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2 平抛运动
[学习目标] 1.知道什么是抛体运动，知道抛体运动是匀变速曲线运动.2.理解平抛运动及其运动规律，会用平抛运动的规律解决有关问题.3.了解斜上抛运动及其运动规律.4.掌握分析抛体运动的方法——运动的合成与分解.
一、抛体运动
1.定义：以一定的速度将物体抛出，物体只受重力作用的运动.
2.平抛运动：初速度沿水平方向的抛体运动.
3.平抛运动的特点
(1)初速度沿水平方向；
(2)只受重力作用.
4.平抛运动的性质：加速度为g的匀变速曲线运动.
二、平抛运动的速度和位移
1.平抛运动的速度
(1)水平方向：不受力，为匀速直线运动，vx＝v0.
(2)竖直方向：只受重力，为自由落体运动，vy＝gt.
(3)合速度：大小：v＝＝；方向：tanθ＝＝(θ是v与水平方向的夹角).
2.平抛运动的位移
(1)水平位移：x＝v0t.
(2)竖直位移：y＝gt2.
(3)轨迹：平抛运动的轨迹是一条抛物线.
三、一般的抛体运动
物体被抛出时的速度v0沿斜上方或斜下方时，物体做斜抛运动(设v0与水平方向夹角为θ).
(1)水平方向：物体做匀速直线运动，初速度vx0＝v0cosθ.
(2)竖直方向：物体做竖直上抛或竖直下抛运动，初速度vy0＝v0sinθ.如图1所示.
图1
1.判断下列说法的正误.
(1)抛体运动一定是曲线运动.( )
(2)抛体运动一定是匀变速运动.( √ )
(3)平抛运动的物体初速度越大，下落得越快.( )
(4)平抛运动物体的速度方向与水平方向的夹角越来越大，若足够高，速度方向最终可能竖直向下.( )
(5)平抛运动的合位移的方向与合速度的方向一致.( )
(6)斜上抛运动的物体到达最高点时，速度为零.( )
2.在距地面高80m的低空有一小型飞机以30 m/s的速度水平飞行，假定从飞机上释放一物体，g取10 m/s2，不计空气阻力，那么物体落地时间是 s，它在下落过程中发生的水平位移是m；落地时的速度大小为m/s.
答案 4 120 50
解析 由h＝gt2，得：t＝，代入数据得：t＝4s
水平位移x＝v0t，代入数据得：
x＝304m＝120m
v0＝30m/s，vy＝＝40m/s
故v＝
代入数据得v＝50m/s.
【考点】平抛运动的时间、速度和位移
【题点】平抛运动的速度和位移的分解
一、平抛运动的理解
如图2所示，一人正练习水平投掷飞镖，请思考：(不计空气阻力)
图2
(1)飞镖投出后，其加速度的大小和方向是否变化？
(2)飞镖的运动是匀变速运动，还是变加速运动？
答案 (1)加速度为重力加速度g，大小和方向均不变.
(2)匀变速运动.
1.平抛运动的特点
(1)速度特点：平抛运动的速度大小和方向都不断变化，故它是变速运动.
(2)轨迹特点：平抛运动的运动轨迹是曲线，故它是曲线运动.
(3)加速度特点：平抛运动的加速度为自由落体加速度.
2.平抛运动的速度变化
如图3所示，由Δv＝gΔt知，任意两个相等的时间间隔内速度的变化量相同，方向竖直向下.
图3
3.平抛运动的轨迹：由x＝v0t，y＝gt2得y＝x2，为抛物线方程，其运动轨迹为抛物线.
例1 关于平抛运动，下列说法中正确的是( )
A.平抛运动是一种变加速运动
B.做平抛运动的物体加速度随时间逐渐增大
C.做平抛运动的物体每秒内速度增量相等
D.做平抛运动的物体每秒内位移增量相等
答案 C
解析 平抛运动是匀变速曲线运动，其加速度为重力加速度g，故加速度的大小和方向恒定，在Δt时间内速度的改变量为Δv＝gΔt，因此可知每秒内速度增量大小相等、方向相同，选项A、B错误，C正确；由于水平方向的位移x＝v0t，每秒内水平位移增量相等，而竖直方向的位移h＝gt2，每秒内竖直位移增量不相等，选项D错误.
【考点】对平抛(和一般抛体)运动的理解
【题点】平抛运动的性质
二、平抛运动规律的应用
如图4所示为小球水平抛出后，在空中做平抛运动的运动轨迹.(自由落体加速度为g，初速度为v0)
图4
(1)小球做平抛运动，运动轨迹是曲线，为了便于研究，我们应如何建立坐标系？
(2)以抛出时刻为计时起点，求t时刻小球的速度大小和方向.
(3)以抛出时刻为计时起点，求t时刻小球的位移大小和方向.
答案 (1)一般以初速度v0的方向为x轴的正方向，竖直向下的方向为y轴的正方向，以小球被抛出的位置为坐标原点建立平面直角坐标系.
(2)如图，初速度为v0的平抛运动，经过时间t后，其水平分速度vx＝v0，竖直分速度vy＝gt.根据运动的合成规律可知，小球在这个时刻的速度(即合速度)大小v＝＝，设这个时刻小球的速度与水平方向的夹角为θ，则有tanθ＝＝.
(3)如图，水平方向：x＝v0t
竖直方向：y＝gt2
合位移：
l＝＝
合位移方向：tanα＝＝(α表示合位移方向与水平方向之间的夹角).
1.平抛运动的研究方法
(1)把平抛运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动.
(2)分别运用两个分运动的运动规律去求分速度、分位移等，再合成得到平抛运动的速度、位移等.
2.平抛运动的规律
(1)平抛运动的时间：t＝，只由高度决定，与初速度无关.
(2)水平位移(射程)：x＝v0t＝v0，由初速度和高度共同决定.
(3)落地速度：v＝＝，与水平方向的夹角为θ，tanθ＝＝，落地速度由初速度和高度共同决定.
3.平抛运动的推论
(1)如图5所示，平抛运动的速度偏向角为θ，则tanθ＝＝.平抛运动的位移偏向角为α，则tanα＝＝＝＝tanθ.
图5
可见位移偏向角与速度偏向角的正切值的比值为1∶2.
(2)如图6所示，从O点抛出的物体经时间t到达P点，速度的反向延长线交OB于A点.
图6
则OB＝v0t，AB＝＝gt2＝gt2＝v0t.
可见AB＝OB，所以A为OB的中点.
例2 某卡车在公路上与路旁障碍物相撞.处理事故的警察在泥地中发现了一个小的金属物体，经判断，它是相撞瞬间车顶上一个松脱的零件被抛出而陷在泥里的.为了判断卡车是否超速，需要测量的量是(空气阻力不计)( )
A.车的长度，车的重量
B.车的高度，车的重量
C.车的长度，零件脱落点与陷落点的水平距离
D.车的高度，零件脱落点与陷落点的水平距离
答案 D
解析 根据平抛运动知识可知h＝gt2，x＝vt，车顶上的零件平抛出去，因此只要知道车顶到地面的高度，即可求出时间.测量零件脱落点与陷落点的水平距离即可求出相撞时的瞬时速度，答案为D.
例3 用30 m/s的初速度水平抛出一个物体，经过一段时间后，物体的速度方向与水平方向成30角，不计空气阻力，g取10 m/s2.求：
(1)此时物体相对于抛出点的水平位移大小和竖直位移大小；
(2)再经过多长时间，物体的速度方向与水平方向的夹角为60？(物体的抛出点足够高)
答案 (1)30m 15m (2)2s
解析 (1)设物体在A点时速度方向与水平方向成30角，如图所示，tan30＝＝，tA＝＝s
所以在此过程中水平方向的位移xA＝v0tA＝30m
竖直方向的位移yA＝gtA2＝15m.
(2)设物体在B点时速度方向与水平方向成60角，总运动时间为tB，则tB＝＝3s
所以物体从A点运动到B点所经历的时间Δt＝tB－tA＝2s.
【考点】平抛运动的时间、速度和位移
【题点】平抛运动的速度和位移的分解
三、平抛运动的临界问题
例4 如图7所示，排球场的长度为18m，其网的高度为2m.运动员站在离网3m远的线上，正对网前竖直跳起把球垂直于网水平击出.设击球点的高度为2.5m，问：球被水平击出时的速度v在什么范围内才能使球既不触网也不出界？(不计空气阻力，g取10m/s2)
图7
答案 见解析
解析 如图所示，排球恰不触网时其运动轨迹为Ⅰ，排球恰不出界时其轨迹为Ⅱ，根据平抛运动规律x＝v0t和y＝gt2可得，当排球恰不触网时有
x1＝3m，x1＝v1t1①
h1＝2.5m－2m＝0.5m，h1＝gt12②
由①②可得v1≈9.5m/s.
当排球恰不出界时有：
x2＝3m＋9m＝12m，x2＝v2t2③
h2＝2.5m，h2＝gt22④
由③④可得v2≈17m/s.
所以球既不触网也不出界的水平击出速度范围是：
9.5m/s
a乙
C.v甲>v乙，t甲v乙，t甲＝t乙
答案 D
解析 两球均做平抛运动，则加速度均为g；抛出的高度相同，根据t＝可知，飞行的时间相同；因甲出界，乙落在界内，可知甲的水平位移较大，根据v＝可知，甲的初速度比乙大，故选D.
【考点】平抛运动的时间、速度和加速度
【题点】平抛运动的时间、速度和加速度
4.(平抛运动规律的应用)如图11所示是网球发球机，某次室内训练时将发球机放在距地面一定的高度，然后向竖直墙面发射网球.假定网球均水平射出，某两次射出的网球碰到墙面时速度与水平方向夹角分别为30和60，若不考虑网球在空中受到的阻力，则( )
图11
A.两次发射的初速度大小之比为3∶1
B.碰到墙面前在空中运动时间之比为1∶
C.下落高度之比为1∶
D.碰到墙面时速度大小之比为3∶1
答案 B
解析 设网球碰到墙面时速度与水平方向的夹角为θ，tanθ＝＝①
x＝v0t②
由①②得：tanθ＝，故＝，＝，B正确.＝＝，A错误.＝＝＝，C错误.v＝，故＝＝＝，D错误.
【考点】平抛运动的时间、速度和位移
【题点】平抛运动的速度和位移的分解
5.(平抛运动的临界问题)如图12所示，M、N是两块挡板，挡板M高h′＝10m，其上边缘与挡板N的下边缘在同一水平面.从高h＝15m的A点以速度v0水平抛出一小球(可视为质点)，A点与两挡板的水平距离分别为d1＝10m，d2＝20m.N板的上边缘高于A点，若能使小球直接进入挡板M的右边区域，则小球水平抛出的初速度v0的大小是下列给出数据中的哪个(g取10m/s2，空气阻力不计)( )
图12
A.v0＝8 m/s B.v0＝4 m/s
C.v0＝15 m/s D.v0＝21 m/s
答案 C
解析 要让小球落到挡板M的右边区域，下落的高度为两高度之差，由t＝得t＝1s，由d1＝v01t，d2＝v02t，得v0的范围为10m/s≤v0≤20 m/s，故选C.
【考点】平抛运动中的临界问题
【题点】平抛运动双边界临界位移问题
一、选择题
考点一 平抛运动的理解
1.在平坦的垒球运动场上，击球手挥动球棒将垒球水平击出，垒球飞行一段时间后落地.若不计空气阻力，则( )
A.垒球落地时瞬时速度的大小仅由初速度决定
B.垒球落地时瞬时速度的方向仅由击球点离地面的高度决定
C.垒球在空中运动的水平位移仅由初速度决定
D.垒球在空中运动的时间仅由击球点离地面的高度决定
答案 D
解析 垒球击出后做平抛运动，设垒球在空中运动时间为t，由h＝gt2得t＝，故t仅由高度h决定，选项D正确；水平位移x＝v0t＝v0，故水平位移x由初速度v0和高度h共同决定，选项C错误；落地速度v＝＝，故落地速度v由初速度v0和高度h共同决定，选项A错误；设落地速度v与水平方向的夹角为θ，则tanθ＝，故选项B错误.
【考点】平抛运动的时间、速度和位移
【题点】平抛运动的时间、速度和位移
2.斜抛运动与平抛运动相比较，下列说法正确的是( )
A.斜抛运动是曲线运动，它的速度方向不断改变，不可能是匀变速运动
B.都是加速度逐渐增大的曲线运动
C.平抛运动是速度一直增大的运动，而斜抛运动是速度一直减小的运动
D.都是任意两段相等时间内的速度变化量相等的运动
答案 D
解析 斜抛运动和平抛运动都是只受重力的作用，加速度恒为g，是匀变速曲线运动，A、B错；斜抛运动的速度是增大还是减小，要看速度与重力的夹角，成锐角，速度增大，成钝角，速度减小，C错；由Δv＝gΔt知，D对.
【考点】对抛体运动的理解和规律应用
【题点】对抛体运动的理解
3.某弹射管两次弹出的小球速度相等.该弹射器在沿光滑竖直轨道自由下落过程中始终保持水平，先后弹出两只小球.忽略空气阻力，两只小球落到水平地面的( )
A.时刻相同，地点相同 B.时刻相同，地点不同
C.时刻不同，地点相同 D.时刻不同，地点不同
答案 B
【考点】平抛运动的时间、速度和位移
【题点】平抛运动的时间、位移
考点二 平抛运动规律的应用
4.羽毛球运动员林丹曾在某综艺节目中表演羽毛球定点击鼓，如图1是他表演时的羽毛球场地示意图.图中甲、乙两鼓等高，丙、丁两鼓较低但也等高.若林丹各次发球时羽毛球飞出位置不变且均做平抛运动，则( )
图1
A.击中甲、乙的两球初速度v甲＝v乙
B.击中甲、乙的两球初速度v甲>v乙
C.假设某次发球能够击中甲鼓，用相同速度发球可能击中丁鼓
D.击中四鼓的羽毛球中，击中丙鼓的初速度最大
答案 B
解析 甲、乙距飞出点的高度相同，击中甲、乙的羽毛球的运动时间相同，由于水平位移x甲>x乙，所以v甲>v乙，B正确.
【考点】平抛运动的时间、速度和位移
【题点】平抛运动的速度、时间和位移
5.某同学玩飞镖游戏，先后将两只飞镖a、b由同一位置水平投出，已知飞镖投出的初速度va＞vb，不计空气阻力，则两支飞镖插在竖直靶上的状态(侧视图)可能是( )
答案 A
解析 由平抛运动的规律x＝v0t，h＝gt2，速度大的运动时间少，h较小，又tan θ＝＝＝，x相同，运动时间少的θ小，即插在竖直靶上飞镖与水平方向夹角小，A正确.
【考点】平抛运动的时间、速度和位移
【题点】平抛运动的时间、速度和位移
6.在抗震救灾中，一架飞机水平匀速飞行.从飞机上每隔1s释放1包物品，先后共释放4包(都未落地)，若不计空气阻力，从地面上观察4包物品( )
A.在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的
B.在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是不等间距的
C.在空中任何时刻总在飞机正下方，排成竖直的直线，它们的落地点是等间距的
D.在空中任何时刻总在飞机正下方，排成竖直的直线，它们的落地点是不等间距的
答案 C
解析 因为不计空气阻力，物品在水平方向将保持和飞机一致的匀速运动，因而4包物品在空中任何时刻总在飞机正下方，排成竖直的直线；因为飞机高度一致，物品做平抛运动的时间一致，水平速度一致，间隔时间一致，所以它们的落地点是等间距的.
【考点】平抛运动的时间、速度和位移
【题点】平抛运动的速度、时间和位移
7.将一小球从距地面h高处，以初速度v0水平抛出，小球落地时速度为v，它的竖直分量为vy，重力加速度为g，不计空气阻力，则下列各式中不能表示小球在空中飞行时间的是( )
A. B.
C. D.
答案 B
【考点】平抛运动的时间、速度和位移
【题点】平抛运动的时间
8.(多选)物体以初速度v0水平抛出，若不计空气阻力，重力加速度为g，则当其竖直分位移与水平分位移相等时，以下说法中正确的是( )
A.竖直分速度等于水平分速度
B.瞬时速度大小为v0
C.运动的时间为
D.运动的位移为
答案 BCD
解析 因为平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，由竖直分位移和水平分位移相等可知gt2＝v0t，解得t＝，又由于vy＝gt＝2v0，所以v＝＝v0，s＝＝v0t＝，故正确选项为B、C、D.
【考点】平抛运动的时间、速度和位移
【题点】平抛运动的速度和位移的分解
9.如图2所示，从同一条竖直线上两个不同点分别向右平抛两个小球P和Q，初速度分别为v1、v2，结果它们同时落到水平面上的M点处(不考虑空气阻力).下列说法中正确的是( )
图2
A.一定是P先抛出的，并且v1＝v2
B.一定是P先抛出的，并且v1＜v2
C.一定是Q先抛出的，并且v1＝v2
D.一定是Q先抛出的，并且v1＞v2
答案 B
解析 两小球被抛出后均做平抛运动，根据平抛运动规律可知，在竖直方向上有：h＝gt2，解得小球运动的时间为：t＝，由题图可知小球P的下落高度h1大于小球Q的下落高度h2，因此两球的运动时间有：t1＞t2，因两球同时落地，所以小球P先抛出，故选项C、D错误；在水平方向上有：x＝vt，由题图可知：x1＝x2，所以v1＜v2，故选项A错误，选项B正确.
【考点】平抛运动的时间、速度和位移
【题点】平抛运动的时间和速度
考点三 平抛运动的临界问题
10.(多选)如图3所示，一个电影替身演员准备跑过一个屋顶，然后水平地跳跃并离开屋顶，在下一栋建筑物的屋顶上着地.如果他在屋顶跑动的最大速度是4.5m/s，那么下列关于他能否安全跳过去的说法正确的是(g取 10 m/s2，不计空气阻力)( )
图3
A.他安全跳过去是可能的
B.他安全跳过去是不可能的
C.如果要安全跳过去，他在屋顶水平跳跃速度应不小于6.2m/s
D.如果要安全跳过去，他在屋顶水平跳跃速度应小于4.5m/s
答案 BC
解析 由h＝gt2，x＝v0t
将h＝5m，x＝6.2m代入解得：
安全跳过去的最小水平速度v0＝6.2m/s，
选项B、C正确.
【考点】平抛运动的临界问题
【题点】平抛运动的临界问题
11.一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图4所示.水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )
图4
A.
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