2019版高考数学一轮复习 几何证明选讲课时训练 选修4-1.doc

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选修41　几何证明选讲 第1课时　圆的进一步认识 1. (2017镇江期末)如图，已知AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是∠APB的平分线，点E是的中点．求证：直线PC经过点E. 证明：连结AE，EB，OE， 由题意知∠AOE＝∠BOE＝90， 因为∠APE是圆周角，∠AOE是同弧上的圆心角， 所以∠APE＝∠AOE＝45. 同理可得，∠BPE＝∠BOE＝45， 所以PE是∠APB的平分线， 又PC是∠APB的平分线， 所以PC与PE重合，所以直线PC经过点E. 2. 如图，圆O的两弦AB，CD交于点F，从F点引BC的平行线和直线AD交于P，再从P引这个圆的切线，切点是Q.求证：PF＝PQ. 证明：因为A，B，C，D四点共圆，所以ADF＝ABC. 因为PF∥BC，所以AFP＝ABC.所以AFP＝FDP. 又因为APF＝FPD， 所以△APF∽△FPD. 所以＝.所以PF2＝PAPD. 因为PQ与圆O相切，所以PQ2＝PAPD. 所以PF2＝PQ2.所以PF＝PQ. 3. 如图，圆O与圆P相交于A，B两点，点P在圆O上，圆O的弦BC切圆P于点B，CP及其延长线交圆P于D，E两点，过点E作EF⊥CE交CB延长线于点F.若CD＝2，CB＝2，求EF的长． 解：连结PB，∵ BC切圆P于点B， ∴PB⊥BC. 又CD＝2，CB＝2， 由切割线定理得CB2＝CDCE， ∴ CE＝4，DE＝2，BP＝1. ∵ EF⊥CE， ∴ △CPB∽△CFE，∴ ＝，EF＝. 4. 如图，AB，AC是圆O的切线，ADE是圆O的割线，求证：BECD＝BDCE.　 证明：∵ AB是圆O的切线， ∴ ∠ABD＝∠AEB. ∵ ∠BAD＝∠EAB， ∴ △BAD∽△EAB. ∴ ＝. 同理＝. ∵ AB，AC是圆O的切线，∴ AB＝AC. ∴ ＝，即BE CD＝BD CE. 5. (2017南通、泰州模拟)如图，已知△ABC内接于圆O，连结AO并延长交圆O于点D，∠ACB＝∠ADC.求证：ADBC＝2ACCD. 证明：证明：连结OC. 因为∠ACB＝∠ADC，∠ABC＝∠ADC， 所以∠ACB＝∠ABC. 因为OC＝OD，所以∠OCD＝∠ADC. 所以∠ACB＝∠OCD. 所以△ABC∽△ODC. 所以＝，即ACCD＝OCBC. 因为OC＝AD， 所以ADBC＝2ACCD. 6. (2017苏北三市模拟)如图，圆O的弦AB，MN交于点C，且点A为弧MN的中点，点D在弧BM上．若∠ACN＝3∠ADB，求∠ADB的大小． 解：连结AN，DN. 因为A为弧MN的中点， 所以∠ANM＝∠ADN. 而∠NAB＝∠NDB， 所以∠ANM＋∠NAB＝∠ADN＋∠NDB， 即∠BCN＝∠ADB. 又∠ACN＝3∠ADB， 所以∠ACN＋∠BCN＝3∠ADB＋∠ADB＝180， 故∠ADB＝45. 7. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90，以边AC上的点O为圆心，OA为半径作圆，与边AB，AC分别交于点E，F，EC与圆O交于点D，连结AD并延长交BC于P. (1) 求证：AEAB＝ADAP. (2) 已知AE＝EB＝4，AD＝5，求AP的长． (1)证明：连结EF，则∠AEF＝90. ∵ ∠ACB＝90，∴ B，C，F，E四点共圆． 则∠AFE＝∠B. ∵ ∠ADE＝∠AFE，∴ ∠ADE＝∠B. ∴ B，P，D，E四点共圆． 则AEAB＝ADAP. (2)解：∵ AE＝EB＝4，AD＝5，∴ AB＝8. 由(1)AEAB＝ADAP，得AP＝. 8. (2017苏锡常镇二模)如图，直线DE切圆O于点D，直线EO交圆O于A，B两点，DC⊥OB于点C，且DE＝2BE，求证：2OC＝3BC. 证明：连结OD，设圆的半径为R，BE＝x， 则OD＝R，DE＝2BE＝2x， 在Rt△ODE中，∵ DC⊥OB，∴ OD2＝OC•OE， ∴ R2＝OC(R＋x)　①. ∵ 直线DE切圆O于点D，∴ DE2＝BE•AE， ∴ 4x2＝x(2R＋x)　②， ∴ x＝. 代入①，解得OC＝，∴ BC＝OB－OC＝， ∴ 2OC＝3BC. 9. 如图，已知AB为圆O的直径，BC切圆O于点B，AC交圆O于点P，E为线段BC的中点．求证：OP⊥PE. 证明：连结BP，∵ AB是圆O的直径， ∴ ∠APB＝90，∴∠BPC＝90. 在Rt△BPC中，∵ E是边BC的中点， ∴ BE＝EC，∴BE＝EP， ∴ ∠1＝∠3. ∵ B，P为圆O上的点， ∴ OB＝OP，∴∠2＝∠4. ∵ BC切圆O于点B， ∴ ∠ABC＝90，即∠1＋∠2＝90， 从而∠3＋∠4＝90， ∴ ∠OPE＝90. ∴ OP⊥PE. 10. (2017金陵中学质检)如图，已知AB为圆O的直径，C，F为圆O上的两点，OC⊥AB，过点F作圆O的切线FD交AB的延长线于点D，连结CF交AB于点E.求证：DE2＝DADB. 证明：连结OF. ∵ DF切圆O于F，∴ ∠OFD＝90. ∴ ∠OFC＋∠CFD＝90. ∵ OC＝OF，∴ ∠OCF＝∠OFC. ∵ CO⊥AB于O， ∴ ∠OCF＋∠CEO＝90. ∴ ∠CFD＝∠CEO＝∠DEF， ∴ DF＝DE. ∵ DF是圆O的切线， ∴ DF2＝DBDA. ∴ DE2＝DBDA. 11. (2017南通、泰州期末)已知圆O的直径AB＝4，C为AO的中点，弦DE过点C且满足CE＝2CD，求△OCE的面积． 解：设CD＝x，则CE＝2x. 因为CA＝1，CB＝3， 由相交弦定理，得CACB＝CDCE， 所以13＝x2x＝2x2，所以x＝. 取DE的中点H，连结OH，则OH⊥DE. 因为OH2＝OE2－EH2＝4－＝， 所以OH＝. 因为CE＝2x＝， 所以△OCE的面积S＝OHCE＝＝.