)P(B1)P(B2)+P(A1)P(A2)P(B1)+P(A1)P(B1)P(B2)=516, P(ξ=4)=P(A1A2B1)=P(A1)P(A2)P(B1)=116. 故投篮的次数ξ的分布列为 ξ 2 3 4 P 58 516 116 能力3 ▶ 独立重复试验与二项分布 【例3】 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本,然后称出它们的质量(单位:克),质量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515].由此得到样本的频率分布直方图(如下图). (1)根据频率分布直方图,求质量超过505克的产品数量; (2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设X为质量超过505克的产品数量,求X的分布列; (3)用样本估计总体,从该流水线上任取2件产品,设Y为质量超过505克的产品数量,求Y的分布列. 解析▶ (1)质量超过505克的产品的频率为50.05+50.01=0.3, 故质量超过505克的产品数量为400.3=12(件). (2)质量超过505克的产品数量为12件,则质量未超过505克的产品数量为28件. 由题意知X的取值为0,1,2, X服从超几何分布. ∴P(X=0)=C282C402=63130, P(X=1)=C121C281C402=2865, P(X=2)=C122C402=11130, ∴X的分布列为 X 0 1 2 P 63130 2865 11130 (3)根据样本估计总体的思想,取一件产品,该产品的质量超过505克的概率为1240=310. 从流水线上任取2件产品互不影响,该问题可看成2次独立重复试验,质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2,且Y~B2,310, P(Y=k)=C2k1-3102-k310k, ∴P(Y=0)=C207102=49100, P(Y=1)=C21310710=2150, P(Y=2)=C223102=9100. ∴Y的分布列为 Y 0 1 2 P 49100 2150 9100 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程,但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k的三个条件:(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p;(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且各次试验的结果是相互独立的;(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率. 为了解一种植物果实的情况,随机抽取一批该植物果实样本测量重量(单位:克),按照[27.5,32.5),[32.5,37.5),[37.5,42.5),[42.5,47.5),[47.5,52.5]分为5组,其频率分布直方图如图所示. (1)求图中a的值. (2)估计这种植物果实重量的平均数x和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表). (3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的为优质果实,用样本估计总体.若从这种植物果实中随机抽取3个,其中优质果实的个数为X,求X的分布列和数学期望E(X). 解析▶ (1)组距d=5,由5(0.02+0.04+0.075+a+0.015)=1得a=0.05. (2)各组中点值和相应的频率依次为 中点值 30 35 40 45 50 频率 0.1 0.2 0.375 0.25 0.075 x=300.1+350.2+400.375+450.25+500.075=40, s2=(-10)20.1+(-5)20.2+020.375+520.25+1020.075=28.75. (3)由已知,这种植物果实的优质率p=0.9,且X~B(3,0.9), 故P(X=k)=C3k0.9k(1-0.9)3-k(k=0,1,2,3), X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 ∴E(X)=np=2.7. 能力4 ▶ 正态分布 【例4】 (1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<4)=( ). A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 (2)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(-1,1)的密度曲线的一部分)的点的个数的估计值为( ). 附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ
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